第一篇3X射线衍射的强度

1、dept. of mse, cqu1材料现代测试方法 x射线衍射的强度dept. of mse, cqu2本章导言材料现代测试方法 x射线衍射的强度 衍射线的强度是指晶衍射线的强度是指晶体中某组晶面体中某组晶面衍射的衍射的x射线的总量射线的总量。 同一种晶体不同晶面同一种晶体不同晶面衍射的衍射的x射线的强度常射线的强度常常有很大的差别。常有很大的差别。dept. of mse, cqu3本章主要内容材料现代测试方法 x射线衍射的强度3.1 一个电子对一个电子对x射线的散射射线的散射3.2 一个原子对一个原子对x射线的散射射线的散射3.3 一个单胞对一个单胞对x射线的散射射线的散射3.4 一个小

2、晶体对一个小晶体对x射线的散射射线的散射3.5 粉末多晶体的粉末多晶体的hkl面的衍射强度面的衍射强度dept. of mse, cqu4 为为偏振因子偏振因子，也叫极化因子。一般情况下，除极化因子，也叫极化因子。一般情况下，除极化因子外式中其余各项在实验条件一定的情况下均为定值，可以设法除去。外式中其余各项在实验条件一定的情况下均为定值，可以设法除去。材料现代测试方法 x射线衍射的强度3.1 一个电子对x射线的散射 一束一束x射线沿射线沿ox方向传播，方向传播，o点碰到电子发点碰到电子发生散射，那么距生散射，那么距o点距离点距离opr、ox与与op夹夹2 角角的的p点的散射强度为：点的散射强

3、度为：22cos1224240rcmeiie22cos12dept. of mse, cqu5材料现代测试方法 x射线衍射的强度3.2 一个原子对x射线的散射 一个电子对一个电子对x射线散射后空间某点强度可用射线散射后空间某点强度可用ie表表示，那么一个原子对示，那么一个原子对x射线散射后该点的强度：射线散射后该点的强度：eaifi2这里引入了这里引入了f原子散射因子原子散射因子，数值上，它是在，数值上，它是在相同条件下，原子散射波与一个电子散射波的波相同条件下，原子散射波与一个电子散射波的波振幅之比。振幅之比。dept. of mse, cqu6 一个原子包含z个电子，那么可看成z个电子散射

4、的叠加。 （1）若不存在电子电子散射位相差： 其中ae为一个电子散射的振幅。材料现代测试方法 x射线衍射的强度推导过程：eeaizazi22dept. of mse, cqu7材料现代测试方法 x射线衍射的强度（2）实际上，存在位相差，引入原子散射因子： 即aaf ae 。其中f与有关、与有关。散射强度：（f总是小于z） eaaaf eaaifai22dept. of mse, cqu8材料现代测试方法 x射线衍射的强度3.3 一个单胞对x射线的散射 一般情况下，可以把晶体看成为单位晶胞在空间一般情况下，可以把晶体看成为单位晶胞在空间的一种重复体。所以在讨论原子位置与衍射线强度的一种重复体。所

5、以在讨论原子位置与衍射线强度的关系时，只需考虑一个单胞内原子排列是以何种的关系时，只需考虑一个单胞内原子排列是以何种形式影响衍射线强度就行了。形式影响衍射线强度就行了。n 在简单晶胞中，每个晶胞只由一个原子组成，这时单在简单晶胞中，每个晶胞只由一个原子组成，这时单胞的散射强度与一个原子的散射强度相同。胞的散射强度与一个原子的散射强度相同。dept. of mse, cqu9材料现代测试方法 x射线衍射的强度n 在复杂晶胞中，原子的位置影响散射强度。在含有在复杂晶胞中，原子的位置影响散射强度。在含有n个原子的复杂晶胞中，各原子占据不同的坐标位置，它个原子的复杂晶胞中，各原子占据不同的坐标位置，它

6、们的散射振幅和相位是各不相同的。们的散射振幅和相位是各不相同的。单胞中所有原子散单胞中所有原子散射的合成振幅不可能等于各原子散射振幅的简单相加射的合成振幅不可能等于各原子散射振幅的简单相加。为此需要引入一个称为为此需要引入一个称为结构因子结构因子fhkl的参量来表征的参量来表征单胞单胞的相关散射与单电子散射之间的对应关系的相关散射与单电子散射之间的对应关系。bhkleafa一个晶胞的相干散射波振幅一个电子的相干散射波振幅dept. of mse, cqu10材料现代测试方法 x射线衍射的强度v 结构因子公式的推导s0s0ssns-s0oa单胞内两个原子的相干散射 假设o为晶胞的一个顶点，同时取

7、其为坐标原点；a为晶胞中任一原子j，它的坐标为ujvjwj，则a原子的坐标矢量为：cbarjjjjwvuoa 经hkl面反射后，a原子的散射波与坐标原点o原子散射波之间的光程差为：)(00ssrsrsrjjjjdept. of mse, cqu11材料现代测试方法 x射线衍射的强度其相位差为：022ssrjjj)(）（*l*k*hwvu2*2jjjcbacbarrj)(jjjlwkvhu2 若晶胞内各原子的原子散射因子分别为：f1、f2、 fjfn,各原子的散射波与入射波之间的相位差分别为：1、2 jn，则晶胞内所有原子的相干散射的复合波振幅为：ibe1aaejnjjfdept. of mse

8、, cqu12材料现代测试方法 x射线衍射的强度i2 i()b11ea=e=eajjjjnnhu +kv +lwhkljjjjfff根据根据欧拉公式欧拉公式：ie =cosisin将上式改成三角函数形式：1cos2 ()sin2 ()nhkljjjjjjjjffhu +kv +lwihu +kv +lw2|hklf称结构因数，它表征了单胞的衍射强度，反映了单称结构因数，它表征了单胞的衍射强度，反映了单胞中原子种类、原子数目及原子位置对（胞中原子种类、原子数目及原子位置对（hkl）晶面衍射方向上衍射强度的影响。晶面衍射方向上衍射强度的影响。dept. of mse, cqu13材料现代测试方法

9、x射线衍射的强度v 几种点阵结构因素的计算1cos2 ()sin2 ()nhkljjjjjjjjffhu +kv +lwihu +kv +lw（一）简单点阵（一）简单点阵2222|cos2 (0)sin2 (0)hklffff222|1 cos ()hklffhkl222|1 cos ()cos ()cos ()hklffklhkhl结构因数只与原子的种类及在单胞中的位置有关，而不受结构因数只与原子的种类及在单胞中的位置有关，而不受单胞的形状和大小的影响。单胞的形状和大小的影响。（二）体心点阵（二）体心点阵（三）面心点阵（三）面心点阵dept. of mse, cqu14材料现代测试方法 x射

10、线衍射的强度三种基本点阵的消光规律布拉菲点阵布拉菲点阵出现的反射出现的反射消失的反射消失的反射简单点阵简单点阵全部全部无无体心点阵体心点阵h+k+l为偶数为偶数h+k+l为奇数为奇数面心点阵面心点阵h、k、l全为奇数或全为偶数全为奇数或全为偶数h、k、l奇偶混杂奇偶混杂把由于把由于fhkl=0而使衍射线消失的现象称为而使衍射线消失的现象称为系统消光系统消光dept. of mse, cqu15材料现代测试方法 x射线衍射的强度三种点阵的晶体经系统消光后所呈现的衍射线分布三种点阵的晶体经系统消光后所呈现的衍射线分布状况状况: :dept. of mse, cqu16材料现代测试方法 x射线衍射的

11、强度n 点阵消光在复杂点阵中，由于面心、体心或底心上有附加阵点而引起在复杂点阵中，由于面心、体心或底心上有附加阵点而引起的的fhkl=0 的现象称为的现象称为点阵消光点阵消光。系统消光包括点阵消光和结构消光：系统消光包括点阵消光和结构消光：n 结构消光对于那些由两类以上对于那些由两类以上等同点等同点构成的复杂晶体结构，除遵循它构成的复杂晶体结构，除遵循它们所属的布喇菲点阵消光外，还有附加的消光条件，称为们所属的布喇菲点阵消光外，还有附加的消光条件，称为结结构消光构消光。dept. of mse, cqu17 ， ， ， 材料现代测试方法 x射线衍射的强度金刚石型结构金刚石型结构n 金刚石结构特

12、点0001 102 2110221 102 21 1 14 4 43 3 14 4 41 3 34 4 43 1 34 4 4每个晶胞中有每个晶胞中有8个同类原子，坐标为：个同类原子，坐标为： ， ， ， ，dept. of mse, cqu18材料现代测试方法 x射线衍射的强度n 金刚石的消光规律2 i()1ejjjnhu +kv +lwhkljjffi()i()i()1 eeeh+k+h+lk+lafiiii()(33)(33 )(33 )2222+eeeeh+k+lh+ k+lh+k+ lh+ k+ l上式中前四项为上式中前四项为面心点阵的结构因子，用面心点阵的结构因子，用ff表示表示。

13、从后四项。从后四项中提出公因式中提出公因式 得到：得到： i()2eh+k+li()i()i()i()2e1 eeeh+k+lh+k+h+lk+lhklfafffdept. of mse, cqu19材料现代测试方法 x射线衍射的强度ii()()22e1 eh+k+lh+k+lhklfffffffii()()22221 e 1 eh+k+lh+k+lhklfffii()()2222eeh+k+lh+k+lff根据欧拉公式，将上式改成三角函数形式：根据欧拉公式，将上式改成三角函数形式：22222cos()21 cos()22hklffffh +k+lfh +k+ldept. of mse, cq

14、u20材料现代测试方法 x射线衍射的强度2221 cos()2hklfffhklp 1) 当当h、k、l为异性数（奇偶混杂）时：为异性数（奇偶混杂）时： 由于由于ff=0，所以，所以 ， ； 20hklf0hklfp 2) 当当h、k、l全为奇数时：全为奇数时：222222 16=32hklfaaffff32hklaffp 3) 当当h、k、l全为偶数，且全为偶数，且h+k+l=4n时时 (n为任意整数为任意整数)：222224 16=64hklfaaffff （）8hklaffdept. of mse, cqu21材料现代测试方法 x射线衍射的强度p 4) 当当h、k、l全为偶数，且全为偶数

15、，且h+k+l4n时，则时，则 h+k+l=2n(2n+1) ：2220hklfff （）0hklff 金刚石型结构属于面心立方布喇菲点阵，从金刚石型结构属于面心立方布喇菲点阵，从fhkl的计算结的计算结果来看，凡是当果来看，凡是当h、k、l不为同性数的反射面均不能产生衍不为同性数的反射面均不能产生衍射线，这一点与面心立方布喇菲点阵的系统消光规律是一致射线，这一点与面心立方布喇菲点阵的系统消光规律是一致的。的。f 但是，由于金刚石型结构的晶胞中有但是，由于金刚石型结构的晶胞中有8个原子，分别属于个原子，分别属于两类等同点，比一般的面心立方结构多出两类等同点，比一般的面心立方结构多出4个原子，使

16、得需要个原子，使得需要引入附加的引入附加的结构消光条件结构消光条件2)、3)、4)。dept. of mse, cqu22材料现代测试方法 x射线衍射的强度n 密排六方结构 ，0001 2 13 3 2每个平行六面体晶胞中有每个平行六面体晶胞中有2个同类原子，个同类原子，坐标为：坐标为：密排六方结构密排六方结构dept. of mse, cqu23材料现代测试方法 x射线衍射的强度n 密排六方结构的消光规律1212 i()3321 eh+ k+ lhklaff1211212 i()2 i()223323321 e 1 eh+ k+ lh+ k+ lhklaff根据欧拉公式，将上式改成三角函数形

17、式：根据欧拉公式，将上式改成三角函数形式：22212122cos2 ()33212121 cos2 ()332hklaaffh +k+lfh +k+ldept. of mse, cqu24材料现代测试方法 x射线衍射的强度根据公式根据公式 ，将上式改写为：，将上式改写为：2cos22cos122222121212cos() 1332214cos()32hklaaffh +k+lhkf+lp 1) 当当h+2k=3n、l=奇数奇数=2n+1时时(n为任意整数为任意整数) ：222222n+14cos(n)4cos(4n1)022hklaafffp 2) 当当h+2k=3n、l=偶数偶数=2n时：

18、时：22222n+14cos 2n ()42hklaafffdept. of mse, cqu25材料现代测试方法 x射线衍射的强度p 3) 当当h+2k=3n1、l=奇数奇数=2n+1时：时：22222222221154cos(nn)4cos(2n)326534cos ()4362hklaaaaaffffff222222114cos(nn)4cos ()3326hklaaaffff或或dept. of mse, cqu26材料现代测试方法 x射线衍射的强度p 4) 当当h+2k=3n1、l=2n时：时：2222222222114cos(nn)4cos(2n)3314cos ()432hkla

19、aaaafffffff 密排六方结构的单位平行六面体晶胞中的两个原子，分别密排六方结构的单位平行六面体晶胞中的两个原子，分别属于两类等同点，所以它属于简单六方布喇菲点阵，没有点属于两类等同点，所以它属于简单六方布喇菲点阵，没有点阵消光。结构因子计算所得到的消光条件都是结构消光。阵消光。结构因子计算所得到的消光条件都是结构消光。dept. of mse, cqu27n 材料晶体结构不可能是尺寸无限大的理想完整晶体。实际材料晶体结构不可能是尺寸无限大的理想完整晶体。实际上是一种嵌镶结构。镶嵌结构模型认为，晶体是由许多小的上是一种嵌镶结构。镶嵌结构模型认为，晶体是由许多小的嵌镶块组成的，每个块大约嵌

20、镶块组成的，每个块大约10-4cm，它们之间的取向角差一，它们之间的取向角差一般为般为130分。每个块内晶体是完整的，块间界造成晶体点阵分。每个块内晶体是完整的，块间界造成晶体点阵的不连续性。的不连续性。n在入射线照射的体积中可能包含多个嵌镶块。通常情况下，在入射线照射的体积中可能包含多个嵌镶块。通常情况下，很少有贯穿整个晶体的完整晶面。很少有贯穿整个晶体的完整晶面。材料现代测试方法 x射线衍射的强度3.4 一个小晶体对x射线的散射n x射线的相干作用只能在嵌镶块内进行，嵌镶块之间没有射线的相干作用只能在嵌镶块内进行，嵌镶块之间没有严格的相位关系，不可能发生干涉作用。严格的相位关系，不可能发生

21、干涉作用。 整个晶体的反射强整个晶体的反射强度是一个晶块的衍射强度的机械叠加。度是一个晶块的衍射强度的机械叠加。dept. of mse, cqu28材料现代测试方法 x射线衍射的强度 小晶体（晶粒） 由亚晶块组成 由n个晶胞组成dept. of mse, cqu29材料现代测试方法 x射线衍射的强度那么，已知一个晶胞的衍射强度(hkl晶面)为： 若亚晶块的体积为vc，晶胞体积为v胞，则： 这n个晶胞的hkl晶面衍射的叠加强度为：ehklhklifi2胞vvnc22hklcefvvi胞dept. of mse, cqu30材料现代测试方法 x射线衍射的强度考虑到实际晶体结构与之的差别，乘以一个

22、因子：最后得到： 2sin13cv22032sin1hklefvvii晶粒v为晶粒的体积dept. of mse, cqu31材料现代测试方法 x射线衍射的强度3.5 粉末多晶体的hkl面的衍射强度v 衍射的积分强度衍射积分强度近似地等于衍射积分强度近似地等于imb，其中其中im为顶峰强度，为顶峰强度，b为在为在im/2处处的衍射线宽度。的衍射线宽度。dept. of mse, cqu32材料现代测试方法 x射线衍射的强度v 粉末多晶的反射几率p 对于三维尺寸无限大的理想完整晶体，只有严格满足布拉对于三维尺寸无限大的理想完整晶体，只有严格满足布拉格定律时才发生衍射。而实际材料中的晶体在三维尺寸

23、上都格定律时才发生衍射。而实际材料中的晶体在三维尺寸上都是有限的（如针状的一维晶体、片状的二维晶体、三维尺寸是有限的（如针状的一维晶体、片状的二维晶体、三维尺寸都很小的小晶体），当某（都很小的小晶体），当某（hkl）晶面满足布拉格条件时，）晶面满足布拉格条件时，衍射角有一定的波动范围衍射角有一定的波动范围，造成了衍射线具有一定的宽度。，造成了衍射线具有一定的宽度。p 一个粉末多晶体试样是由许多微小晶粒组成，各晶粒的取一个粉末多晶体试样是由许多微小晶粒组成，各晶粒的取向是任意分布的。对某（向是任意分布的。对某（hkl）晶面而言，在各晶粒中都能）晶面而言，在各晶粒中都能找到与之相同的晶面，但是它们

24、的取向却是任意分布的。用找到与之相同的晶面，但是它们的取向却是任意分布的。用倒易点阵的概念讲，这些晶面的倒易矢量分布在空间的各个倒易点阵的概念讲，这些晶面的倒易矢量分布在空间的各个方向，构成一个方向，构成一个倒易球倒易球。dept. of mse, cqu33材料现代测试方法 x射线衍射的强度* 22sin(90)cos4 ()2rrr参加衍射的参加衍射的晶粒分数晶粒分数参加衍射的晶粒分数估计dept. of mse, cqu34材料现代测试方法 x射线衍射的强度v 单位长度衍射环的积分强度衍射环的周长为衍射环的周长为2 r sin2，可见单位弧长的衍射，可见单位弧长的衍射强度反比于强度反比于

25、sin2单位长度衍射环的积分强度dept. of mse, cqu35材料现代测试方法 x射线衍射的强度综合上述两个综合上述两个衍射几何，并结合几何，并结合3.4节中节中i晶粒晶粒的计算的计算公式：公式：22032sin1hklefvvii晶粒把其中有关影响强度的角度因素归并在一起，称为把其中有关影响强度的角度因素归并在一起，称为洛伦兹因素洛伦兹因素：2211cos1cossin2sin2sin 24sincos洛伦兹因数洛伦兹因数dept. of mse, cqu36材料现代测试方法 x射线衍射的强度将洛伦兹因数与偏振因数再将洛伦兹因数与偏振因数再合并，得到一个与掠射角有合并，得到一个与掠射

26、角有关的函数，成为关的函数，成为角因子角因子：221 cos 24sin 2 cos角因子角因子角因子又称为角因子又称为洛伦兹洛伦兹-偏振因子偏振因子dept. of mse, cqu37材料现代测试方法 x射线衍射的强度n 在晶体学中，把晶面间距相同、晶面上原子排列在晶体学中，把晶面间距相同、晶面上原子排列规律相同的晶面称为规律相同的晶面称为等同晶面等同晶面。n 将等同晶面个数对衍射强度的影响因子叫将等同晶面个数对衍射强度的影响因子叫多重性多重性因子因子（数），用（数），用p来表示。来表示。v 多重因子dept. of mse, cqu38材料现代测试方法 x射线衍射的强度 晶系指数h000k000lhhhhh0hk00klh0lhhlhklp 立方6812242448菱方、六方6261224 正方4248816 斜方248 单斜2424 三斜222各晶面族的多重因子dept. of mse, cqu39材料现代测试方法 x射线衍射的强度v 吸收因子 由于试样形状和衍射方向的不同，衍射线在试样中穿行由于试样形状和衍射方向的不同，衍射线在试样中穿行的路径便不相同，所引起的吸收效果自然就不一样。的路径便不相同，所引起的吸收效果自然就不一样。n 圆柱试样的吸收因子圆柱试样对x射线的吸收dept. of mse, cqu40材料现代测试方法 x射线衍射