数学分析华师大版184

1、一、极值一、极值二、二、 条件极值拉格朗日乘数法条件极值拉格朗日乘数法一、极值一、极值若函数若函数 在点在点 的某个邻域内成立的某个邻域内成立不等式不等式),(yxf),(000yxm),(),(00yxfyxf则称则称 在点在点 取到极大值取到极大值 ，点，点 称为函数称为函数 的极大点；的极大点；),(yxf0m0m),(00yxf),(yxf类似地，类似地，若函数若函数 在点在点 的某个邻域内的某个邻域内成立不等式成立不等式),(yxf),(000yxm),(),(00yxfyxf则称则称 在点在点 取到极小值取到极小值 ，点点 称为函数称为函数 的极小点；的极小点；),(yxf0m0m

2、),(00yxf),(yxf极大值与极小值统称为极值；极大点与极小极大值与极小值统称为极值；极大点与极小点统称为极值点。点统称为极值点。由定义可见，若由定义可见，若 在点在点 取得极值，则当固定取得极值，则当固定 时，一元函数时，一元函数 必定在必定在 取相同的极值。取相同的极值。),(yxf),(00yx0yy ),(0yxf0 xx 同理，一元函数同理，一元函数 在在 也取相同的极值。于是也取相同的极值。于是由一元函数极值的必要条件，可得由一元函数极值的必要条件，可得),(0yxf0yy 0),(, 0),(0000yyxxyyxfxyxf上述条件不是充分的，例如函数 在原点 （0，0）有

3、xyz 0)0 , 0(, 0)0 , 0()0, 0()0, 0(xfyfyx但此函数的图形是一马鞍面，因而在原点没有极值。0),(, 0),(0000yxfyxfyx设二元函数 在点 的偏导数存在，若 在 取得极值，则),(yxf),(000yxm0m),(yxf于是得到二元函数取得极值的必要条件极值的必要条件如下：称满足上式的点 为 的驻点或稳定点。),(yxf),(00yx此外，函数在偏导数不存在的点仍然可能有极值，例如：0,0,xxxx这是交于 y 轴的两个平面。虽然， 的点都是函数的极小点，但是当 时，偏导数不存在。0 x0 x综上所述，函数的极值点只可能在偏导数等于零的点和偏导数

4、不存在的点中产生。因此要求函数的极值，首先要求出所有使偏导数等于零的点（驻点）和偏导数不存在的点。然后考察该点周围函数的变化情况，以进一步判定是否有极值。如何从驻点中找出极值点，关键在于判定表达式),(),(00yxfyxff为此我们考察),(),(),(),(000000yxfyyxxfyxfyxff当点 在 附近变动时是否有恒定的符号。),(00yx),(yx的符号。设 的二阶偏导数连续，且 ，由泰勒公式有),(yxf0yxff),(),(2),(21),(),(2),(21),(),(),(),(2000020020000200000000002222yyyxxfyxyyxxfxyyxx

5、fyyyxxfyxyyxxfxyyxxfyyxfxyxfyxfyyxxffyxyxyxyxyx由于 的二阶偏导数连续，所以),(yxf)0, 0(0,),()0, 0(0,),()0, 0(0,),(00000022yxcyyxxfyxbyyxxfyxayyxxfyxyx记),(),(),(00000022yxfayxfbyxfayxyx).,(),(lim),(),(lim),(),(lim00000,000000,000000,02222yxfyyxxfyxfyyxxfyxfyyxxfyyyxxyxyyxxxyx从而于是)2(21)2(212222yyxxycyxbxaf因为当 时， 都是

6、无穷小量，所以当0, 0yx,0222ycyxbxakf时，存在点 的一个邻域，使得 的符号与 的符号相同，而当 ， 的符号便取决于 的符号了。),(000yxmkff0kff222yyxx对于二次型222ycyxbxakf它的判别式为2baccbbah实二次型 为正定的必要条件是行列式axx0|a实二次型 为正定的充要条件是矩阵 a 的顺序主子式都大于零。axx实二次型 为负定的充要条件是矩阵 a 的奇数阶顺序主子式都小于零，偶数阶顺序主子式都大于零。axx那末有以下结论： 当 时，函数有极值；0h若 ，则函数有极大值。0a若 ，则函数有极大值。0a 当 时，函数没有极值；0h 当 时，函数

7、有无极值还需进一步考察判定。0h例 1 求 的极值。61065),(22yxyxyxf解解分别对 和 求偏导数并令其等于零，得方程组xy01010062yfxfyx解方程组得 的稳定点f) 1, 3( 再求 的二阶偏导数在 的值：f) 1, 3( 10, 0, 2yyxyxxfff02001022xyyyxxfff因为且02 xxf所以 有极小值：f8) 1, 3(f例 2 讨论 是否存在极值。xyxyxf2),(解解分别对 和 求偏导数并令其等于零，得方程组xy002xfyxfyx解方程组得 的稳定点为原点：f)0, 0(0, 1, 2yyxyxxfff再求 的二阶偏导数在 的值：f)0,

8、0(011022xyyyxxfff因为所以 无极值。f最最大大值、值、最最小小值值问问题题设函数 在某一有界闭区域 中连续且可导，则必在 上达到最大值（或最小值）。若这样的点 位于区域的内部，那末在这点函数显然有极大值（或极小值）。因此在这种情形，函数取到最大值（或最小值）的点必是极值点之一。然而函数的最大值（或最小值）也可能在区域的边界上达到。 因此，为了找出函数在区域 上的最大值（或最小值），必需要找出所有有极值的内点，算出这些点的函数值，再与区域边界上的函数极值相比较，这些数值中的最大者（或最小者）就是函数在闭域 上的最大值（或最小值）),(yxfz ddd0md例 3 有一块薄铁皮，宽

9、 24 厘米，把两边折起，做成一槽，求 和倾角 ，使槽的梯形截面的面积最大。x解解厘米24xxxxx224槽的梯形截面面积为cossinsin2sin24sin)cos224(sin)cos2224()224(21),(22xxxxxxxxxxxs问题归结为求 的最大值，先求稳定点0cossincos2cos240cossin2sin4sin2422222xxxxsxxxxs解方程组，得符合题意的唯一一组稳定点s3, 8x由于在这个问题中，最大值必达到，因此当060,8厘米x时，槽的梯形截面积最大，这时截面积为2833482396厘米s条件极值条件极值：对自变量有附加条件的极值：对自变量有附加

10、条件的极值二二 条件极值拉格朗日乘数法条件极值拉格朗日乘数法 . 0),(, 0),(, 0),(, 0),(, 0),(, 0),(tzyxtzyxtzyxftzyxftzyxftzyxftzyx 求解方程组求解方程组解出解出 x, y, z, t 即得即得可能极值点的坐标可能极值点的坐标.解解 )22()22()22(xyxyfzxxzfzyyzfzyx 则则例例4 求表面积为求表面积为 a2 而体积为最大的长方体的体积而体积为最大的长方体的体积. 设长方体的长、宽、高为设长方体的长、宽、高为 x , y，z. 体积为体积为 v .则问题就是条件则问题就是条件求函数求函数的最大值的最大值.

11、)0, 0, 0( zyxxyzv令令),222(),(2axzyzxyxyzzyxf , 0 , 0 , 0 . 02222 axzyzxy02222 axzyzxy下，下， )22()22()22(xyxyfzxxzfzyyzfzyx 则则令令),222(),(2axzyzxyxyzzyxf , 0 , 0 , 0 . 02222 axzyzxy即即 )4( 0222)3( )(2)2( )(2)1( )(22axzyzxyyxxyzxxzzyyz , 0 , 0 , 0 zyx因因由由(2), (1)及及(3), (2)得得,zyzxyx ,zxyxzy , 0 , 0 , 0 zyx因

12、因由由(2), (1)及及(3), (2)得得,zyzxyx ,zxyxzy 于是，于是，. zyx 代入条件，得代入条件，得. 02222 axxxxxx,622ax 解得解得,66ax ,66ay .66az .3666666663maxaaaav 这是唯一可能的极值点。这是唯一可能的极值点。 因为由问题本身可知，因为由问题本身可知，所以，所以， 最大值就在此点处取得。最大值就在此点处取得。故，最大值故，最大值最大值一定存在，最大值一定存在，解解 12 0 020323322zyxyxfyzxfzyxfzyx 则则 )4( ,12)3( ,)2( ,2)1( ,323322zyxyxyzxzyx 由由 (1)，(2) 得得(5) ,32xy 由由 (1)，(3) 得得(6) ,31xz .691224623max u将将 (5)，(6) 代入代入 (4)： 123132 xxx于是，得于是，得, 6 x, 4 y. 2 z这是唯一可能的极值点。这是唯一可能的极值点。因为由问题本身可知，最大值一定存在，因为由问题本身可知，最大值一定存在，所以，所以，最大值就在这个可能的极值点处取得。最大值就在这个可能的极值点处取得。故，最大值故，最大值解解0102402222yxyyfxxfyx则22226 ( , )21f x yxyxy例求函数在方程约束条件下的最大与最小值。) 1(