导数的概念及求导法则

1、自变量的变化引起函数值的变化，两个基本问题：自变量的变化引起函数值的变化，两个基本问题：1. 函数随自变量变化的变化速度（比率）问题，函数随自变量变化的变化速度（比率）问题， 即函数对自变量的变化率问题。即函数对自变量的变化率问题。2. 自变量的微小变化导致函数变化多少的问题。自变量的微小变化导致函数变化多少的问题。此为此为导数导数与与微分微分的问题，本章的两个基本问题的问题，本章的两个基本问题 (1). 切线问题切线问题: 求曲线求曲线 在点在点 处的处的 切线切线)(xfy ),(00yx第一节第一节 导数的概念导数的概念另一点另一点 沿曲线沿曲线 趋向点趋向点 时时,割线割线 的极限的极

2、限位置位置 m0m0mmltm0mxoy0m0 xtxx 0)(0 xfx y 1 1 导数的定义导数的定义所谓曲线所谓曲线 在其上点在其上点 处的切线处的切线,是指当是指当 上上l0ml 割线割线 的斜率的斜率:0mm xxfxxfxyk 00当点当点 趋于点趋于点 时时, .如果当如果当 时时,上上m0m0 x0 x式极限存在式极限存在,记为记为 ,即即:k xxfxxfxykxx 0000limlim切线斜率切线斜率(2). 变速直线运动的变速直线运动的瞬时速度问题瞬时速度问题在时刻在时刻 到到 的时间间隔内的时间间隔内,平均速度平均速度0ttt 0 ttsttstsv 000 t如果当

3、如果当 时时,上式的极限存在上式的极限存在,则则 ttsttststvtt 00000limlim)( 设一物体作变速直线运动，运动的位置函数设一物体作变速直线运动，运动的位置函数为为 ,求在时刻求在时刻 的的瞬时速度瞬时速度 。 0t)(0tv)(tss 定义定义1.1 1.1 （导数）（导数） xnxxxnxfy )()()(000如果极限如果极限内有定义，内有定义，在在设函数设函数 xxfxxfxy xx 0000lim lim ，记记作作为为，并并称称该该极极限限值值存存在在，则则称称函函数数处处的的导导数数处处可可导导00 xfxf在在 0 xf 或或0d)(dxxxxf ,0 xx

4、dxdy 0 xxy 若极限不存在若极限不存在,则称则称 在在 处处不可导不可导。f0 x注注 hxfhxfxxxfxfxxfxxfxfhxxx000000000limlimlim.10 的的变变化化率率在在也也称称为为导导数数00 xfxf 2.为方便起见，为方便起见， 当当 时时,也称也称 在点在点 处的导数为无穷大处的导数为无穷大.f0 x xxfxxfx000lim3. 左导数左导数:右导数右导数: ,)(limlim0000000 xxxfxfxxfxxfxfxxx .)(limlim0000000 xxxfxfxxfxxfxfxxx 000 xfxfxf 都都存存在在，且且处处左左

5、右右导导数数在在函函数数函数函数 在在 处可导处可导0 xf若左极限若左极限 xxfxxfx 000lim存在，存在，类似定义类似定义右导数右导数此极限值称为此极限值称为左导数，左导数，并称并称f 在在 处处左可导，左可导，记作：记作：0 x此时对区间此时对区间i内的任一点内的任一点 ,都对应着都对应着 的一个确定的的一个确定的xf导数值导数值,于是就构成了于是就构成了i上一个新的函数上一个新的函数,这个函数称为这个函数称为原来函数原来函数 的的导函数导函数,记为记为fdxdyxydxxdfxf或或)(,)(),( 即即: hxfhxfxyxfhx 00limlim若函数若函数 f 在区间在区

6、间 i 内的每一点处都可导内的每一点处都可导(若若i包含包含端点，则在左端点右可导，右端点处左可导），端点，则在左端点右可导，右端点处左可导），则称函数则称函数 f 在在区间区间i上可导。上可导。例例1. 求函数求函数 ( 为常数为常数)的导数的导数. ccxf 解解: 0lim)()(lim00 hcchxfhxfxfhh即即:0)( c例例2. 求求 ( 为正整数为正整数 ) 的导数的导数.nxxfn )(解解: hxhxhxfhxfxfnnhh 00limlimhhhxchxcnnnnnh 222110lim 112210lim nnnnnhnxhhxcnx一般地一般地,当当 为任意实数

7、为任意实数 时时,上面的公式也成立上面的公式也成立.n110011lim)(lim)( xxhxhxhxhxxhh 为为任任意意实实数数） (1 xx即即:1)( nnnxx21)1(xx xx21)( 例例 3. 求求 的导数的导数,及它在及它在 处的导数处的导数.xxfsin)( 2,0 x解解: hxhxhxfhxfxfhhsinsinlimlim00 hhhxh2sin2cos2lim0 22sin2coslim0hhhxh 即即: xxcossin .0cos)2(,1cos)0(20 xxxfxfxcos xxsincos 类似可得类似可得:例例 4. 求求 的导数的导数. 1,

8、0log aaxxfa解解: hxhxhxfhxfxfaahhlogloglimlim00 xhxhxah 1log1lim0axln11 即即: axxaln1log 特别地特别地: xx1ln 例例 5. ),1, 0(ln)( aaaaaxx.)(xxee 例例 6. .0,0)1ln(0sinfxxxxxf 求求设设解解: 0)1ln(0sin00 xxxxxxxfxfxy, 1sinlimlim00 xxxyxx, 1)1ln(limlim00 xxxyxx1lim)0(0 xyfx注：注：左右导数是研究分段函左右导数是研究分段函 数在分段点数在分段点可导与否的有效工具。可导与否的有

9、效工具。例例 7. 设设 , 求求 .00,00,1sin2fxxxxxf 解解: xfxffx00lim00 xxxxxxx1sinlim1sinlim020 .0 xxxfxxfxfxxxfxfxxfxx )()2(lim(2) )()()(lim )()1( 8000求求极极限限处处可可导导，证证明明：在在若若例例).()() ,()(),()()() ,( ,)0(0),()( 9212121xkfxfxfxfxfxxfxxkfxxf 可导，且可导，且内内在在证明证明有有又对任意又对任意可导，且可导，且处处右定义，在右定义，在在在已知函数已知函数例例曲线曲线 在点在点 处处 xfy 0

10、0, yx的切线的斜率。的切线的斜率。 0 xf 2.2.导数的几何意义：导数的几何意义：处的切线与法线方程：处的切线与法线方程：在点在点曲线曲线),()(00yxxfy )()(1)(000000 xxxfyyxxxfyy 法线方程：法线方程：切线方程：切线方程：曲线曲线 在点在点 处处 xfy 00, yx的左侧（右侧）切线的斜率。的左侧（右侧）切线的斜率。 0 xf 0 xf 若函数若函数 f 在在 处不可导，但单侧导数存在，则处不可导，但单侧导数存在，则0 x. 2),()()()(00000 xxyyxxfyxfxf 切切线线为为轴轴，切切线线平平行行于于处处切切线线的的倾倾角角为为

11、在在点点，则则曲曲线线或或或或为为处处连连续续，但但导导数数在在若若函函数数 例例 10. 求曲线求曲线 在点在点 处的切线和法线方程处的切线和法线方程23xy 8,4解解: 切线斜率切线斜率:3234214 xxxyk切线方程为切线方程为: 438 xy即即:043 yx法线方程为法线方程为: 4318 xy即即:0283 yx例例11讨论函数讨论函数 在点在点 处的连续处的连续性和可导性及相应的曲线在点性和可导性及相应的曲线在点 处切线的处切线的 存在性。存在性。0 x)0 , 0(32)(xxf 即即 存在存在,于是由于是由 , 得得:)(lim00 xfxyx xxyy 3.3.可导与

12、连续的关系可导与连续的关系定理定理1.1 处连续处连续处可导，则该函数必在处可导，则该函数必在在在设函数设函数 )(00 xxxf. 0limlimlimlim0000 xxyxxyyxxxx这表明这表明,在在 处连续处连续. xfy 0 x设函数设函数 在在 处可导，处可导，)(xfy 0 x证证左可导左可导左连续左连续右可导右可导右连续右连续区间区间i上可导上可导区间区间i上连续上连续逆命题不成立：逆命题不成立：处连续但不可导。处连续但不可导。在在例如例如0|,|)( xxxf亦有处处连续但处处不可导的函数。亦有处处连续但处处不可导的函数。 .)(,0020处处连连续续且且可可导导在在使使

13、如如何何选选择择设设xxfbaxxxxxbaxxf 例例12. 解解:)()(lim)(000 xfxfxxfxx 处处连连续续在在2000)(,)(lim0 xxfbaxxfxx 而而200 xbax xxfxxfxxfxxfxxfxxfxxfxxx )()(lim)()(lim)()(lim)(0000000000存存在在处处可可导导在在axxaxxbxxaxxfxxfxxbaxxx 02000000lim)(lim)()(lim200而而0200202000002)(2lim)(lim)()(limxxxxxxxxxxxfxxfxxx 200200,2xaxxbxa 第二节第二节 求导的

14、基本法则求导的基本法则 )r(1 xx 0 c ,ln1logaxxa ,lnaaaxx xxee xx1ln ,cossinxx xxsincos 1.基本初等函数的求导公式基本初等函数的求导公式2.2.四则运算四则运算 )()()()()1(xvxuxvxu 定理定理 2.1 设函数设函数 在点在点 处可导处可导,则函数则函数)(),(xvxux 0)()()(),()(),()( xvxvxuxvxuxvxu在点在点 处也可导处也可导,且且x )()()()()()()2(xvxuxvxuxvxu )()()()()()()()3(2xvxvxuxvxuxvxu )()(xucxcu )

15、0)( ,)()()(12 xuxuxuxu证明证明:xxvxuxxvxxuxvxux )()()()(lim)()()3(0 xxvxxvxxvxuxvxxux )()()()()()(lim0 xxvxxvxxvxuxvxuxvxuxvxxux )()()()()()()()()()(lim0 )(lim)(102xxvxxvxuxvxxuxxuxvx 仅证（仅证（3） )limlim)()(1002xxvxxvxuxxuxxuxvxvxx )(2xvxvxuxvxu 注注: 和与积的导数公式可以推广到任意有限多个函数和与积的导数公式可以推广到任意有限多个函数.例如例如:wuvwvuvwu

16、uvw )(例例1. 求下列函数的导数：求下列函数的导数：3sincos4)1(3 xxy解解: 3sincos4)1(3 xxyxxsin432 335sin43ln) 2(xxxxxxy xxy4ln)4( xexy)23()3( 6138314sin4ln3ln)2(xxxxxy 65353116138314cos41xxxxxy xxxxxexexeexexy)53()23(3)(23()23()3( xxxxyln4ln)4(4 22)ln1(4)ln4()()ln4(xxxxxxxy xxxxxx22cos1cossincoscossin x2sec 类似地可得类似地可得 ,csc

17、cot2xx ,tansecsecxxx .cotcsccscxxx 例例 2. , 求求.tanyxy解解: xxcossin xytanxeeeexyxxxxch2)2()sh( 类似地可得类似地可得 ,shchxx ,ch1th2xx xx2sh1cth 例例 3. 解解:yxy 求求,sh例例 4. .0),2011()2)(1(yxxxxy 求求解解:)2011()2()2011()2)(1( xxxxxxy故故 . !20110002011210 y)2010()1()2011()3)(1( xxxxxxx ).(?,)(),()(afaxxfaxxxaxxf 若可导，求若可导，求

18、处是否可导处是否可导在在不可导不可导处连续但处连续但在在其中其中设设 例例5. 解解: xafxafx 0lim axax 0lim xxaxx 0lim0 )()(,aafaxxf 且且处处可可导导在在定理定理2.2 设函数设函数 在区间在区间 上单调连续，上单调连续， yfx 处处可可导导，且且对对应应点点在在则则其其反反函函数数且且)(, 0)( 1yfxxfyyf dydxyfxfdxdy11)(1 ,i 处处可可导导在在 yi2.2.反函数的求导法则反函数的求导法则 2: 2:定理表明反函数的导数等于直接函数在相定理表明反函数的导数等于直接函数在相应点处的导数的倒数应点处的导数的倒数

19、 注注1:后面将证明若在后面将证明若在i上上 ，则，则 f 是是 i上上 的单调连续函数。的单调连续函数。0)( xf.arctanarcsin7dxdyxyxy的的导导数数和和求求例例 解解: 的反函数为的反函数为xyarcsin .22,sin yyx于是于是 yyy2sin11cos1sin1 211x xarcsin.)1()(1)(, 1sin4)(61110 fxxfxxxf处的导数处的导数在在求它的反函数求它的反函数设设例例解解:41)cos410(1)0(1)1()(, 1)0(091 xxxfff0cos)(sin yy同理可得同理可得: 211arccosxx 211cot

20、arcxx 的反函数的反函数为为xyarctan .22,tan yyx xarctan于是于是 yyy22tan11sec1tan1 211x 0sec)(tan2 yy定理定理2.3(链式法则）链式法则）可可导导，且且在在则则复复合合函函数数处处可可导导在在对对应应的的处处可可导导，函函数数在在设设函函数数xxgfyxguufyxxgu)(,)()()( , )()()(xgxgfxgufxgfdxdy 或或dxdududydxdy 3.3.复合函数的求导法则复合函数的求导法则 ufuyu 0lim 0)(0)( uuuufuy 时时，证明：证明： .,uxgux 得得由由给给自自变变量量

21、以以改改变变量量,)(,0)1(yufyu 得得则则由由若若 可可导导在在xguufy )( uuuufy )( )0)(,0,)(0,0)(lim)(0);()(,0(0)(,0,0)2(0 uuuuuuuufuyuuuyuu 时时定定义义因因此此补补充充的的可可去去间间断断点点是是无无定定义义，但但时时，时时规规定定则则若若 uuuufyu )(, 有有对对任任意意的的 xuuxuufxy )( xuuxuufxyxx)(limlim00 xuuxuufxxx 000lim)(limlim xguf 即即: )()()()()(xgxgfxgufxgf 注：此为求导法则中最重要的公式，可推

22、广到注：此为求导法则中最重要的公式，可推广到 任意有限个情形。应用时要看清复合层次，任意有限个情形。应用时要看清复合层次， 求导时要由外向内逐层求导，不重复，求导时要由外向内逐层求导，不重复， 不遗漏。不遗漏。例例 8 , 求求 . dxdyxysinln xudxdududydxdycos1 xxxcotsincos 例例9dxdyxxy求求,12sin2 解解:,12,sin2xxuuy dxdududydxdy 222112cosxxu 222212cos112xxxx 解解,sin,lnxuuy xyln)1( xdxdy1 例例10. 求下列函数的导数求下列函数的导数:002)1ln

23、()2(2 xxxxy解解 (1) 当当 时时,ln0 xyx ),ln(xy xxudxdy11111 因而因而 xx1ln 当当 时时,ln0uyx xu 12)1ln(,0)2(22 xxxyx）（时时当当22,0 ）（时时当当xyxxfxfxyx ) 0()0(,0时时当当0022)(1ln(2 xxxxxx0)()(1ln(limlim2200 xxxxyxx2lim0 xyx.0)(lim0处处不不可可导导在在不不存存在在，故故 xxfxyx例例11. 求下列函数的导数求下列函数的导数:4arctan)1(xey 4arctanxedxdy 44211xxee.144423xxee

24、x 42441xeexx23cos)2(xy 22223coscos3cosxxxdxdy 2222sincos3xxx222cossin6xxx )1ln()3(2xxy 22111xxxxdxdy 2221121111xxxx 221111xxxx.112x xxeyx2sin3cos)4(2 xxexxexdxdyxx2sin3sin313cos22sin1222 3cos2cos22xexxxxxxex2sin3cos62sin322 .3cos2cos6 xxxx2sin3sin xnxynsinsin)5( xxnxnxnxnynncossinsinsincos1 )cossins

25、in(cossin1xnxxnxxnn )ln(ln(ln)6(xy xxxxy1ln1)ln(ln1)ln(ln(ln , )2(sin)7(3xfy 其中其中 可导可导. xf xfy2sin3 xxf2sin2sin33 xxxf2sin2sin32sin23 xfxx2sin2cos2sin632 4.4.初等函数的求导问题初等函数的求导问题一切初等函数的求导问题都解决，可导的一切初等函数的求导问题都解决，可导的初等函数的导函数仍为初等函数。初等函数的导函数仍为初等函数。基本的求导公式表：基本的求导公式表： 1 xx 0 c aaaxxln xxee xxcossin xxsincos

26、 xx2sectan xx2csccot xxxtansecsec xxxcotcsccsc axxaln1log xx1ln 211arccosxx 211cotarcxx 211arcsinxx 211arctanxx 例例12. 求下列函数的导数求下列函数的导数:xxycos) 1 ( 542437225472)21 ()3 () 2( 12) 3 () 12 ()1 (ln) 2 (xxxxyxxxeyx xxxexylncoscos) 1 ( 解解)cossinln()ln(cos)(lncoslncoscosxxxxexxexyxxxxx )()()()(ln)( ) )(ln)(

27、)()()(ln)()(ln)()(ln)()(xfxfxgxfxgexfxgeexfxfxgxfxgxfxgxg 0)()(),( xgxgxf可导，且可导，且其中其中12ln7)1ln(2)ln472(51) 12()1(ln)2(27225472 xxxxxxxeyx121414)42(512 xxxxyxxxxy21ln543ln22ln412ln31|ln)3( )21 ( 583224) 12( 32xxxxyy )21 ( 583224) 12( 32)21 ()3() 2( 1254243xxxxxxxxy 此为此为对数求导法对数求导法，当所求导的函数为连乘积函数，当所求导的函

28、数为连乘积函数或幂指函数时，可考虑用此法。或幂指函数时，可考虑用此法。)()(xgxf如：如： 习题习题2.1 p.87-892.(4) 3. 4. 6. 8. 10.(1) 11.(1)(3)(4)(5)(6) 12.(2)(4) 13 14 16 23.(2)(4)(5)(6)(9)(12)(14)(15)(19)(20)(21)24.(2)(3)5.5.高阶导数高阶导数1 .2定定义义.22dxyd xy 或或 或或 xf 即即: .lim0 xxfxxfxfx 如果如果 的导函数的导函数 在在 处可导，处可导， xfy xf x处的二阶导数，记作处的二阶导数，记作在在称为称为处的导数处

29、的导数在在处二阶可导，处二阶可导，在在则称则称xfxxfxf)( 上的二阶导函数。上的二阶导函数。在在称为称为二阶可导，二阶可导，上上在在上处处二阶可导，则称上处处二阶可导，则称在在若若iffifif 类似地定义类似地定义 的二阶导数的二阶导数 在点在点 的导数为的导数为 xf xf x .33dxydxyxf 或或 或或在点在点 的的三阶导数三阶导数,记作记作:x xf一般地一般地, 的的 阶导数阶导数 在点在点 的导数称为的导数称为 xf1 n xfn) 1( x xf在点在点 的的 阶导数阶导数xn( 简称为简称为 阶导数阶导数),n记作记作: nnnndxydxyxf或或 或或阶导函数

30、。阶导函数。上的上的在在称为称为阶可导，阶可导，上上在在阶可导，则称阶可导，则称上处处上处处在在若若niffnifnifn)(二阶及二阶以上的导数统称为二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数高阶导数,函数函数阶阶导导数数。的的本本身身称称为为的的一一阶阶导导数数，称称为为0 ffff 类类函函数数上上的的为为或或称称阶阶连连续续可可导导上上在在亦亦称称上上连连续续，在在区区间间)()()()( i)( i)(nnnicixfnxfxfcf 类类函函数数为为或或称称上上无无限限阶阶可可导导在在亦亦称称 cxfxficfncfni)( ,i)( ),(,n)(例例13.求下列函数的求下列函数的 阶导数

31、阶导数:n ; )21ln()3(;1, 0)2(; )0() 1 (xyaaayxxyx .sin) 4(xy 解解: ,1,)1(21 xyxy一般地一般地,可得可得: .11nnxny 有有时时为为正正整整数数特特别别，当当,k ,!0!knknknxnknxnknk 1)(!1)1( nnnxnx,ln,) 2(aayayxx ,ln2aayx nxnaayln ,特别特别, xnxee .21!1212121)1(1nnnnnxnxy ,212212,21ln)3(1 xxyxy特别特别, nnnxnx 1!11)1ln(1,2sincos,sin)5( xxyxy,22sin2co

32、s xxy一般地一般地,可得可得: .2sinsin nxxynn类似地类似地,可得可得: 2coscos nxxn r, ,)1( nnnvuvu线线性性性性质质定理定理2.42.4阶可导的，且阶可导的，且也是也是与与阶可导的，则阶可导的，则都是都是设函数设函数nuvvunvu , nkknnnnkknknnknuvvukknnnvunnvnuvuvucuv !1121)leibniz)2(21)()(0)(公式公式莱布尼兹（莱布尼兹（例例 14. ,求求 . 1032yexyx 解解: 设设 则则,23xveux ,10, 2 , 133 keuxkk ,30,2,2 kvvxvk于是于是

33、, 23233382103911023101032 xxxxecxecxeex .906093238 xxexbxaxyxxxycoscos)2(651)1(2 解解: 321651) 1 (2 xxxxxxy2132 xx .2132!111)( nnnnxxny例例15. 求下列函数的求下列函数的 n 阶导数阶导数:)cos()cos(21coscos)2(xbaxbabxaxy )(2)cos()(2)cos(21)(nnnbanxbabanxbay 例例16. ,16cos)23(22xxxyn ).2()(ny求求解解: 2x,16cos)1()2(xxynn vu16cos)1(

34、!16cos)1()2(2)(2)(10 xxnxxxcnknnknnkkn 16cos)1()2(16cos)1()2(16cos)1()2(2)()(2)(10)(2)(0)(xxxxxxcxxxcynnnknnknnkknknnknnkknn !224cos!0)2()(nnyn 6.6.隐函数求导法隐函数求导法的解析表达式，称为的解析表达式，称为是是其中其中式式通常遇到的函数都有形通常遇到的函数都有形xxfxfy)(),( 显函数显函数所确定的隐函数所确定的隐函数为由方程为由方程则称则称使得方程使得方程，间上的函数间上的函数若存在一个定义在某区若存在一个定义在某区0),()(, 0)(

35、,()( yxfxfyxfxfxfy隐函数隐函数0),(, 0),( xyexfyyxfy例如例如有些隐函数不能显化：有些隐函数不能显化：称为隐函数的显化，称为隐函数的显化，能表示为显函数能表示为显函数在，在，隐函数是否存在？若存隐函数是否存在？若存给定方程给定方程? )( , )( 0),( xfyxfyyxf 如如何何求求其其导导数数确确定定了了隐隐函函数数如如果果由由方方程程链式法则链式法则求导得求导得恒等式两边分别对恒等式两边分别对代入方程得恒等式代入方程得恒等式将将解解 0)( )( (1) :)(xexyxexyyxy 0 )( ydxdyxdxdyexyyyxyxyxyyxxy

36、lnlnlnln(2)ln()ln(xxyxyyxyy . dxdy的的导导数数求求下下列列隐隐函函数数xyyyxeyxe (2) 0)1(例例17 yexydxdy . 0 ln2方方程程对对应应点点处处的的切切线线与与法法线线的的函函数数在在所所确确定定求求由由 xxyxyxyyxyyxyyyxy 12 21 2于于是是解：方程两边对解：方程两边对 求导，得：求导，得：x在点在点 处切线斜率处切线斜率 法线斜率法线斜率 因此所求切线与法线方程分别为因此所求切线与法线方程分别为 与与, 1)0( yk切切)1 ,0(, 11 切切法法kk01 )0(11 yxxy即即01 ) 0(11 yx

37、xy即即例例18解：应用隐函数的求导法解：应用隐函数的求导法 , 得得 yxycos24 上式两边再对上式两边再对 求导求导,得得:x3222)cos2(sin16)cos2(4)cos2(sin4)cos2(4yyxyyyyxyy 0cos212 yyyx. 0sin21 2yyyyx 的的二二阶阶导导数数确确定定的的隐隐函函数数所所求求由由方方程程例例197 . 7 . 由参数方程确定的函数的求导法则由参数方程确定的函数的求导法则求导法则得：求导法则得：由复合函数与反函数的由复合函数与反函数的函数函数复合而成的复合复合而成的复合）是由函数是由函数函数可看成函数可看成。由参数方程所确定的。由

38、参数方程所确定的有反函数有反函数可导，可导，的函数，且的函数，且是是确定了确定了设参数方程设参数方程),()(,()()(, 0)()(),()()(111xyxttyxttxtttxytytx )()(ttdtdxdtdydxdtdtdydxdy 二阶可导，则：二阶可导，则：若若)(),(tytx )()()()()()(322tttttdxdxdyddxyd 求求. ,22dxyddxdy解解:21211122ttttdtdxdtdydxdy ttttdtdxdtyddxyd411221)(2222 例例20. 设设)1ln(2tx ttyarctan , 3sinsin3coscos33sincos3cossin3)()( dxdyk故所求的切线方程为：故所求的切线方程为：, 21|4 dxdyk与与相对应的点为相对应的点为4 )2 , 2(aa022 )2(212 ayxaxay或或例例21.已知三叶玫瑰线已知三叶玫瑰线, )0( 3