复变函数积分数学物理方法柯西定理推论及应用

1、数学物理方法李晓红西南科技大学理学院西南科技大学理学院2021-11-14n复变函数积分的定义复变函数积分的定义n复变函数积分的性质复变函数积分的性质n柯西定理柯西定理n柯西积分公式柯西积分公式复变函数的积分复变函数的积分复变函数的积分.积分的定义： x y 0za 1kz kz k nzb 图 3 .1 111()()()nnkkkknkkksfzzfznkkknczfdzzf10)(lim)( )d(i )(did )ddi( dd )f zzuxyu xyxu yvvv说明：说明： (1) 当当 是连续函数，且是连续函数，且l是是光滑曲线时，积分光滑曲线时，积分 一定存在；一定存在； (

2、2) 可以通过两个二元可以通过两个二元实变函数的线积分来计算实变函数的线积分来计算.( )fz( )dlf zz( )dcfzz复积分的基本性质复积分的基本性质 (1)若若 f(z) 沿沿l 可积，且可积，且 l 由由 l1 和和 l2 连连接而成，则接而成，则 (2) 常数因子常数因子 k 可以提到积分号外，即可以提到积分号外，即 (3) 函数和（差）的积分等于各函数积分的和函数和（差）的积分等于各函数积分的和（差），即（差），即 12( )d( )d( )dlllf z zf z zf z z( )d( )dllkf zzkf zz1212 ( )( )d( )d( )dlllf zf z

3、 zf z zf z z(4)若积分曲线的方向改变，则积分值改变符号若积分曲线的方向改变，则积分值改变符号.即即 其中，其中， l- 为为 l 的负向曲线的负向曲线 ( )d( )dllf zzf zz 闭曲线的正方向：曲线上点顺此方向沿该曲线前进时，邻近p点曲线内部始终位于p点的左方0 xy111+i0 xy111+icxxccccxdyixxdyixdxidydxxzdzba221)(re解：解法一解法一22122121re)(102102iyiydyixzdzacc1ydy1x, 0dy212121re)(10112102cccccxdyxdyixdyixxzdzb在第二段曲线上，在第一

4、段曲线上对于) 10(ttzcnzzdz10)(例 计算 其中 c 以 z0为中心，r为半径的正方向，n 为整数解：的方程为c200irezz所以：2020)1(110)(inncnininedriderirezzdz00,2cdznizz当时结论：与积分路线的圆周中心及半径无关rzznnnizzdz00002)(1021000cos()sin()0()nncndzinindzzr当时柯西定理如果函数在单连通区域内处处解析那么函数沿内任何一条封闭曲线的积分为零)(zfd)(zfdc 柯西定理：cdzzf0)(如果曲线是区域的边界，在内及上解析即在闭区域上解析ccd)(zfcdd则cdzzf0)

5、(柯西古萨积分定理注：经修改后的柯西古萨积分定理成立的条件可以注：经修改后的柯西古萨积分定理成立的条件可以弱化为弱化为在区域在区域d内解析，在边界上连续内解析，在边界上连续以后使用中，以后使用中，当满足此条件时柯西积分定理仍然成立当满足此条件时柯西积分定理仍然成立这个定理是柯西这个定理是柯西(cauchy)(cauchy)于于18251825年发表的，年发表的，古萨古萨(goursat(goursat) )于于19001900年提出了修改，故又称为年提出了修改，故又称为柯西古萨定理柯西古萨定理. .柯西定理推论这个定理可用来计算周线内部有奇点这个定理可用来计算周线内部有奇点的积分的积分!123

6、10,( )nccccdi c 定定理理 . . 设设是是复复周周线线1( )d( )d0,knckcf zzf zz ; 均取正方向均取正方向及及其中其中kcc1( )(dd,)kcnckf zzzf z ,1 (2 ( )(), ) ( f zac ddf z 如如( )( )果果 ( )( ): : dc1c2c3cnc柯西定理柯西定理2柯西积分公式柯西积分公式有界区域的单连通柯西积分公式有界区域的单连通柯西积分公式 定理定理 （柯西积分公式）（柯西积分公式） 如果如果 在有界在有界区域区域d处处解析，处处解析，l为为d内的任何一条正向简单闭内的任何一条正向简单闭曲线，且其内部全含于曲线

7、，且其内部全含于d, 为为l内的任一点，内的任一点，那么那么 称为柯西积分公式。称为柯西积分公式。( )fz0z001( )()d2ilf zf zzzz柯西积分公式柯西积分公式001( )()d2ilf zf zzzz意义意义:对于解析函数，只要知道了它在区域边界上对于解析函数，只要知道了它在区域边界上的值，那么通过上述积分公式，区域内部点上的的值，那么通过上述积分公式，区域内部点上的值就完全确定了值就完全确定了结论：如果两个解析函数在区域的边界上处处相结论：如果两个解析函数在区域的边界上处处相等，则它们在整个区域上也相等等，则它们在整个区域上也相等 1!,1,2,2nnlfnfzdniz设

8、 f (z) 在区域 d 内解析，在边界 c 上连续，则1. 任意阶导数任意阶导数 在区域 d 内函数 f (z) 的任意阶导数存在，且： 2. morera 定理定理：设函数 f (z) 在区域 d 内连续，且沿区域内任意围线积分为零，则该函数在区域 d 内解析。柯西积分公式的重要推论柯西积分公式的重要推论cnzzdz10)(例 计算 其中 c 以 z0为中心，r为半径的正方向，n 为整数rzznnnizzdz00002)(10 1!,1,2,2nnlfnfzdnizlnnnidzz1012)( 1 y1c1 o l x1c212222212121dddlcczzzzzzzzzzzz1122

9、11 dd111 dd1 02i2i04icccczzzzzzzz解题思路 1 y1c1 o l x1c22122111dd111 dd111 dd1 2i 2i4icczzzzzzzzzzzzzzzizd , :i1;icezczz2| | 2d(5)(i)zzzzz计算积分计算积分 【解】（【解】（1）注意到）注意到 在复平面内解析，而在复平面内解析，而 -i 在积分环路在积分环路c内，由柯西积分公式得内，由柯西积分公式得 （2）注意到函数）注意到函数 在在 内解析，内解析，而而 i 在在 内，内， 由柯西积分公式得由柯西积分公式得i( )zf zeiiii 1d2i2 iizzzzeze

10、ez 2( )5zf zz2z 2z 222| | 2i25dd(5)()i1 2i53zzzzzzzzzzizzz 【解解】根据柯西积分公式，得到22| | 52371( )d2i(371)| 2i(371)zf zzzz故得到故得到 ( )2i(67)fzz1 i( )|( 1 i)2i6( 1 i)7= 122i zfzf )(zf任何两个原函数相差一个常数不定积分的定义不定积分的定义: .)(d)( , )( )( )( )( czfzzfzfcczfzf 记作记作的不定积分的不定积分为为为任意常数为任意常数的原函数的一般表达式的原函数的一般表达式称称定理定理101001 ( ) ,

11、( ) ( ) , ( )d()() , .zzf zdzf zf zzzzzzf 如如果果函函数数在在单单连连通通域域内内处处处处解解析析为为的的一一个个原原函函数数 那那末末这这里里为为域域内内的的两两点点( (复积分的复积分的newton-leibnitznewton-leibnitz公式公式) )例题例题例2 计算积分计算积分 1idzzz212zz12122ii11d|1(i) 122z zz【解法【解法1】 在整个复平面上解析，且在整个复平面上解析，且 例3 计算积分可用分部积分法得可用分部积分法得i0sin dzz zsinzzii00ii00sin dd( cos ) ( cos )( cos )dzz zzzzzz z ii1icosi sinii(cosi isini)iiee【解】【解】 由于由于 在复平面内处处解析，在复平面内处处解析，复变函数积分