61基本概念62可分离

1、微分方程 第六章yxfy求已知, )( 积分问题积分问题 yy求及其若干阶导数的方程已知含, 微分方程问题微分方程问题 推广 几何问题几何问题物理问题物理问题来源：引例引例1. 一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点处的解解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式:xxy2ddxxyd2cx 2(c为任意常数)由 得 c = 1,.12 xy因此所求曲线方程为21xy由 得切线斜率为 2x , 求该曲线的方程 . 引例引例2. 列车在平直路上以sm20的速度行驶, 制动时获得加速度,sm4 . 02a求制动后列车的运动规律.解解: 设列车在制动后 t 秒行驶了s 米 ,已

2、知4 . 0dd22ts,00ts200ddtts由前一式两次积分, 可得2122 . 0ctcts利用后两式可得0,2021cc因此所求运动规律为tts202 . 02说明说明: 利用这一规律可求出制动后多少时间列车才能停住 , 以及制动后行驶了多少路程 . 即求 s = s (t) .常微分方程偏微分方程含未知函数及其导数的方程叫做微分方程微分方程 .方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程(本章内容)0),()(nyyyxf),() 1()(nnyyyxfy( n 阶显式微分方程)微分方程的基本概念微分方程的基本概念一般地 , n 阶常微分方程的形式是的阶阶.分类或,00ts200d

3、dtts引例24 . 022ddxy 使方程成为恒等式的函数.通解通解 解中所含独立的任意常数的个数与方程) 1(00) 1(0000)(,)(,)(nnyxyyxyyxy 确定通解中任意常数的条件.n 阶方程的初始条件初始条件( (或初值条件或初值条件) ):的阶数相同.特解特解xxy2dd21xy引例1 cxy22122 . 0ctcts通解:tts202 . 0212 xy特解:微分方程的解解 不含任意常数的解, 定解条件定解条件 其图形称为积分曲线积分曲线. .例例1. 验证函数是微分方程tkctkcxsincos2122ddtx的解,0axt00ddttx的特解 . 解解: 22dd

4、txt kkcsin22)cossin(212t kct kckxk2这说明tkctkcxsincos21是方程的解 . 是两个独立的任意常数,21,cc),(21为常数cct kkccos2102xk利用初始条件易得: ,1ac 故所求特解为tkaxcos,02c故它是方程的通解.并求满足初始条件 转化 可分离变量的微分方程、齐次方程 第二节解分离变量方程解分离变量方程 xxfyygd)(d)(一、可分离变量方程一、可分离变量方程 )()(dd21yfxfxy0 )(d )(11xnxxmyynymd)( )(22分离变量方程的解法分离变量方程的解法:xxfyygd)(d)(设 y (x)

5、是方程的解, xxfxxxgd)(d)()(两边积分, 得 yygd)(xxfd)(cxfyg)()(则有恒等式 )(yg)(xf当g(y) 与f(x) 可微且 g(y) g(y)0 时, 说明由确定的隐函数 y(x) 是的解. 则有称为方程的隐式通解, 或通积分.同样,当f(x)= f (x)0 时,上述过程可逆,由确定的隐函数 x(y) 也是的解. 例例1. 求微分方程yxxy23dd的通解.解解: 分离变量得xxyyd3d2两边积分xxyyd3d2得13lncxycxylnln3即13cxey31xcee3xecy 1cec令( c 为任意常数 )或说明说明: 在求解过程中每一步不一定是

6、同解变形, 因此可能增、减解.( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )例例2. 解初值问题0d)1(d2yxxyx 分离变量得xxxyyd1d2两边积分得cxyln11lnln2即cxy12由初始条件得 c = 1,112xy( c 为任意常数 )故所求特解为 1)0(y解解: 显然显然y=0不是该问题的解，不是该问题的解，. 0 y(1)d1uuueeue.dd的通解求方程yxexy解法解法 1 分离变量xeyexyddceexy即01)(yxece( c 0 )解法解法 2, yxu令yu1则故有ueu1积分cxeuu1dcxeuu)1 (ln( c 为任意常数 )所求通解:cyeyx

7、)1(ln22()d()d0 xxyxx yyy的通解. 练习：求微分方程提示提示: 分离变量xxxyyyd1d122例例3.二、齐次方程二、齐次方程形如)(ddxyxy的方程叫做齐次方程齐次方程 .令,xyu ,xuy 则代入原方程得,ddddxuxuxy)(dduxuxuxxuuud)(d两边积分, 得xxuuud)(d积分后再用xy代替 u, 便得原方程的通解.解法:分离变量: 例例1. 解微分方程.tanxyxyy解解:,xyu 令,uxuy则代入原方程得uuuxutan分离变量xxuuuddsincos两边积分xxuuuddsincos得,lnlnsinlncxuxcu sin即故原

8、方程的通解为xcxysin( 当 c = 0 时, y = 0 也是方程的解)( c 为任意常数 )例例2. 解微分方程.0dd)2(22yxxyxy解解:,2dd2xyxyxy方程变形为,xyu 令则有22uuuxu分离变量xxuuudd2积分得,lnln1lncxuuxxuuudd111即代回原变量得通解即cuux )1(ycxyx)(说明说明: 显然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但在(c 为任意常数)求解过程中丢失了. yxyxdxdy 解解: :xyxydxdy 11令令xyu 则则dxduxudxdy 代入化简代入化简 并分离变量并分离变量dxxduuu1112 两边积分两边积分cxuulnln)1ln(21arctan2 换回原变量换回原变量cxxyxylnln)1ln(21arctan22 或或22arctanyxcexy 例例3. 解微分方程解微分方程内容小结内容小结1. 微分方程的概念微分方程;定解条件;2. 可分离变量方程的求解方法:说明