83全微分及其应用25719

1、)()(00 xfxxfy )( xoxay 称称y= f (x)在在x= x0点可微点可微 y= f (x)在在x= x0点，增量点，增量 若若.0 xadyxx 微分微分 z= f (x,y)在在(x0,y0)点点,全增量全增量),(),(0000yxfyyxxfz 若若)( oybxaz称称z= f (x, y)在在(x0,y0)点可微点可微,称称ybxa 为为z= f (x,y)在在(x0,y0)点的全微分。点的全微分。定义：函数定义：函数 z = f (x, y) 在点在点(x, y)的某邻域有定义，的某邻域有定义，若全增量若全增量),(),(yxfyyxxfz 可表示为可表示为)(

2、 oybxaz其中其中a , b不依赖于不依赖于x、y仅与仅与 x , y 有关有关,22)()(yx 则称函数则称函数 z = f (x, y) 在点在点 (x, y)可微可微，ybxa 称称为为z = f (x, y)在点在点(x, y) 的全的全微分微分，记为：记为：dz 或或d f (x,y)ybxadz 即即注注：(1)若函数若函数 f(x,y) 在某区域在某区域d内各点处处可微，内各点处处可微，则称这函数在则称这函数在d内可微内可微.若函数若函数 z = f (x, y) 在点在点p (x, y) 可微，可微，),(),(yxfyyxxfz ),( oybxa),(),(lim00

3、yxfyyxxfyx )(lim00 oybxayx0 ),(),(lim00yxfyyxxfyx 故函数在该点连续故函数在该点连续(2)若函数若函数 f(x,y) 在在(x,y)点可微，则在该点连续。点可微，则在该点连续。定理定理1 若函数若函数 z = f (x, y)在点在点p (x, y) 可微可微则函数在该点的偏导数存在。则函数在该点的偏导数存在。证证若函数若函数 z = f (x, y)在点在点p (x, y) 可微可微)(),(),( oybxayxfyyxxfz),(),(yxfyxxf |),(|xoxa 0 y取取xxoaxyxfyxxf )(),(),(axyxfyxxf

4、x ),(),(lim0.xza yyzxxzdz 则则推论：若函数推论：若函数 z = f (x, y)在点在点p (x, y) 可微可微设函数设函数u=f (x,y,z), 若若),(),(zyxfzzyyxxfu )( ozcybxazcybxa 称称为为 u = f (x, y,z)的全微分的全微分.dzzudyyudxxudu 关于关于z 的的偏微分偏微分解解,xyyexz ,xyxeyz ,2)1 ,2(exz ,22)1 , 2(eyz .222dyedxedz 所求全微分所求全微分例例1 计算函数计算函数xyez 在点在点 (2,1)处的全微分处的全微分.解解, 1 xu,2c

5、os21yzzeyyu ,yzyezu .)2cos21(dzyedyzeydxduyzyz 例例2 计算函数计算函数yzeyxu 2sin的全微分的全微分 一元函数导数存在一元函数导数存在 可微可微多元函数的各偏导数存在多元函数的各偏导数存在 可微可微如如.0 0 0 ),(222222 yxyxyxxyyxf在点在点(0,0)处处xfxffxx )0 , 0()0 ,(lim)0 , 0(0 xxxx 00)(0lim20=00)0 , 0( yf同同理理：.0 0 0 ),( 222222 yxyxyxxyyxf设设在在(0,0)点可微点可微)0 , 0(),(fyxfz )( oybx

6、a)( o0lim 0 z则则,)()(22yxyxz ,)()(22yxyxz 22000)()(limlimyxyxzyx 不存在不存在故函数在点故函数在点(0,0)处不可微处不可微. 说明说明：多元函数的各偏导数存在：多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在。并不能保证全微分存在。多元函数连续是可微的多元函数连续是可微的_条件，条件，多元函数的各偏导数存在是可微的多元函数的各偏导数存在是可微的_条件条件 结论：结论：定理定理 若函数若函数 z = f (x, y) 的偏导数的偏导数yzxz 、在点在点 (x, y) 连续，连续，则该函数在点则该函数在点 (x, y) 可微分可微分 函数

7、函数可微可微函函 数数 连连 续续偏导数偏导数连续连续偏导数存在偏导数存在作业：作业：p76：t1(3)(4), t3， p83: t9,t10,t11 当当z=f (x, y)的两个偏导数连续，且的两个偏导数连续，且 较小时，较小时， yx ,),(),(yxfyyxxfz )(),(),( oyyxfxyxfyx),(),(yxfyyxxf yyxfxyxfyx ),(),(.),(),(),(),(yyxfxyxfyxfyyxxfyx .),(),(),(),(yyxfxyxfyxfyyxxfyx 例例3 计算计算02. 2)04. 1(的近似值的近似值 解解 设设.),(yxyxf 0

8、2. 2)04. 1()2 , 1(f 02. 0)2 , 1(04. 0)2 , 1( yxff,),(1 yxyxyxf,ln),(xxyxfyy , 2)2 , 1( xf, 0)2 , 1( yf, 1)2 , 1( f02. 0004. 021)04. 1(02. 2 .08. 1 p83:t11 设设 其中其中f 具有二阶导数，具有二阶导数， ),(22yxfz 求求22222,yzyxzxz 解解xz )(22yxf x2 )(222yxfx 22xz )(222yxf )(222yxfx x2 f 2fx 24yxz 2)(222yxfx y2 fxy 422yz f 2fy 24练习题练习题 1. 母线平行于母线平行于x轴，且过曲线轴，且过曲线 0162222222zyxzyx的柱面方程是的柱面方程是_2.