44有理函数积分等[1]

1、4.34.3内容回顾内容回顾分部积分公式分部积分公式ddu vuvv u1. 使用原则使用原则 :dvvu 易凑出易凑出,易积分易积分2. 使用经验使用经验 : “反对幂指弦反对幂指弦” , 前前 u 后后v3. 题目类型题目类型 :分部化简分部化简 ;循环解出循环解出;递推公式递推公式4. 补充多次分部积分的快速计算法补充多次分部积分的快速计算法 :(u是保留部分是保留部分, v是凑得部分是凑得部分)duv x11duvu vx12uvu v 2du vx123uvu vu v1(1)1( 1)dnnnuvx 多次分部积分多次分部积分123uvu vu v3du vx快速计算表格快速计算表格

2、:uuu )(nuv1v2vnvn) 1()1( nu1nv1) 1(n特别特别: 当当 u 为为 n 次多项式时次多项式时,0)1(nu计算大为简便计算大为简便 . 注注:1iviv是是的原函数的原函数1duv( )1( 1)nnnuv 2duv3duv)1( nu1nvdx例例11. 求求.d)2(23xexxx解解: 取取,23xxu2xve23 xx132xx660 xe2xe221xe241xe281xe2161xe2 原式)2(321 xx) 13(241xx681cxxxex)7264(232816161cxxaxaexpxkndcossin)(说明说明: 此法特别适用于此法特别

3、适用于如下类型的积分如下类型的积分: 例例12. 求xxid)ln(sin解解: 令,lnxt 则texexttdd,tteitdsinsintcosttsinte( sin )tt e dtsintetctteit)cos(sin21cxxx)cos(ln)sin(ln21costetitete=(前面已讲过前面已讲过)备用题备用题.求不定积分求不定积分解：解：.d1xexexx方法方法1(先分部先分部 , 再换元再换元)xexexxd1) 1(d1xxeexx2) 1(dxe12xexxexd12令令, 1xeu则则uuuxd12d2224d1uuu12xex112u12xexcuu)ar

4、ctan(44ceexx1arctan4141.方法方法2(先换元先换元,再分部再分部)令, 1xeu则, )1ln(2ux故故xexexxd1uuuuuud12)1ln()1 (222uud)1ln(22)1ln(22uuuuud14221)1ln(22uuu4cu arctan412xexceexx1arctan4141uuuxd12d2 基本积分法基本积分法 : 直接积分法直接积分法 ; 换元积分法换元积分法 ;分部积分法分部积分法一、有理函数的积分一、有理函数的积分二、可化为有理函数的积分举例二、可化为有理函数的积分举例4.4 有理函数的积分本节内容本节内容: : 第四章第四章 一、一

5、、 有理函数的积分有理函数的积分( )( )( )nmp xr xqx nnnaxaxa110mmmbxbxb1101.有理函数的定义有理函数的定义nm 时时,)(xr为假分式为假分式;nm 时时,)(xr为真分式为真分式有理函数有理函数相除相除多项式多项式 + 真分真分 式式分解分解若干部分分式之和若干部分分式之和函数函数称为有理函数称为有理函数. 其中分子分母分别为其中分子分母分别为n次和次和m次多项式次多项式,且且总假定无公因式总假定无公因式.00( ,0,0)iia bab为为常常数数，且且221()()xaxa xa(其形式由分母的因子决定其形式由分母的因子决定)1112a xaxa

6、()()xaxa12a101( )mmmmqxb xb xb2.多项式分解定理多项式分解定理2211()()iaaxxxx11220111()() ()()klsskllb xxxxxp xqxp xq其中其中21140,2()iiklpqssm3.真分式分解成部分分式的和真分式分解成部分分式的和(nm)( )( )( )nmp xr xqx111()axx11222221111()()b xcb xcxp xqxp xq111211()sssb xcxp xq+1122222()()lllld xed xexp xqxp xq2()lllssslld xexp xq( )( )( )nmp

7、xr xqx4.有理函数的积分有理函数的积分有理函数有理函数的积分( )r x dx转化为下列三种形式的积分转化为下列三种形式的积分多项式的积分多项式的积分1()kdxxa2()nbxcdxxpxq2()ndxxpxq2b2bcp(容易容易)(容易容易)2221()()bnd xpxqxpxq221()()bncpdxxpxq(2)xp(容易容易)21()nnidxxpxq记记22224241()()() pnpq pd xx221nduua2424(,)pq puxa再利用递推公式或三角替换再利用递推公式或三角替换(p206例例27)1222121232(1)()2(1)nnnxniinax

8、ana(已讲但不需要记忆已讲但不需要记忆)12211arctanuiducuaaa至此至此,理论上有理函数的积分就算解决了理论上有理函数的积分就算解决了,其原函数为初等函数其原函数为初等函数.但有两大难点但有两大难点: 1)部分分式中系数的确定部分分式中系数的确定2)分母的因式分解分母的因式分解, 且有时无法解决且有时无法解决.(有时很繁有时很繁)例例1. 将下列真分式分解为部分分式将下列真分式分解为部分分式 :;) 1(1) 1 (2xx;653)2(2xxx221(3).xa解解: (1) 用拼凑法用拼凑法22) 1() 1(1xxxx2) 1(1x) 1(1xx2) 1(1x) 1( x

9、x2) 1(1x11xx1) 1( xx) 1( xx(2) 用赋值法用赋值法6532xxx)3)(2(3xxx2xa3xb故故52x36x通分得通分得,6532xxx2(3)(2)56a xb xxx3(3)(2)xa xb x得得,令令3x 得得,6;b 令令2x 得得,5.a 6532xxx(2)ax原原式式2x 5 (3)bx原原式式3x 6.(3) 混合法混合法)1)(21 (12xx xa2121xcbx原式)21 (xa21x54代入等式两端分别令1 ,0 xc541215461cb52b51c原式原式 =x214512112xx两边两边x，再取极限（再取极限（x）得）得, 20

10、225aabb 再令再令x=0得得,41,5c15c (4) 比较系数法比较系数法)1)(21 (12xx xa2121xcbx原式原式 =x214512112xx通分后的分子恒等通分后的分子恒等,21(1)()(12 )axbxcx2(2 )(2 )ab xbc xac比较系数得比较系数得,20ab解得解得,421,.555abc 20bc1ac例例2. 求21d .(1)xx x 解解: 已知已知21(1)x x 2d(1)xxd1xxdxx11x ln|1|xln |xc2) 1(1x11xx1例例3. 求求.d3222xxxx解解: 原式原式xxxd32212332)32d(2122x

11、xxx32ln212xx22)2() 1() 1d(3xxcx21arctan23(22)xxxxd)4)(1(22)4() 1(22xx例例4. 求求.d4555222423xxxxxxi3421410d254xxixxxxxxxd455224245)55d(212424xxxx45ln2124xx2arctan21xcxarctan解解:说明说明: 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便但不一定简便 , 因此要注意根据被积函数的结构寻求因此要注意根据被积函数的结构寻求简便的方法简便的方法. 例例5. 求求.d)22(222xxxx解解:

12、原式xxxd)22(22)22(2 xx)22(x1) 1(d2xx222)22()22d(xxxx) 1arctan( x2212xxc例例6. 求求解解: 原式xxd14) 1(2x) 1(2 x211d4xx2arctan2211xx21221 ln21xx21xxcxxxxd12122121xxxxd121221212)(2121xx)d(1xx 2)(2121xx)d(1xx 注意本题技巧注意本题技巧xx21arctan2212cxxxx1212ln24122)0( x按常规方法较繁按常规方法较繁按常规方法解按常规方法解:1d4xx第一步第一步 令令)(1224dxcxbxaxx比较

13、系数定比较系数定 a , b , c , d . 得得) 12)(12(1224xxxxx第二步第二步 化为部分分式化为部分分式 . 即令即令) 12)(12(111224xxxxx121222xxdxcxxbxa比较系数定比较系数定 a , b , c , d .第三步第三步 分项积分分项积分 .此解法较繁此解法较繁 !二二 、可化为有理函数的积分举例、可化为有理函数的积分举例设设)cos,(sinxxr表示三角函数有理式表示三角函数有理式 ,xxxrd)cos,(sin令令2tan ,xt 万能代换法万能代换法t 的有理函数的积分的有理函数的积分1. 三角函数有理式的积分三角函数有理式的积

14、分则则22sin,1txt221cos1txt2arctan ,xt221dxdtt代入原积分得代入原积分得,转化为转化为例例7. 求求.d)cos1 (sinsin1xxxx解解: 令,2tanxt 则sin x 2222tan1tanxx212ttcosx 22221tan1tanxx2211ttxdttd122xxxxd)cos1 (sinsin1 2121tt212tt)1 (2211ttttd21211(2)d2ttt21221tt 2tlnc2tan412x2tanxcx2tanln21例例8. 求求.)0(cossind2222baxbxax解解: 原式xxd2cos1222ta

15、nbxa222)(tantand1abxxa)tanarctan(1xbabac说明说明: 通常求含通常求含xxxxcossincos,sin22及的积分时的积分时,xttan往往更方便往往更方便 .的有理式的有理式用代换用代换例例9. 求求.dsinsin1cos2cos423xxxxx解解:原式原式xx42sinsin1xxxdcos)2(cos2xxx422sinsin1 ) 1(sin4221d) 1(tttttttd1t1221213)()d(211ttttctt3arctan311cxxsin3cosarctan312xsind2. 简单无理函数的积分简单无理函数的积分,d),(x

16、baxxrn令令nbxat,d),(xxrndxcbxa令令ndxcbxat被积函数为简单根式的有理式被积函数为简单根式的有理式 , 可通过根式代换可通过根式代换 化为有理函数的积分化为有理函数的积分. 例如例如:,d),(xbaxbaxxrmn,pbxat令令., 的最小公倍数为nmp例例10. 求求.21d3xx解解: 令令,23xu则则,23 uxuuxd3d2原式原式u123uuduuud11) 1(32uuud)111(33221uuu1lnc3223)2( x323x321ln3xc例例11. 求求.d3xxx解解: 为去掉被积函数分母中的根式为去掉被积函数分母中的根式 , 取根指

17、数取根指数 2 , 3 的的最小公倍数最小公倍数 6 ,6tx 则有则有原式原式23ttttd65ttttd)111(626331t221ttt1lnccxxxx)1(ln6632663令令例例12. 求求.d11xxxx解解: 令令,1xxt则则,112tx22) 1(d2dtttx原式原式tt) 1(2tttd) 1(222222d1ttt t211lnttcxx12cxxx1122ln( 1)+11.112xxx 112.21xxxx 原式1112(1).2211xxxxx21xxx2,1xtx令例例132431(1) (1)xxxdp218 (24)1311(1)(1)xxxxxd内容

18、小结内容小结1. 可积函数的特殊类型可积函数的特殊类型有理函数有理函数分解分解多项式及部分分式之和多项式及部分分式之和三角函数有理式三角函数有理式万能代换万能代换简单无理函数简单无理函数三角代换三角代换根式代换根式代换2. 特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定但不一定 要注意综合使用基本积分法要注意综合使用基本积分法 , 简便计算简便计算 .简便简便 , 思考与练习思考与练习如何求下列积分更简便如何求下列积分更简便 ?)0(d. 1662axxaxxxxcossind. 23解解: 1.33 23 21d3 ()()xxa 原原式式caxaxa33333ln612. 原式原式xxxxxdcossincossin322xxxcossindxxxdsincos3xxtantandxx3sinsindxtanlncx2sin121作业作业p218 3 , 6 , 8 , 9 , 13 , 15, 17 , 18 , 20 , 21三角函数的积分要重视三角函数的积分要重视1.sincosmnxxxsincos.mnxx xsincos.axbx xsinsin.