导数概念74668

1、3.1.1 引例 3.1.2 导数的定义 3.1.4 导数的几何意义 3.1.5 函数的可导性与连续性的关系 3.1 导数概念上页下页铃结束返回首页3.1.3 左右导数 上页下页铃结束返回首页ttfttftsv)()(00 一、引例 设物体作直线运动所经过的路程为sf(t) 以t0为起始时刻 物体在t时间内的平均速度为 此平均速度可以作为物体在t0时刻的速度的近似值 t越小 近似的程度就越好 因此当t0时 极限1.直线运动的速度ttfttftsvttt)()(limlimlim00000就是物体在t0时刻的瞬时速度 下页上页下页铃结束返回首页 求曲线yf(x)在点m(x0 y0)处的切线的斜率

2、 在曲线上另取一点n(x0 x y0y) 作割线mn 设其倾角为j 观察切线的形成 2.切线问题 当x0时 动点n将沿曲线趋向于定点m 从而割线mn也将随之变动而趋向于切线mt 此时割线mn的斜率趋向于切线mt的斜率 动画演示首页xyxx00limtanlimtanjxxfxxfx)()(lim000上页下页铃结束返回首页二、导数的定义存在 则称函数f(x)在点x0处可导 并称此极限值为函数f(x)在点x0处的导数 记为f (x0) 即下页 设函数yf(x)在点 x0的某个邻域内有定义 如果极限v导数的定义1.函数在一点处的导数与导函数 如果上述极限不存在 则称函数f(x)在点x0处不可导 x

3、xfxxfxyxfxx)()(limlim)(00000 xxfxxfxyxfxx)()(limlim)(00000 上页下页铃结束返回首页导数的其它符号下页导数的其它定义式导数的定义式:xxfxxfxyxfxx)()(limlim)(00000 0|xxy 0 xxdxdy或0 )(xxdxxdf hxfhxfxfh)()(lim)(0000 000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx 上页下页铃结束返回首页 例1设f(x)10 x2 试按定义 求f (1) 解 下页导数的定义式:xxfxxfxyxfxx)()(limlim)(00000 hxfhxfxfh)()(lim)(00000

4、0)()(lim0 xxxfxfxx xxxfxffxx2200) 1(10)1(10lim) 1()1(lim) 1(20)2(lim102lim10020 xxxxxx201) 1(1010lim) 1() 1()(lim) 1(2211xxxfxffxx或 上页下页铃结束返回首页导数的定义式:导函数的定义 如果函数yf(x)在区间i内每一点x都对应一个导数值则这一对应关系所确定的函数称为函数yf(x)的导函数 简称导数 记作提问: 导函数的定义式如何写? f (x0)与f (x)是什么关系?下页hxfhxfxfh)()(lim)(000000)()(lim0 xxxfxfxx xxfxx

5、fxyxfxx)()(limlim)(00000 y)(xf dxdy 或dxxdf)( 上页下页铃结束返回首页导数的定义式:导函数的定义式hxfhxfxfh)()(lim)(000000)()(lim0 xxxfxfxx xxfxxfxyxfxx)()(limlim)(00000 xxfxxfxfx )()(lim)(0.)()(lim)(0hxfhxfxfh 或或上页下页铃结束返回首页 例2 求函数f(x)c 的导数(c为常数) 解 即 (c)0 下页2.求导数举例 解 f (x)hxfhxfh)()(lim00lim0hcchhxfhxfh)()(lim00lim0hcch 由定义求导数

6、由定义求导数步骤步骤:（三步法）（三步法）);()()1(xfxxfy 求求增增量量;)()()2(xxfxxfxy 算比值算比值.lim)3(0 xyyx 求极限求极限上页下页铃结束返回首页 解 hxhxhxfhxfxfhh11lim)()(lim)(00 例3 例 2 求xxf1)(的导数 2001)(1lim)(limxxhxxhxhhhh2001)(1lim)(limxxhxxhxhhhh2001)(1lim)(limxxhxxhxhhhh hxhxhxfhxfxfhh11lim)()(lim)(002.求导数举例 (c)0 21)1(xx(c)0 21)1(xx xx21)(上页下页

7、铃结束返回首页 解 例4 下页2.求导数举例 解 hxhxhxfhxfxfhh00lim)()(lim)(例 3 求xxf)(的导数 hxhxhxfhxfxfhh00lim)()(lim)( xxhxxhxhhhh211lim)(lim00 xxhxxhxhhhh211lim)(lim00 xxhxxhxhhhh211lim)(lim00 (c)0 21)1(xx(c)0 21)1(xx xx21)(21)1(xx xx21)( 1)(xx上页下页铃结束返回首页2.求导数举例 例5 求函数f(x)x n (n为正整数)在xa处的导数 更一般地 有 (x )x1(其中为常数) 把以上结果中的a换

8、成x得f (x)nxn1 即(xn)nxn1 解 nan1下页 (c)0 21)1(xx(c)0 21)1(xx xx21)(21)1(xx xx21)( 1)(xxxx21)( 1)(xx 解 f (a)axafxfax)()(limaxaxnnaxlimaxafxfax)()(limaxaxnnaxlim (xn1axn2 an1)axlim上页下页铃结束返回首页2.求导数举例 例6 求函数f(x)cos x的导数 解 下页 (c)0 21)1(xx(c)0 21)1(xx xx21)(21)1(xx xx21)( 1)(xxxx21)( 1)(xx xxxxxxcos)cos(lim)(

9、cos0 xxxxx2sin)2sin(2lim0 xxxxxxsin22sin)2sin(lim0上页下页铃结束返回首页 (sin x)cos x 同理可得(cos x)sin x 2.求导数举例 例7 求函数f(x)ax(a0 a 1)的导数 解 下页 (c)0 21)1(xx(c)0 21)1(xx xx21)(21)1(xx xx21)( 1)(xxxx21)( 1)(xx 解 f (x)hxfhxfh)()(lim0haaxhxh0limhxfhxfh)()(lim0haaxhxh0lim haahhx1lim0tah1令)1 (loglim0ttaatxhaahhx1lim0tah

10、1令)1 (loglim0ttaatxhaahhx1lim0tah1令)1 (loglim0ttaatx aaeaxaxlnlog1 上页下页铃结束返回首页 (sin x)cos x (cos x)sin x (ax)axln a 特别地有(ex )ex 2.求导数举例 例8 求对数函数ylog ax的导数 解 下页 (c)0 21)1(xx(c)0 21)1(xx xx21)(21)1(xx xx21)( 1)(xxxx21)( 1)(xx 解hxhxxfaahlog)(loglim)(0)1 (log1lim0 xhhahhxhxxfaahlog)(loglim)(0)1 (log1lim

11、0 xhhah hxahxhx)1 (loglim10axexaln1log1hxahxhx)1 (loglim10axexaln1log1 上页下页铃结束返回首页 (sin x)cos x (cos x)sin x (ax)axln a 2.求导数举例 以上得到的是部分基本初等函数的导数公式 下页特别地有(ex )ex (c)0 21)1(xx(c)0 21)1(xx xx21)(21)1(xx xx21)( 1)(xxxx21)( 1)(xx axxaln1)(log xx1)(lnaxxaln1)(log xx1)(ln 特别地有上页下页铃结束返回首页导数与单侧导数的关系 函数f(x)在

12、开区间(a b)内可导是指函数在区间内每一点可导 函数f(x)在闭区间a b上可导是指函数f(x)在开区间(a b)内可导 且在a点有右导数、在b点有左导数 函数在区间上的可导性下页 f(x)在0 x处的左导数处的左导数hxfhxfxfh)()(lim)(00 f(x)在0 x处的右导数处的右导数hxfhxfxfh)()(lim)(00 axf)(0axfxf)()(00 三、左右导数上页下页铃结束返回首页 例9 求函数f(x)|sinx|在x0处的导数 导数与单侧导数的关系 解 因为f (0) f (0) 所以函数f(x)|sinx|在x0处不可导首页axf)(0axfxf)()(00 f(

13、x)在0 x处的左导数 f(x)在0 x处的右导数处的左导数hxfhxfxfh)()(lim)(00 处的右导数hxfhxfxfh)()(lim)(00 1sinlim0|0sin|sin|lim0)0()(lim)0(000 xxxxxyxyfxxx1sinlim0|0sin|sin|lim0)0()(lim)0(000 xxxxxyxyfxxx三、左右导数上页下页铃结束返回首页三、导数的几何意义 导数 f (x0)在几何上表示曲线 yf(x) 在点 m(x0 f(x0)处的切线的斜率 即f (x0)tan 其中是切线的倾角 切线方程为 yy0f (x0)(xx0) 法线方程为下页)()(1

14、000 xxxfyy 上页下页铃结束返回首页时时当当0)(0 xf切线方程为切线方程为)(0 xfy 法线方程为法线方程为0 xx 时时当当 )(0 xf切线方程为切线方程为0 xx 法线方程为法线方程为)(0 xfy 三、导数的几何意义特殊情形：特殊情形：上页下页铃结束返回首页 解 所求法线方程为 并写出在该点处的切线方程和法线方程 例10 求等边双曲线xy1在点) 2 ,21(处的切线的斜率所求切线及法线的斜率分别为 41112kk所求切线方程为 )21( 42xy 即4xy40 )21(412xy即2x8y150 4)1(2121xxk下页解 21xy 上页下页铃结束返回首页首页 解 例

15、11 求曲线ycos x上点 处的切线方程和法线方程式 )21 ,3(ysin x 233sin3xy故在点处 切线方程为 )21 ,3()3(2321xy法线方程为12()233yx上页下页铃结束返回首页 xxx0lim30处处的的切切线线在在求求曲曲线线0)( 3 xxxf解：解： 由于函数在该点处连续由于函数在该点处连续:0)0()(lim)0(0 xfxffx不可导，但在原点在所以0)(xxf0:xx轴垂直的切线有与例12上页下页铃结束返回首页四、函数的可导性与连续性的关系v结论 如果函数yf(x)在点x0处可导 则它在点x0处连续 这是因为应注意的问题: 这个结论的逆命题不成立 即函

16、数yf(x)在点x0处连续 但在点x0处不一定可导 下页00)(limlimlimlim00000 xfxxyxxyyxxxx00)(limlimlimlim00000 xfxxyxxyyxxxx00)(limlimlimlim00000 xfxxyxxyyxxxx00)(limlimlimlim00000 xfxxyxxyyxxxx 上页下页铃结束返回首页连续但不可导的函数)但在点x0处不可导, 函数3)(xxf在区间( 内连续 例13 例14 函数y|x|在区间( )内连续 但在点x0处不可导 这是因为函数在点x0处导数为无穷大结束hfhfh) 0()0(lim0hhh0lim30hfhf

17、h) 0()0(lim0hhh0lim30hfhfh)0()0(lim0hhh0lim30 上页下页铃结束返回首页补充习题上页下页铃结束返回首页)(xf设0)(,xxf在讨论解解: :)(lim0 xfx又xfxfx)0()(lim0例例1 1所以 )(xf0 x在处连续. 即)(xf0 x在处可导 .xxx1sinlim20)0(0fxxx1sinlim000,1sin2xxx0,0 x处的连续性及可导性. xxxx120sinlim0)0( f上页下页铃结束返回首页例例2 2才才能能使使函函数数取取什什么么值值时时，问问,ba处处连连续续且且可可导导。在在时时当当时时；当当2.2,2,)(

18、2 xxbaxxxxf)(lim2xfx xfxfx )2()2(lim0)(lim2xfx 4 )(lim2baxx ba 222lim xx )2(f )2( f4 )2( fxbxax 4)2(lim0 xaxax 424)2(lim0 xxax 0lim42 ba当当时时即即ab24 a 424aab由由 44ba处连续处连续在在2)( xxf解解xxx 4)2(lim20上页下页铃结束返回首页).(0,0,sin)(. 1xfxxxxxf 求求时时；当当时时；当当设设函函数数解解时，时，当当0 x)(xf )(sin xxcos 时，时，当当0 x)(xf x 1 )0( f0)0()(lim0 xfxfxxxx0sinlim0 xxxsinlim0 1 )0( f0)0()(li