对数函数函数与导数

1、返回目录返回目录 1.对数的概念(1)对数的定义对数的定义一般地一般地,如果如果ax=n(a0,且且a1),那么数那么数x叫做以叫做以a为底为底n的对数的对数,记作记作 ,其中其中 叫做对数的叫做对数的底数底数, 叫做真数叫做真数.(2)几种常见对数几种常见对数x=logan a n 返回目录返回目录 对数形式对数形式特点特点记法记法一般对数一般对数底数为底数为a(a0,a(a0,且且a1)a1)常用对数常用对数底数为底数为 自然对数自然对数底数为底数为logan 10 lgn e lgn 2.对数的性质与运算法则(1)对数的性质对数的性质 = ; = (a0,且且a1). n nl lo o

2、g ga aa anaa al lo og gn n 返回目录返回目录 (2)对数的重要公式对数的重要公式换底公式换底公式: (a,b均大于零且不等于均大于零且不等于1);logab= ,推广推广logablogbclogcd= .(2)对数的运算法则对数的运算法则如果如果a0,且且a1,m0,n0,那么那么:loga(mn)= ; = ; = (nr); .nlogam a aloglogb b1n nm mlogloga an na am mloglogm mloglogm mn nm mlogloga an na am m b bloglogn nloglogn nlogloga aa

3、ab b d dlogloga a n nloglogm mlogloga aa a n nloglogm mlogloga aa a3.对数函数的图象与性质a1a10a10a1x1时时, ,当当0 x10 x1x1时时, ,当当0 x10 x0y0y0增函数增函数 减函数减函数 返回目录返回目录 4.反函数指数函数指数函数y=ax与对数函数与对数函数 互为反函数互为反函数,它它们的图象关于直线们的图象关于直线 对称对称.返回目录返回目录 y=x y=logax 返回目录返回目录 计算计算:利用对数定义求值利用对数定义求值;利用对数的运算性质利用对数的运算性质. (1)解法一解法一:利用对数定

4、义求值利用对数定义求值.设设 =x,则则 . .245245lglg8 8lglg3 34 4- -49493232lglg2 21 1 (2)(2) ););3 3- -(2(2loglog (1)(1)2 23 ) )3 3- -(2(2loglog 2 23-1.-1.x x3 32 23 32 21 1 3 3- -2 2) )3 3(2(2x x1)(返回目录返回目录 解法二解法二:利用对数的运算性质求解利用对数的运算性质求解.(2)原式原式=1333-1-12 22 22 2) )3 3(2(2loglog 3 32 21 1 loglog ) )3 3- -(2(2loglog

5、. .lg10lg105)5)lg(2lg(2lg5lg5lg2lg2lg5lg5lg7lg72lg22lg2- -lg7lg7- -lg2lg2lg5)lg5)(2lg7(2lg7lg2lg22 23 33 34 4- -2lg7)2lg7)- -(5lg2(5lg2lg245lg245lg8lg83 34 4- -lg49)lg49)- -(lg32(lg322 21 12 21 121212121212125212121 (1)在对数运算中在对数运算中,先利用幂的运算把底数先利用幂的运算把底数或真数进行变形或真数进行变形,化成分数指数幂的形式化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简使幂的底数

6、最简,然后再运用对数运算法则化简合并然后再运用对数运算法则化简合并,在运算中要注意化同在运算中要注意化同底和指数与对数互化底和指数与对数互化. (2)熟练地运用对数的三个运算性质熟练地运用对数的三个运算性质,并配以代数式并配以代数式的恒等变形是对数计算、化简、证明常用的技巧的恒等变形是对数计算、化简、证明常用的技巧.返回目录返回目录 计算下列各式的值计算下列各式的值:返回目录返回目录 l lg g4 40 0+ +l lg g5 50 0l lg g8 8+ +l lg g5 5+ +l lg g2 2) )1 1( ( 7 7) )3 33 3( (4 4 l lo og g 3 32 27

7、 7l lo og g) )2 2( (2 27 72 2l lo og g3 32 21 10 0l lo og g2 21 15 54 43 31 1+ +2 2lglg) )2 2(lg(lg+ +5 5lglg 2 2lglg+ +) )2 2(lg(lg2 2) )3 3( (2 22 2(2)原式原式=返回目录返回目录 1.1.4 45 5lglg4 45 5lglg40405050lglg8 85 52 2lglg(1)原式原式=. .4 41 1- -5 5l lo og g2 2) )- -3 3- -( (1 10 03 3) )l lo og gl lo og g- -3

8、 3l lo og g7 7- -) )( (3 3- -2 2l lo og g5 53 33 3l lo og g5 55 53 33 32 2l lo og g3 32 22 23 31 10 0l lo og g4 43 33 37 72 2) 143(43(3)原式原式1.1.= =2 2lglg- -1 1+ +5)5)lg(2lg(22 2lglg= =| |1 1- -2 2lglg| |+ +lg5)lg5)+ +(lg2(lg22 2lglg= =1 1+ +2 22lg2lg- -) )2 2(lg(lg+ +lg5)lg5)+ +2 2(2lg(2lg2 2lglg=

9、=2 2返回目录返回目录 返回目录返回目录 当当x(1,2)时时,不等式不等式(x-1)2logax恒成立恒成立,则则a的取值范的取值范围是围是( )a.(0,1) b.(1,2) c.(1,2 d.(0, )此不等式不是一般的不等式此不等式不是一般的不等式,无法直接求无法直接求解解,但可利用数形结合画出函数的图象但可利用数形结合画出函数的图象,使使y=logax的图的图象在象在x(1,2)上位于上位于y=(x-1)2的图象上方的图象上方.21返回目录返回目录 设设f1(x)=(x-1)2,f2(x)=logax.要使当要使当x(1,2)时时,不等式不等式(x-1)2logax恒成立恒成立,只

10、需只需f1(x)=(x-1)2在在(1,2)上上的图象在的图象在f2(x)=logax的下方即可的下方即可. 当当0a1时时,如图如图,要使在要使在(1,2)上上,f1(x)=(x-1)2的图象在的图象在 f2(x)=logax的下方的下方,只需只需f1(2)f2(2), 即即(2-1)2loga2. loga21,1logbx0logcx,则（则（ ）a.0c1bab.0ba1cc.0c1ab或或0ab1cd.0c1ab或或0ba11时，三个函数的图象关系如图（时，三个函数的图象关系如图（1）所示，此时有）所示，此时有0c1ab. 返回目录返回目录 若若0 x1时，则三个函数的图象关系如图（

11、时，则三个函数的图象关系如图（2）所示，此）所示，此时有时有0ba10,a1),如果对于任意如果对于任意x3,+)都有都有|f(x)|1成立成立,试求试求a的取值范围的取值范围.当当x3,+)时时,必有必有|f(x)|1成立成立,可可以理解为函数以理解为函数|f(x)|在区间在区间3,+)上的最小值不小上的最小值不小于于1.当当a1时时,对于任意对于任意x3,+),都有都有f(x)0.|f(x)|=f(x),而而f(x)=logax在在3,+)上为增函数上为增函数,对于任意对于任意x3,+),有有f(x)loga3.因此因此,要使要使|f(x)|1对于任意对于任意x3,+)都成立都成立.只要只

12、要loga31=logaa即可即可,1a3.当当0a1时时,对于对于x3,+),有有f(x)0,|f(x)|=-f(x).f(x)=logax在在3,+)上为减函数上为减函数,-f(x)在在3,+)上为增函数上为增函数.对于任意对于任意x3,+)都有都有|f(x)|=-f(x)-loga3.返回目录返回目录 本题属于函数恒成立问题本题属于函数恒成立问题,即为即为x3,+)时时,函数函数f(x)的绝对值恒大于等于的绝对值恒大于等于1.恒成立问题一般有两种思恒成立问题一般有两种思路路:一是利用图象转化为最值问题一是利用图象转化为最值问题;二是利用单调性转化为二是利用单调性转化为最值问题最值问题.这

13、里函数的底数为字母这里函数的底数为字母a,因此需对参数因此需对参数a分类讨分类讨论论.因此因此,要使要使|f(x)|1对于任意对于任意x3,+)都成立都成立,只要只要-loga31成立即可成立即可,loga3-1=loga ,即即 3, a1,在区间在区间(-,1- 上是减函数上是减函数, g(x)=x2-ax-a在区间在区间(-,1- 上也是单调减函上也是单调减函数数,且且g(x)0. 1- a2-2 g(1- )0, (1- )2-a(1- )-a0,解得解得2-2 a2.故故a的取值范围是的取值范围是a|2-2 a0 x-10 p-x0 由得由得a1,由得由得x1,f(x)的定义域是的定

14、义域是(1,p).返回目录返回目录 (1)f(x)有意义时有意义时,有有1 1- -x x1 1x x(2)f(x)=log2(x+1)(p-x)p p) ), ,x x( (1 14 41 1) )( (p p) )2 21 1- -p p- -( (x x- -l lo og g2 22 22 2返回目录返回目录 当当 , 即即p3时时, 0 , 2log2(p+1)-2 当当 1，即，即1p3时，时， 0 3时，时，f(x)的值域是的值域是(-, 2log2(p+1)-2; 当当1 . （1）f(x+1)=f(x-1),且且f(x)是是r上的偶函数，上的偶函数， loga(2+x),x-

15、1,0 loga(2-x), x0,1.4 41 1f(x+2)=f(x)= 返回目录返回目录 2 21 1返回目录返回目录 (2)当当x2k-1,2k时，时，f(x)=f(x-2k)=loga(2+x-2k),同理，当同理，当x2k, 2k+1时，时， f(x) =loga(2-x+2k). loga(2+x-2k),x2k-1,2k loga(2-x+2k),x2k,2k+1(kz). (3)由于函数以由于函数以2为周期为周期,故考查区间故考查区间-1,1. 若若a1,loga2= ,即即a=4. 若若0a0,且且a1)互为反函数互为反函数,要能从概念、图象和性质三个方面理解要能从概念、图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别它们之间的联系与区别. 2.在解决问题的思路和方法上在解决问题的思路和方法上,要注意与指数进行要注意与指数进行比较比较. 3.比较两个幂值的大小是一种常见的题型比较两个幂值的大小是一种常见的题型,也是一也是一类容易做错的题目类容易做错的题目.解决这类问题时解决这类问题时,首先要分清是底首先要分清是底数相同还是指数相同数相同还是指数相同.如果底数相同如果底数相同,可利用指数函数可利用指数函数的单调性的单调性;如果指数相同如果指数相同,可利用图象可利用图象(如下表如下表).返回目录