第一章、第四节、函数的极限

1、第四节第四节 函数的极限函数的极限 一、函数极限的定义一、函数极限的定义 二、函数极限的性质二、函数极限的性质 三、小结三、小结 练习题练习题 从数列极限到函数极限的过度从数列极限到函数极限的过度 数列是整标函数数列是整标函数).(nfxn nnnnx limanfn )(lim 当自变量当自变量 n 取正整数无限增大时，函数取正整数无限增大时，函数 f (n) 无限无限接近常数接近常数 a 对于一般函数对于一般函数 y = f (x) ，自变量的变化过程除上，自变量的变化过程除上述情形外，还有以下几种变化过程：述情形外，还有以下几种变化过程：1. 取正实数而无限增大。取正实数而无限增大。 记

2、为记为 x称为称为 x 趋于正无穷大。趋于正无穷大。一、函数极限的定义一、函数极限的定义 对于一般函数对于一般函数 y = f (x) ，自变量的变化过程除上，自变量的变化过程除上述情形外，还有以下几种变化过程：述情形外，还有以下几种变化过程：1. 取正实数而无限增大。取正实数而无限增大。 记为记为 x称为称为 x 趋于正无穷大。趋于正无穷大。2. 取负实数而无限减小。取负实数而无限减小。 记为记为 x称为称为 x 趋于负无穷大。趋于负无穷大。3. 取实数而同时趋于正、负无穷大取实数而同时趋于正、负无穷大 ( |x| 无限增大）无限增大）记为记为 x称为称为 x 趋于无穷大。趋于无穷大。4.

3、取实数而趋于某个有限值取实数而趋于某个有限值记为记为0 xx .0 x.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx播放播放一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变

4、化趋势当当观察函数观察函数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限.si

5、n时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx播放播放一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限;0)(0)(任意小任意小表示表示 xfxf .的过程的过程表示表示 xxx. 0sin)(,|无限接近于无限接近于无限增大时无限增大时当当xxxfx 通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:问题问题: 如何用数学语言刻划函数如何用数学语言刻划函数“无限接近无限接近”.) .(的过程的过程表示表示类似于类似于 nnn定定义义x .)(, 0,

6、 0 axfxxx恒有恒有时时使当使当 axfx)(lim 只要在数列极限定义中，将只要在数列极限定义中，将 n 换为换为 | x | ，n 换为换为 x 即为上述定义即为上述定义1。 :.10情形情形x.)(, 0, 0 axfxxx恒有恒有时时使当使当:.20情形情形xaxfx )(lim.)(, 0, 0 axfxxx恒有恒有时时使当使当axfx )(lim2、另两种情形、另两种情形: axfx)(lim:定定理理.)(lim)(limaxfaxfxx 且且定定义义x .)(, 0, 0 axfxxx恒有恒有时时使当使当 axfx)(lim)(xfy 3、几何解释、几何解释: a ax

7、x图图形形完完全全落落在在以以函函数数时时或或当当)(,xfyxxxx a.2,的的带带形形区区域域内内宽宽为为为为中中心心线线直直线线 ay xaxfx )(limxxysin 例例1. 0sinlim xxx证明证明证证xxxxsin0sin x1 , 0 ,1 x取取时恒有时恒有则当则当xx ,0sin xx. 0sinlim xxx故故)(,)(lim:xfycycxfx 是函数是函数则直线则直线如果如果定义定义,|0sin| xx要要,|1 x只要只要,1| x即即.的图形的水平渐近线的图形的水平渐近线例例2. 0)21(lim xx证明证明证证xx)21(0)21( x 2, 0

8、,2lnln x取取时恒有时恒有则当则当xx ,0)21( x. 0)21(lim xx故故,|0)21( | x要要,2 x只要只要,ln2ln x即即,2lnln x),1( 设设xay xay)1( ) 1( a注意：注意：xx)21(lim xx 2limxx2lim 不存在。不存在。;)()(任意小任意小表示表示axfaxf .000的过程的过程表示表示xxxx x0 x 0 x 0 x ,0邻域邻域的去心的去心点点 x.0程度程度接近接近体现体现xx 2 2、自变量趋向有限值时函数的极限、自变量趋向有限值时函数的极限问题问题: :如何用精确的数学语言描述上述极限如何用精确的数学语言

9、描述上述极限称在自变量的这一变化过程中函数称在自变量的这一变化过程中函数 f (x) 以以 a a 为极限为极限定义定义 恒有恒有时时使当使当,0, 0, 00 xx axfxx)(lim0 axf)(2、几何解释、几何解释:)(xfy aaa0 x0 x0 xxyo,0邻域时邻域时的去心的去心在在当当 xx注意注意：;)(. 10是是否否有有定定义义无无关关在在点点函函数数极极限限与与xxf. 2有有关关与与任任意意给给定定的的正正数数 .,小小的的正正数数均均可可比比后后找找到到一一个个并并非非唯唯一一显显然然 一般说来，一般说来， 越小，越小， 也越小。也越小。图形完全落在图形完全落在函

10、数函数)(xfy ,为中心线为中心线以直线以直线ay .2 的带形区域内的带形区域内宽为宽为 例例1. 211lim21 xxx证明证明证证211)(2 xxaxf, 0 任给任给,| 1| x只只要要,10时时当当 x函数在点函数在点x=1处没有定义处没有定义.1 x,)( axf要使要使,2112 xx就有就有. 211lim21 xxx, 取取例例2.lim,0:000 xxxxx 时时当当证明证明证证0)(xxaxf , 0 任给任给,|00 xxx只只要要00 xxxx ,)( axf要使要使00|xxx ,|00 xxx 即即,0 x 取取,|00时时当当 xx,0 xx就有就有.

11、lim00 xxxx ？在上述极限过程中，要保证在上述极限过程中，要保证 x 0。,0时时而而当当 x |00 xx不能保证不能保证 x 0问题：问题：例例2.lim,0:000 xxxxx 时时当当证明证明证证0)(xxaxf , 0 任给任给,|00 xxx只只要要00 xxxx ,)( axf要使要使00|xxx ,|00 xxx 即即0 x00|xxx x0 x002x,min00 xx 取取,|00时时当当 xx,|)(0 xxaxf有有问题：如何保证问题：如何保证 x 0 ?.lim00 xxxx （1）用定义证明）用定义证明axfxx )(lim0的关键步骤的关键步骤将将 | f

12、 (x) a | 适当化简，变形或放大，使之出现适当化简，变形或放大，使之出现下面的形式：下面的形式： axxkaxf|)(0再从中解出再从中解出,10kxxa 然后取然后取.1ka （2）有时为了同时保证几个不等式成立，）有时为了同时保证几个不等式成立， 常常常常要在几个常数中取最小者。要在几个常数中取最小者。例例3.4lim:22 xx证明证明证证4)(2 xaxf, 0 任给任给,2|2| xx 只只要要)2( )2( xx,)( axf要使要使,2 x 取取,|2|0时时当当 x,42 x就就有有22lim4 .xx ？ 的选取仅与的选取仅与 有关有关，与自变量与自变量 x 无关无关。

13、问题：问题：例例3.4lim:22 xx证明证明证证4)(2 xaxf)2( )2( xx又又 x 2， 不妨设不妨设 1 x 3，请思考：为什么能这样？请思考：为什么能这样？为什么要这样？为什么要这样？则有则有42 x)2( )2( xx5|2| x|2|5 x ,5|2| x1 x 3| x 2 | 0的情形证明的情形证明, 0)(lim0 axfxx因为因为, 03 a 所以对于所以对于, 0 则必则必有有时时当当,|00 xx3|)(|aaxf 3)(3aaxfaa . 0 ).0)(0)(,),(, 00 xfxfxux或或时时当当则则 ).0(0),0)(0)( aaxfxf或或则

14、则或或4.子列收敛性子列收敛性(函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系),),(:000中中或或可以是可以是设在过程设在过程定义定义 xxxaaxaxxfxfaxfnax 当当是是数列数列若若定理定理)()(,)(lim:则称数列则称数列时时使得使得有数列有数列., )(axnaxnn )(, )(, )(, )(,)(21xfxfxfxfxfnn为函数为函数即即.时的子列时的子列当当ax .)(lim,axfnn 则有则有时的任意一个子列时的任意一个子列定定义义x axfx)(lim 只要在数列极限定义中，将只要在数列极限定义中，将 n 换为换为 | x | ，n 换为换为 x 即

15、为上述定义即为上述定义1。 内容回顾内容回顾: :自变量无穷大时函数的极限自变量无穷大时函数的极限.)(, 0, 0 axfxxx恒有恒有时时使当使当:.10情形情形x.)(, 0, 0 axfxxx恒有恒有时时使当使当:.20情形情形xaxfx )(lim.)(, 0, 0 axfxxx恒有恒有时时使当使当axfx )(lim2 2、自变量趋向有限值时函数的极限、自变量趋向有限值时函数的极限三、小结三、小结极限的统一定义极限的统一定义;)(limanfn ;)(limaxfx ;)(limaxfx ;)(limaxfx ;)(lim0axfxx ;)(lim0axfxx .)(lim0axfxx , 0)(lim从此时刻以后从此时刻以后时刻时刻 axf(见下表见下表).)( axf恒恒有有0 xx 00 xx 0 xx 0 xx 00 xx00 xx过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 )(xf axf)(过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 n x x xxnn xx xx xx )(xf axf)(n思考题思考题1.01sinlim0 xxx证证明明解答解答:01si