31仿射坐标变换的一般理论

1、上页 下页 结束 在空间或平面中在空间或平面中, 同一点在不同坐标系下的坐标同一点在不同坐标系下的坐标 不相同不相同, 从而从而图形方程也不相同图形方程也不相同. 如在平面上如在平面上, 圆锥曲线圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线椭圆、双曲线、抛物线) 只在只在直角坐标系中直角坐标系中的方程才是的方程才是标准方程标准方程:pxybyaxbyax211222222222 , ,在其他坐标系下方程可能会很复杂在其他坐标系下方程可能会很复杂. 在第二章中在第二章中 的的椭球面、单叶双曲面、双叶双曲面、椭圆抛椭球面、单叶双曲面、双叶双曲面、椭圆抛 物面和马鞍面物面和马鞍面等也是在等也是在直角坐标系直角坐标

2、系中讨论的中讨论的.第三章第三章 二次曲线的分类二次曲线的分类 上页 下页 结束 在一般的仿射坐标系中在一般的仿射坐标系中二次方程的图像是否也二次方程的图像是否也 属于这属于这 14 类曲面之一类曲面之一? 还有没有其他可能还有没有其他可能? 于是于是 产生了下面的产生了下面的两个问题两个问题:(1) 对于给定的图形对于给定的图形, 怎样选择坐标系怎样选择坐标系, 使得它使得它 的方程最简单的方程最简单? (2) 在不同的坐标系中在不同的坐标系中, 图形的方程之间有什图形的方程之间有什 么关系么关系? 第三章第三章 二次曲线的分类二次曲线的分类 上页 下页 结束 1.1 过渡矩阵、向量和点的坐

3、标变换公式过渡矩阵、向量和点的坐标变换公式1.2 图形的坐标变换公式图形的坐标变换公式 1.3 过渡矩阵的性质过渡矩阵的性质 1.4 代数曲面和代数曲线代数曲面和代数曲线 1.5 直角坐标变换的过渡矩阵、正交矩阵直角坐标变换的过渡矩阵、正交矩阵 1 仿射坐标变换一般理论仿射坐标变换一般理论 上页 下页 结束 本节讨论本节讨论坐标变换的一般规律坐标变换的一般规律, 给出给出点、向量点、向量 和图形的坐标变换公式和图形的坐标变换公式. 设空间中有两个仿射坐标系设空间中有两个仿射坐标系i: o; e1, e2, e3 和和 i : o ; e1 , e2 , e3 . 一个点一个点或或一个向量一个向

4、量在在 i 和和 i 中有不同的坐标中有不同的坐标 (x, y, z) 和和 (x ,y , z ), 它们有它们有什么什么关系关系? 一个一个图形图形在在 i 和和 i 中有中有 不同的不同的方程方程, 它们它们怎样互相转化怎样互相转化? 1 仿射坐标变换一般理论仿射坐标变换一般理论 上页 下页 结束 向量的坐标变换公式向量的坐标变换公式 设设向量向量 在在 i 和和 i 中的坐标分别为中的坐标分别为(x, y, z) 和和 (x ,y , z ), 设设e1 , e2 , e3 在在 i 中的坐标分别为中的坐标分别为 (c11, c21, c31), (c12, c22, c32), (c

5、13, c23, c33), 即即 333223113333222211223312211111eeeeeeeeeeeeccccccccc根据根据坐标定义坐标定义 , 1.1, 1.2 坐标变换公式坐标变换公式 上页 下页 结束 = x e1 + y e2 + z e3 = x (c11e1 + c21e2 + c31e3) + y (c12e1 + c22e2 + c32e3) + z (c13e1 + c23e2 + c33e3) = (c11x + c12y + c13z ) e1 + (c21x + c22y + c23z ) e2 + (c31 x + c32y + c33z ) e

6、3说明说明 在在 i 中的坐标中的坐标为为 zcycxczzcycxcyzcycxcx333231232221131211(3.1) 1.1, 1.2 坐标变换公式坐标变换公式 上页 下页 结束 写成矩阵形式写成矩阵形式 . zyxccccccccczyx333231232221131211(3.1a) 称称(3.1)和和(3.1a)为为向量的坐标变换公式向量的坐标变换公式, (3.1a)中中 的矩阵的矩阵 333231232221131211cccccccccc称为从坐标系称为从坐标系 i 到到 i 的的过渡矩阵过渡矩阵, 是是以以e1 , e2 , e3 在在 i 中坐标为各个中坐标为各个

7、列向量列向量的三阶矩阵的三阶矩阵.1.1, 1.2 坐标变换公式坐标变换公式 上页 下页 结束 点的坐标变换公式点的坐标变换公式 设点设点 m 在在 i 和和 i 中的坐标中的坐标分别为分别为(x, y, z) 和和 (x , y , z ), 它们分别是它们分别是向量向量 om 在在 i 中的坐标中的坐标和和 o m 在在 i 中的坐标中的坐标. 根据根据 (3.1a) 得得 o m 在在 i 中的坐标中的坐标为为 . zyxccccccccc333231232221131211设点设点 o ( 即即oo ) 在在 i 中中 的坐标的坐标为为 (d1, d2, d3) ,1.1, 1.2 坐

8、标变换公式坐标变换公式 上页 下页 结束 由于由于 om = oo + o m , 则则 . 321333231232221131211dddzyxccccccccczyx(3.2a) 称称(3.2a)为为点的坐标变换公式的矩阵形式点的坐标变换公式的矩阵形式, 其一般其一般 形式为形式为 333323122322211131211dzcycxczdzcycxcydzcycxcx(3.2) 1.1, 1.2 坐标变换公式坐标变换公式 上页 下页 结束 曲面的坐标变换公式曲面的坐标变换公式 设设 s 是一张是一张曲面曲面, 它它在在 i 中的一般方程中的一般方程为为 f (x, y, z) = 0

9、, 求它求它在在 i 中的一般方程中的一般方程. 对于点对于点 m, 如果它如果它在在 i 中的坐标中的坐标为为 (x , y , z ), 则它则它在在 i 中的坐标中的坐标为为(c11x + c12y + c13z +d1, c21x + c22y + c23z +d2, c31x + c32y + c33z +d3 ), 1.1, 1.2 坐标变换公式坐标变换公式 上页 下页 结束 因此因此 m s f (c11x + c12y + c13z +d1, c21x + c22y + c23z +d2, c31x + c32y + c33z +d3) = 0. 记上式左边函数为记上式左边函数

10、为 g(x , y , z ) , 则则g(x , y , z ) = 0 是是 s 在在 i 中的一般方程中的一般方程, 称它为称它为由由 s 在在 i 中的方中的方 程程 f(x, y, z) = 0 经过坐标变换转化为经过坐标变换转化为 s 在在 i 中的中的方程方程.1.1, 1.2 坐标变换公式坐标变换公式 上页 下页 结束 曲线的坐标变换公式曲线的坐标变换公式 由于由于曲线可以看作两张曲面的交线曲线可以看作两张曲面的交线, 它在它在 i 中中的的一般方程一般方程为为两个三元方程式的联立方程组两个三元方程式的联立方程组, 将将这两个方程都用这两个方程都用坐标变换坐标变换化为化为 i

11、中中的方程的方程, 联立联立即得它在即得它在 i 中的中的一般方程一般方程.1.1, 1.2 坐标变换公式坐标变换公式 上页 下页 结束 例例 3.1 设从坐标系设从坐标系 i 到到 i 的过渡矩阵的过渡矩阵为为 , 101110012co 在在 i 中的坐标为中的坐标为 (1, 2, 0) . (1) 设平面设平面 在在 i 中的一般方程中的一般方程为为 3x + 2y z + 2 = 0, 求求 在在 i 中的一般方程中的一般方程. 1.1, 1.2 坐标变换公式坐标变换公式 上页 下页 结束 (2) 设直线设直线 l 在在 i 中的标准方程中的标准方程为为 ,12231 zyx求求 l

12、在在 i 中的方程中的方程. 解解: 由已知由已知, 向量的坐标变换公式向量的坐标变换公式为为 zxzzyyyxx2(3.3) 1.1, 1.2 坐标变换公式坐标变换公式 上页 下页 结束 点的坐标变换公式点的坐标变换公式为为 zxzzyyyxx212(3.4) (1) 将将 (3.4) 代入平面的一般方程代入平面的一般方程, 得得 3(2x + y + 1) + 2(y z 2) (x + z ) + 2 = 0, 整理得整理得 在在 i 中的一般方程中的一般方程为为 5x + 5y 3z + 1 = 0 . 1.1, 1.2 坐标变换公式坐标变换公式 上页 下页 结束 (2) 方法方法1:

13、 求求 l 在在 i 中的一般方程中的一般方程. 容易求得容易求得 l 在在 i 中的一般方程中的一般方程为为 0420232zyyx将点的坐标变换公式将点的坐标变换公式 (3.4) 分别代入得两平面在分别代入得两平面在 i 中的一般方程中的一般方程, 化简并联立得化简并联立得 l 在在 i 中的一般中的一般方程方程为为. 06206354zyxzyx1.1, 1.2 坐标变换公式坐标变换公式 上页 下页 结束 方法方法2: 求求 l 在在 i 中的标准方程中的标准方程. 记记m 是是 i 中坐标为中坐标为 (1, 0, 2) 的的点点, 是是 i 中坐标中坐标 为为 (3, 2, 1) 的的

14、向量向量, 则则 l 过点过点m, 平行于向量平行于向量 . 以以 x = 1, y = 0, z = 2 代入代入(3.4), 得到关于得到关于 m 在在 i 中坐标的方程组中坐标的方程组 2202zxzyyx 分别求出分别求出 m 和和 在在 i 中的坐标中的坐标 即可得到即可得到 l 在在 i 中的标准方程中的标准方程.1.1, 1.2 坐标变换公式坐标变换公式 上页 下页 结束 同理可得同理可得 在在 i 中坐标的方程组中坐标的方程组 1232zxzyyx由于由于两方程组系数矩阵两方程组系数矩阵相同相同, 用用矩阵消元法矩阵消元法解解: 121012211030012 14210221

15、10121011.1, 1.2 坐标变换公式坐标变换公式 上页 下页 结束 361005801044001于是于是 m 和和 在在 i 中的坐标分别为中的坐标分别为 ( 4, 8, 6) 和和 (4, 5, 3) , 从而得从而得 l 在在 i 中的标准方程中的标准方程为为.365844 zyx 3610022110121011.1, 1.2 坐标变换公式坐标变换公式 上页 下页 结束 1.3 过渡矩阵的性质过渡矩阵的性质 命题命题: 过渡矩阵是可逆矩阵过渡矩阵是可逆矩阵. 证明证明: 因为因为 i 中坐标向量中坐标向量 e1 , e2 , e3 不共面不共面, 因此过渡矩阵因此过渡矩阵 c

16、的行列式的行列式 |c| 0. 命题命题 3.1 设有三个仿射坐标系设有三个仿射坐标系 i, i , i , i 到到 i 的过渡矩阵为的过渡矩阵为c, i 到到 i 的过渡矩阵为的过渡矩阵为d, 则则 i 到到 i 的过渡矩阵为的过渡矩阵为cd. 证明证明: 记记 , 333231232221131211dddddddddd上页 下页 结束 则则 i 的坐标向量的坐标向量 ei 在在 i 中的坐标为中的坐标为 (d1i, d2i, d3i), .,321321 c idddiii于是于是 i 到到 i 的过渡矩阵的过渡矩阵为为 332313322212312111dddddddddc c c

17、.cdc 333231232221131211ddddddddd根据公式根据公式(3.1a), ei 在在 i 中的坐标中的坐标为为1.3 过渡矩阵的性质过渡矩阵的性质 上页 下页 结束 推论推论 若若 i 到到 i 的过渡矩阵为的过渡矩阵为 c, 则则 i 到到 i 的过渡的过渡 矩阵为矩阵为 c 1.例例 3.2 已知仿射坐标系已知仿射坐标系 i 的三个坐标平面在仿的三个坐标平面在仿 射坐标系射坐标系 i 中的一般方程为中的一般方程为 y o z 面面: 3x + 2y 2z + 1 = 0, x o z 面面: 2x + y z 2 = 0, x o y 面面: x 2y + z + 2

18、 = 0, 并且并且 i 的原点的原点 o 在在 i 中的坐标中的坐标为为 (1, 4, 2) , 求求 i 到到 i 的坐标变换公式的坐标变换公式.1.3 过渡矩阵的性质过渡矩阵的性质 上页 下页 结束 解解: 方法一方法一. 已知已知 i 的原点的原点 o 在在 i 中的坐标中的坐标, 可可先求先求 i 到到 i 的坐标变换公式的坐标变换公式. 设设 i 到到 i 的过渡矩阵的过渡矩阵为为 , 333231232221131211dddddddddd1.3 过渡矩阵的性质过渡矩阵的性质 上页 下页 结束 则则 i 到到 i 的坐标变换公式的坐标变换公式为为 2413332312322211

19、31211zdydxdzzdydxdyzdydxdx于是于是y o z 平面平面, 即即 x = 0 在在 i 中的方程为中的方程为 d11x + d12y + d13z + 1 = 0. 已知已知y o z 面在面在 i 中的方程中的方程: 3x + 2y 2z + 1 = 0, 比较系数得比较系数得: d11 = 3, d12 = 2, d13 = 2; 1.3 过渡矩阵的性质过渡矩阵的性质 上页 下页 结束 类似可得类似可得: d21 = 4, d22 = 2, d23 = 2, d31 = 1, d32 = 2, d33 = 1. 从而从而 , 121224223d于是于是 i 到到

20、i 的坐标变换公式的坐标变换公式为为 , 2242241223zyxzzyxyzyxx1.3 过渡矩阵的性质过渡矩阵的性质 上页 下页 结束 即即 . 241121224223zyxzyx于是于是 , 2411212242231zyxzyx, 241281025602221zyx1.3 过渡矩阵的性质过渡矩阵的性质 上页 下页 结束 ,. 231551451523011zyx从而从而 i 到到 i 的坐标变换公式的坐标变换公式为为 . 2345155235zyxzzyxyyxx1.3 过渡矩阵的性质过渡矩阵的性质 上页 下页 结束 方法二方法二. 直接求直接求 i 到到 i 的坐标变换公式的坐

21、标变换公式. 解方程组解方程组 可求得可求得 02202201223zyxzyxzyxi 的原点的原点o 在在 i 中的坐标为中的坐标为 (5, 15, 23), 由条件易求得由条件易求得x 轴轴, y 轴轴, z 轴的方向轴的方向可分别取为可分别取为(1, 3, 5), (2, 5, 8), (0, 1, 1), 下面确定下面确定 i 的三个坐标向量的三个坐标向量在在 i 中的坐标中的坐标. 1.3 过渡矩阵的性质过渡矩阵的性质 上页 下页 结束 k (1, 3, 5), m (2, 5, 8), n (0, 1, 1), k, m, n 0.设设 e1 , e2 , e3 在在 i 中的坐

22、标分别为中的坐标分别为: 则则 i 到到 i 的坐标变换公式的坐标变换公式应为应为 . 2385155352znymxkzznymxkyymxkx将将 i 的原点的原点 o 在在 i, i 中的坐标中的坐标 代入上式得代入上式得 . 23232501522030580nmknmkmk1.3 过渡矩阵的性质过渡矩阵的性质 上页 下页 结束 解得解得 k = 1, m = 0.5, n = 1 , 因此因此 i 到到 i 的坐标变换公式的坐标变换公式为为 . 2345155235zyxzzyxyyxx1.3 过渡矩阵的性质过渡矩阵的性质 上页 下页 结束 例例 3.3 设设 (a1, b1, c1

23、) 与与 (a2, b2, c2) 不成比例不成比例, 证明证明 在任意仿射坐标系在任意仿射坐标系 i 中中, 形如形如 f (a1x + b1y + c1z, a2x + b2y + c2z) = 0 的方程的图像的方程的图像 s 是柱面是柱面. 分析分析: 若若 s 在坐标系中在坐标系中 i 的方程为的方程为 f (x , y ) = 0, 则则 s 为柱面为柱面, 于是问题转化为于是问题转化为: 找到找到适当的坐标适当的坐标变换变换使得使得 s 在新坐标系在新坐标系i 中的方程为中的方程为f (x , y ) = 0. 1.3 过渡矩阵的性质过渡矩阵的性质 上页 下页 结束 证明证明:

24、由于由于 (a1, b1, c1) 与与 (a2, b2, c2) 不成比例不成比例, 因此存在因此存在 a3, b3, c3 , 使得使得 333222111cbacbacbac是可逆矩阵是可逆矩阵. 设设 , 3332312322211312111dddddddddc1.3 过渡矩阵的性质过渡矩阵的性质 上页 下页 结束 作仿射坐标系作仿射坐标系 i : o; e1 , e2 , e3 , 使得使得 e1 , e2 , e3 在在 i 中的坐标依次是中的坐标依次是 c 1 的三个列向量的三个列向量. . zcybxazzcybxayzcybxax333222111 于是于是i 中方程为中方

25、程为 f (x , y ) = 0 的的柱面柱面在在 i 中的中的方程为方程为 f (a1x + b1y + c1z, a2x + b2y + c2z) = 0. 因此它就是因此它就是 s . 则则 i 到到 i 的过渡矩阵的过渡矩阵为为 c 1, 从而从而 i 到到 i 的过的过渡矩阵渡矩阵为为c, 注意到注意到 i 与与 i 有相同的原点有相同的原点, 因此因此i 到到 i 的的 坐标变换公式坐标变换公式为为1.3 过渡矩阵的性质过渡矩阵的性质 上页 下页 结束 注注: 平面平面坐标变换中坐标变换中过渡矩阵为二阶矩阵过渡矩阵为二阶矩阵. 点点的坐标变换公式为的坐标变换公式为 2222111

26、211dycxcydycxcx(3.2b) 向量向量的坐标变换公式为的坐标变换公式为 ycxcyycxcx22211211(3.1b) 1.3 过渡矩阵的性质过渡矩阵的性质 上页 下页 结束 1.4 代数曲面和代数曲线代数曲面和代数曲线 定义定义: 如果如果 f (x, y, z) 是是 x, y, z 的一个的一个多项式多项式, 则称方程则称方程 f (x, y, z) = 0 的图像为的图像为代数曲面代数曲面, 把把 f (x, y, z) 的次数的次数称为这称为这 个代数曲面的个代数曲面的次数次数. 注注: (1) 次数次数的概念并的概念并不是纯几何的不是纯几何的, 代数曲面代数曲面 的

27、次数与方程有关的次数与方程有关. 例如方程例如方程 x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz = 0 与与 x + y + z = 0 次数不同次数不同, 但表示但表示同一平面同一平面. 代数曲面代数曲面 上页 下页 结束 (2) 代数曲面代数曲面及其及其次数次数与与坐标系坐标系的选择的选择无关无关. 如果一张代数曲面在坐标系如果一张代数曲面在坐标系 i 中的方程为中的方程为 f (x, y, z) = 0 , 当从坐标系当从坐标系 i 到坐标系到坐标系 i 作坐标变换作坐标变换 时时, 多项式多项式 f (x, y, z) 变为函数变为函数 g(x , y , z ) ,

28、 则则 g(x , y , z ) 也是多项式也是多项式, 且次数不会超过且次数不会超过 f (x, y, z) ; 反过来从反过来从 i 到到 i 的坐标变换又把的坐标变换又把 g(x , y , z ) 变为函数变为函数 f (x, y, z), 从而从而 f (x, y, z) 的次数的次数 又不会超过又不会超过 g(x , y , z ), 于是于是 f (x, y, z) 与与 g(x , y , z ) 是同次多项式是同次多项式.1.4 代数曲面和代数曲线代数曲面和代数曲线 上页 下页 结束 问题问题: 空间中一个二次曲面和一张平面的交线空间中一个二次曲面和一张平面的交线 是什么曲

29、线是什么曲线? 设设 s 是空间中的一个是空间中的一个二次曲面二次曲面, 它在坐标系它在坐标系 i 中的方程为中的方程为 f(x, y, z) = 0, 为平面为平面. 代数曲线代数曲线 定义定义: 如果在一个平面上如果在一个平面上 f (x, y) 是是 x, y 的一个的一个多项式多项式, 则称方程则称方程 f (x, y) = 0 的图像为的图像为代数曲线代数曲线, 把把 f (x, y) 的次数的次数称为这称为这 个代数曲线的个代数曲线的次数次数. 以以 为为x o y 平面平面, 做一个新的坐标系做一个新的坐标系 i , 设从设从 i 到到 i 的坐标变换的坐标变换把把 f(x, y

30、, z) 变为变为 g(x , y , z ) .1.4 代数曲面和代数曲线代数曲面和代数曲线 上页 下页 结束 于是于是 s 与与 的交线的交线在在 i 的坐标平面的坐标平面x o y 上的上的 方程为方程为g(x , y , 0) = 0.显然显然, 它是它是次数不超过次数不超过 2 的代数曲线的代数曲线. 这样上述问题的结论为这样上述问题的结论为: 如果如果 s 与与 相交相交, 并且并且 交点不是一个点交点不是一个点, 则交线是二次曲线或者直线则交线是二次曲线或者直线. 则则 s 在在 i 中的方程为中的方程为g(x , y , z ) = 0, 而而 在在 i 中的方程为中的方程为

31、z = 0.1.4 代数曲面和代数曲线代数曲面和代数曲线 上页 下页 结束 1.5 直角坐标变换直角坐标变换 定义定义: 对对 n 阶实矩阵阶实矩阵 a, 若若 a 1 = at, 则称则称 a 为为 正交矩阵正交矩阵. 性质性质: (4) a 是正交矩阵是正交矩阵 a 的各行的各行(列列)元素的平方和元素的平方和等于等于1, 不同两行不同两行(列列)对应元素乘积之和为零对应元素乘积之和为零.(3) 正交矩阵正交矩阵的的逆矩阵逆矩阵和和转置矩阵转置矩阵仍是仍是正交矩阵正交矩阵; 正交矩阵正交矩阵 (2) 两个两个正交矩阵的乘积正交矩阵的乘积仍是仍是正交矩阵正交矩阵; (1) 若若a 是正交矩阵

32、是正交矩阵, 则则|a| = 1 或或 |a| = 1;上页 下页 结束 命题命题 3.2 两个两个直角坐标系之间的过渡矩阵直角坐标系之间的过渡矩阵是是正正 交矩阵交矩阵. 证明证明: 设设 i: o; e1, e2, e3 和和 i : o ; e1 , e2 , e3 是是 空间中的两个直角坐标系空间中的两个直角坐标系, i 到到 i 的过渡矩阵的过渡矩阵为为 . 333231232221131211cccccccccc 直角坐标变换直角坐标变换 1.5 直角坐标变换直角坐标变换 上页 下页 结束 因为因为 i 是直角坐标系是直角坐标系, c 的各个列向量的各个列向量依次是依次是 e1 ,

33、 e2 , e3 在在 i 中的坐标中的坐标, 所以它们之间的内积为所以它们之间的内积为ei ej = c1ic1j + c2ic2j + c3ic3j , i, j = 1, 2, 3. 又因为又因为 i 是直角坐标系是直角坐标系, 所以所以 c1ic1j + c2ic2j + c3ic3j = ei ej = 1, i = j , 0, i j , 于是于是 ctc = 332313322212312111eeeeeeeeeeeeeeeeee.e 1000100011.5 直角坐标变换直角坐标变换 上页 下页 结束 注注: 命题命题3.2也适用于平面的情况也适用于平面的情况, 即即两个平面

34、直两个平面直 角坐标系之间的过渡矩阵是二阶正交矩阵角坐标系之间的过渡矩阵是二阶正交矩阵.对二阶正交矩阵对二阶正交矩阵 , 22211211ccccc有有 1222212222221212211221211 ccccccccc11c12 + c12c22 = c11c21 + c21c22 = 0.于是于是 |c11| = |c22|, |c12| = |c21|. 1.5 直角坐标变换直角坐标变换 上页 下页 结束 根据上面的关系根据上面的关系, 取角取角 , 使得使得cos = c11, sin = c21. 此时此时c12 = sin , 并且并且 当当 c12 = sin 时时, c22

35、 = cos ; 当当 c12 = sin 时时, c22 = cos . 于是二阶正交矩阵只有下面两种形式于是二阶正交矩阵只有下面两种形式: .cossinsincos,cossinsincos 1.5 直角坐标变换直角坐标变换 上页 下页 结束 设设 i: o; e1, e2 和和 i : o ; e1 , e2 是平面上两个是平面上两个直角坐标系直角坐标系, 且且o , e1 , e2 在在 i 中的坐标分别为中的坐标分别为 (d1, d2), (c11, c21), (c12, c22), 则有则有 c11 = e1 e1 = cos e1, e1 , c21 = e2 e1 = co

36、s e2, e1 , c12 = e1 e2 = cos e1, e2 , c22 = e2 e2 = cos e2, e2 . 1.5 直角坐标变换直角坐标变换 上页 下页 结束 设设 是是e1 到到 e1 的转角的转角, 0 2 . (1) 若若 i 和和 i 都是右手直角坐标系都是右手直角坐标系, 则则 c11 = cos e1, e1 = cos , c21 = cos e2, e1 = sin , c12 = cos e1, e2 = sin , c22 = cos e2, e2 = cos , e1 e2 e1 e2 从而从而 i 到到 i 的过渡矩阵的过渡矩阵为为 ,cossin

37、sincos c |c| = 1.1.5 直角坐标变换直角坐标变换 上页 下页 结束 (2) 若若 i 和和 i 都是左手直角坐标系都是左手直角坐标系, 则则 c11 = cos e1, e1 = cos , c21 = cos e2, e1 = sin , c12 = cos e1, e2 = sin , c22 = cos e2, e2 = cos , 从而从而 i 到到 i 的过渡矩阵的过渡矩阵为为 ,cossinsincos c |c| = 1.e1 e2 e1 e2 1.5 直角坐标变换直角坐标变换 上页 下页 结束 (3) 若若 i 是是右手直角坐标系右手直角坐标系, i 是左手系

38、是左手系, 则则 c11 = cos e1, e1 = cos , c21 = cos e2, e1 = sin , c12 = cos e1, e2 = sin , c22 = cos e2, e2 = cos , 从而从而 i 到到 i 的过渡矩阵的过渡矩阵为为 ,cossinsincos c |c| = 1.e1 e2 e1 e2 1.5 直角坐标变换直角坐标变换 上页 下页 结束 (4) 若若 i 是是左手直角坐标系左手直角坐标系, i 是右手系是右手系, 则则 c11 = cos e1, e1 = cos , c21 = cos e2, e1 = sin , c12 = cos e1

39、, e2 = sin , c22 = cos e2, e2 = cos , 从而从而 i 到到 i 的过渡矩阵的过渡矩阵为为 ,cossinsincos c |c| = 1.e1 e2 e1 e2 1.5 直角坐标变换直角坐标变换 上页 下页 结束 注注: (1) 平面平面(或空间或空间)的两个坐标系的两个坐标系, 如果它们如果它们都是右手系都是右手系, 或者或者都是左手系都是左手系, 则称它们是则称它们是同定同定 向向的的; 如果如果一个是右手系一个是右手系, 另一个是左手系另一个是左手系, 则则称它们是称它们是反定向反定向的的.命题命题: 设设 i, i 都是平面都是平面(或空间或空间)的

40、的直角坐标系直角坐标系, i 到到 i 的过渡矩阵的过渡矩阵为为c, 则则i 和和 i 同定向同定向 |c| = 1; i 和和 i 反定向反定向 |c| = 1. 1.5 直角坐标变换直角坐标变换 上页 下页 结束 (2) 设设 i 和和 i 都是平面都是平面右手直角右手直角坐标系坐标系, 由上面由上面分析可知分析可知, i 到到 i 的坐标变换公式的坐标变换公式为为 ,cossinsincos 21ddyxyx即即.cossinsincos 21dyxydyxx1.5 直角坐标变换直角坐标变换 上页 下页 结束 ,cossinsincos yxyx(i) 当当 i 与与 i 的原点重合的原

41、点重合时时, i 可由可由 i 绕原点逆绕原点逆时针旋转时针旋转 角角得到得到, 这样的的坐标变换称为这样的的坐标变换称为转转轴变换轴变换, (简称为简称为转轴转轴), 其其坐标变换公式坐标变换公式为为即即.cossinsincos yxyyxx1.5 直角坐标变换直角坐标变换 上页 下页 结束 , 21ddyxyx(ii) 当当 = 0 时时, i 到到 i 的过渡矩阵的过渡矩阵为为二阶单位矩二阶单位矩阵阵, 此时此时, 两个坐标系的两个坐标系的坐标向量相同坐标向量相同, 仅仅原点不原点不同同, i 可由可由 i 沿沿oo 的方向平移的方向平移|oo |的长度的长度得到得到, 这样的的坐标变

42、换称为这样的的坐标变换称为移轴变换移轴变换, (简称为简称为移轴移轴), 其其坐标变换公式坐标变换公式为为即即. 21dyydxx1.5 直角坐标变换直角坐标变换 上页 下页 结束 上述分析也表明上述分析也表明, 平面任一右手直角坐标变换平面任一右手直角坐标变换 都可以经过移轴和转轴得到都可以经过移轴和转轴得到, 即对于右手直角坐即对于右手直角坐标系标系i: o; e1, e2 和和 i : o ; e1 , e2 , 有有 i: o; e1, e2 o ; e1, e2 i : o ; e1 , e2 移轴移轴 转轴转轴 i: o; e1, e2 o; e1 , e2 i : o ; e1

43、, e2 转轴转轴 移轴移轴 1.5 直角坐标变换直角坐标变换 上页 下页 结束 在在 n = 2, 3 时时, 过渡矩阵的列向量过渡矩阵的列向量代表了进行代表了进行 坐标变换之后新坐标系坐标变换之后新坐标系 i 中坐标向量在旧坐标中坐标向量在旧坐标 系系 i 中的坐标中的坐标, 正交矩阵正交矩阵的的各行各行(列列)元素的平方元素的平方和等于和等于1, 不同两行不同两行(列列)对应元素乘积之和为零对应元素乘积之和为零, 于是于是 正交矩阵正交矩阵的几何意义的几何意义 二阶正交矩阵二阶正交矩阵必然可作为某必然可作为某平面直角坐标变换平面直角坐标变换的的过渡矩阵过渡矩阵.三阶正交矩阵三阶正交矩阵必

44、然可作为某必然可作为某空间直角坐标变换空间直角坐标变换的的过渡矩阵过渡矩阵.1.5 直角坐标变换直角坐标变换 上页 下页 结束 例例 3.4 在平面上在平面上, 设设 x , y 轴在原坐标系中的方程轴在原坐标系中的方程 分别为分别为: 3x 4y + 1 = 0, 4x + 3y 7 = 0, 且新、旧坐标系都是右手直角坐标系且新、旧坐标系都是右手直角坐标系. 求求 i 到到 i 的点的坐标变换公式的点的坐标变换公式; 直线直线 l1: 2x y + 3 = 0 在新在新 坐标系中的方程坐标系中的方程; 直线直线 l2: x + 2y 1 = 0 在原坐在原坐 标系中的方程标系中的方程.解解

45、: 设原坐标系为设原坐标系为 i: o; e1, e2, 新坐标系为新坐标系为 i : o ; e1 , e2 .1.5 直角坐标变换直角坐标变换 上页 下页 结束 解方程组解方程组 3x 4y + 1 = 0, 4x + 3y 7 = 0,得得 x = 1, y = 1. 因此因此 o 在在 i 中的坐标为中的坐标为 (1, 1). 因为因为 x 轴的标准方程为轴的标准方程为 ,3431yx 因此因此 x 轴的方向向量为轴的方向向量为 (4, 3), 于是于是 e1 在在 i 中的中的 坐标为坐标为 , 5354 或者或者 , 5354 1.5 直角坐标变换直角坐标变换 上页 下页 结束 取取 5354 ,为为 e1 在在 i 中坐标中坐标, 可得由可得由 i 到到 i 的坐的坐标变换公式标变换公式为为 . 1154535354yxyx直线直线 l1: 2