38方程的近似解

1、返回第八节第八节 方程的近似解方程的近似解一、问题的提出一、问题的提出二、二分法二、二分法三、切线法三、切线法四、小结四、小结 思考题思考题一、问题的提出一、问题的提出【求近似实根的步骤【求近似实根的步骤】确定根的大致范围确定根的大致范围根的隔离根的隔离根的隔离区间根的隔离区间称为所求实称为所求实间间区间内的唯一实根区区间内的唯一实根区使所求的根是位于这个使所求的根是位于这个确定一个区间确定一个区间,baba【问题【问题】高次代数方程或其他类型的方程求精高次代数方程或其他类型的方程求精确根一般比较困难确根一般比较困难, ,希望寻求方程近似根的有效希望寻求方程近似根的有效计算方法计算方法轴轴交交

2、点点的的大大概概位位置置定定出出它它与与的的图图形形，然然后后从从图图上上如如图图，精精确确画画出出xxfy)( 以根的隔离区间的端点作为根的初始近似以根的隔离区间的端点作为根的初始近似值，逐步改善根的近似值的精确度，直至求得值，逐步改善根的近似值的精确度，直至求得满足精确度要求的近似实根满足精确度要求的近似实根【常用方法【常用方法】二分法和切线法（牛顿法）二分法和切线法（牛顿法）二、二分法二、二分法区间区间即是这个根的一个隔离即是这个根的一个隔离，于是，于是内仅有一个实根内仅有一个实根在在且方程且方程，上连续，上连续，在区间在区间设设,),()(0)()(,)(babaxfbfafbaxf

3、；，那末，那末如果如果110)( f【作法【作法】).(2,11 fbaba，计算，计算的中点的中点取取 ,)()(1111bbaaff 同号，那末取同号，那末取与与如果如果);(210)()(111111ababbabfaf ，且，且，即知，即知由由 ,)()(1111 baabff同号，那末取同号，那末取与与如果如果);(211111ababba 及及也有也有 总之，总之，);(211111ababba 且且时，可求得时，可求得当当 );(21)(21,2222211211ababbababa 且且时时，可可求求得得当当复复上上述述做做法法，作作为为新新的的隔隔离离区区间间，重重以以 ).

4、(21,ababbannnnnn 且且可求得可求得次次如此重复如此重复 小于小于的近似值，那末其误差的近似值，那末其误差作为作为或或如果以如果以)(21abbannn .10,04 . 19 . 01 . 1323 使误差不超过使误差不超过的实根的近似值的实根的近似值用二分法求方程用二分法求方程xxx【例【例】【解【解】, 4 . 19 . 01 . 1)(23 xxxxf令令.),()(内连续内连续在在显然显然xf, 9 . 02 . 23)(2 xxxf. 0)(, 049. 1 xf,),()(内单调增加内单调增加在在故故xf如图如图至多有一个实根至多有一个实根0)( xf, 06 .

5、1)1(, 04 . 1)0( ff.1 , 00)(内有唯一的实根内有唯一的实根在在 xf.1 , 0, 1, 0即是一个隔离区间即是一个隔离区间取取 ba计算得计算得: :; 1, 5 . 0, 055. 0)(, 5 . 01111 baf故故 ;75. 0, 5 . 0, 032. 0)(,75. 02222 baf故故 ;75. 0,625. 0, 016. 0)(,625. 02333 baf故故 ;687. 0,625. 0, 0062. 0)(,687. 04444 baf故故 .10,671. 0 , 670. 03 其误差都小于其误差都小于作为根的过剩近似值作为根的过剩近似

6、值作为根的不足近似值作为根的不足近似值即即;687. 0,656. 0, 0054. 0)(,656. 05555 baf故故 ;672. 0,656. 0, 0005. 0)(,672. 06666 baf故故 ;672. 0,664. 0, 0025. 0)(,664. 07777 baf故故 ;672. 0,668. 0, 0010. 0)(,668. 08888 baf故故 ;672. 0,670. 0, 0002. 0)(,670. 09999 baf故故 .671. 0,670. 0, 0001. 0)(,671. 010101010 baf故故 .671. 0670. 0 三、切

7、线法三、切线法是根的一个隔离区间是根的一个隔离区间，内有唯一个的实根内有唯一个的实根在在则方程则方程上保持定号上保持定号在在及及且且，上具有二阶导数，上具有二阶导数，在在设设,),()(,)()(0)()(,)(babaxfbaxfxfbfafbaxf 【定义【定义】用曲线弧一端的切线来代替曲线弧，用曲线弧一端的切线来代替曲线弧，从而求出方程实根的近似值，这种方法叫做切从而求出方程实根的近似值，这种方法叫做切线法（牛顿法）线法（牛顿法）【如图【如图】更接近方程的根更接近方程的根比比轴的交点的横坐标轴的交点的横坐标线与线与作切线，这切作切线，这切那个端点（此端点记作那个端点（此端点记作同号的同号

8、的在纵坐标与在纵坐标与 0100)(,()(xxxxfxxf ,0ax 令令).)()(000 xxxfxfy 则切线方程为则切线方程为abxyoab 1x)(xfy 0)(, 0)(0)(, 0)( xfxfbfaf作切线，作切线，在点在点)(,(11xfx.)()(1112xfxfxx 得根的近似值得根的近似值如此继续，得根的近似值如此继续，得根的近似值)1()()(111 nnnnxfxfxx.,)()(0bxxfbf 可记可记同号同号与与如果如果,)()(0001xfxfxx 得得令令, 0 yabxyoab 1x)(xfy 2x【注意【注意】.10,04 . 19 . 01 . 13

9、23 使误差不超过使误差不超过的实根的近似值的实根的近似值用切线法求方程用切线法求方程xxx【例【例】【解【解】, 4 . 19 . 01 . 1)(23 xxxxf令令. 0)1(, 0)0(.1 , 0 ff是一个隔离区间是一个隔离区间上，上，如图，在如图，在1 , 0, 02 . 26)( xxf, 09 . 02 . 23)(2 xxxf同号，同号，与与)()(xfxf . 10 x令令代入代入( (1),),得得;738. 0)1()1(11 ffx;674. 0)738. 0()738. 0(738. 02 ffx;671. 0)674. 0()674. 0(674. 03 ffx;671. 0)671. 0()671. 0(671. 04 ffx计算停止计算停止. .10,671. 03 其误差都小于其误差都小于得根的近似值为得根的近似值为四、小结四、小结【求方程近似实根的常用方法【求方程近似实根的常用方法】二分法、切线法（牛顿法）、割线法二分法、切线法（牛顿法）、割线法【切线法实质【切线法实质】特定的特定的迭代法迭代法求方程的根的迭代法是指由根的近似值出发求方程