数学分析数项级数92

1、200901059.2 9.2 正项级数正项级数 0,1 nnnaa正项级数正项级数一、特点一、特点, ns定理：定理： . ,1有界有界收敛收敛正项级数正项级数nnnsa 例例. , 012收敛收敛求证级数求证级数设设 nnnnsaa.lim ,lim , nnnnnnssss无界无界若若存在存在有界有界若若证明：证明：. 0, 02 nnnnnsausa21nnnnsssu nuuu 32)11()11()11(13221nnssssss .11111assn . ,1收敛收敛有界有界的部分和的部分和 nnnnuuu, 3 , 2 ,11111 nssssssnnnnnn二、收敛判别法二、

2、收敛判别法 比较法：比较法：则则时时当当设设 ,0 , ,nnbannn .1111发散发散发散，则发散，则若若收敛收敛收敛，则收敛，则若若nnnnnnnnbaab:分析分析,和和分别表示两级数的部分分别表示两级数的部分设设nnba.nnba 易见易见?1 有界有界有界有界收敛收敛nnnnabb. .比较法极限形式：比较法极限形式：则则如如,limlbannn ;,011同敛散同敛散与与则则若若 nnnnbal, 0 l若若,11 nnnnba 和和对两个正项级数对两个正项级数;11收敛收敛收敛收敛则则 nnnnab, l若若.11发散发散发散发散则则 nnnnab证明：证明：), 0(lim

3、 lbannn,2, 0,2llbannnlnn 时时当当取取 .232lbalbnnn 即即.,23 ,收敛收敛收敛收敛则则收敛收敛若若 nnnablb.,2,发散发散发散发散发散发散若若 nnnablb.,0nnbannl 时时知知时时.,nnbannl 时时知知时时. . cauchy积分判别法积分判别法,0)(,1且递减且递减时时设设 xfx.d)(1同敛散同敛散与无穷积分与无穷积分 xxf证明：证明：)1(d)()(1 kfxxfkfkk-xxfkffsnkkknknd )()()1(212 121)1(d )( nnknskfxxf,d)(1收敛收敛若若 xxf.)(,)1(1收敛

4、收敛 nnnffs,d)(1 发散发散若若xxf.)(,11发散发散 nnnfs 1)(nnf则无穷级数则无穷级数三、判别法的应用：三、判别法的应用：例例1.1.的敛散性的敛散性级数级数 11npnp解：解： 1 ,1 ,d11ppxxp发发散散收收敛敛由由. , 1 , 111 收敛收敛发散发散知知ppnnp其它方法：其它方法：. 3, 2 ,27例例例例参考教材参考教材p例例2.2.的敛散性的敛散性 2)(ln1npnn解：解：考虑考虑)(lnd)(ln1d)(ln122xxxxxpp 1 ,1 ,pp发散发散收敛收敛.)(ln12散散同样的条件下收敛或发同样的条件下收敛或发所以所以 np

5、nn常用于比较的级数常用于比较的级数 ：等比级数等比级数.1 ,1 ,1发散发散收敛收敛 rrrnn.1 ,1 ,11收敛收敛发散发散 ppnnp ,)ln(lnln1 ,)(ln2 knpnpnnnnn级数级数p例例. . 121nnn.,112发散发散 nnnan.,112发散发散 nnnan ,1sin1 nn, )11ln(12 nn ,3112 nnnn. ,1发散发散nan. ,12收敛收敛nan. ,1 发散发散nan0 ,11ln)1(1 pnnnnpn.)1()11()1(pppnnnnn .1)121ln(11lnnnnn .121pnna 211limpnnna.21 p

6、 .收敛收敛 na 1)11ln(1nnn)(2)1ln(22xxxx )(2)1ln(22xxxx 2210)11ln(1nannann且且 故收敛故收敛例例. .nnnn 112nnnnnna 32220故收敛故收敛例例. .)0(111 aann011lim nnaa时，时，0211lim nnaa时，时，nnnaaaa 111时，时，当当发散发散发散发散收敛收敛例例. . 13)1(3nnn收敛收敛,340nna 例例. . 的收敛性？的收敛性？有界，有界，设设 120nnnnanaa解：解：,mnan 22200nmanmann 故收敛故收敛例例. .)0()1()1)(1(12 xxxxxnnn解：解：nnxax 010时，时，故收敛故收敛1121)1()1(101 nnnxxax时，时，故收敛故收敛作