函数的概念与基本初等函数21

1、第二知识块第二知识块 函数的概念与基本初等函数函数的概念与基本初等函数、 导数及其应用导数及其应用第第1 1课时课时 函数的概念和图象、函数的表示方法、函数的概念和图象、函数的表示方法、 映射的概念映射的概念1了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域了解映射的概念了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域了解映射的概念2在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数了解简单的分段在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数了解简单的分段 函数，并能简单应用函数，并能简单应用【命题预测【命题预测】 1对于函数三要素的考查以定义域为主对于函数三要素的考查以定义域为主

2、2函数的值域常结合最值来考查函数的值域常结合最值来考查3近几年高考趋势：映射的内容逐渐降低要求，出题的可能性不大近几年高考趋势：映射的内容逐渐降低要求，出题的可能性不大4其题型一般以填空题为主，有时会在解答题中的应用题中设计成求其题型一般以填空题为主，有时会在解答题中的应用题中设计成求函数解析式函数解析式【应试对策【应试对策】 1表达表达式相同的两个函数不一定是同一个函数，由函数的表达式相同，只能知道式相同的两个函数不一定是同一个函数，由函数的表达式相同，只能知道它们的对应法则相同，但还是定义域是否相同的问题，例如它们的对应法则相同，但还是定义域是否相同的问题，例如f(x)3x1与与 g(x)

3、3x1(xz)，尽管尽管f(x)和和g(x)的表达式相同的表达式相同，但由于它们的定义域分别但由于它们的定义域分别为为r和和z，故它们是不同的两个函数故它们是不同的两个函数，另外另外，定义域和值域分别相同的两个函定义域和值域分别相同的两个函数也不一定是同一函数数也不一定是同一函数，例如例如f(x)x，x0,1，g(x)(x1)2，x0,1，这这两个函数的定义域和值域分别相同两个函数的定义域和值域分别相同，但由于但由于f(0)g(0)，f(1)g(1)，即当自变量即当自变量x取相同值取相同值x0时时，f(x0)g(x0)，故故f(x)g(x)2定定义域的表示常用区间与集合区间是一种特殊的集合：它

4、的左端点一定小义域的表示常用区间与集合区间是一种特殊的集合：它的左端点一定小于右端点，它的元素是数轴上的点，可以用数字表示于右端点，它的元素是数轴上的点，可以用数字表示3教材中指出：教材中指出：“设设a，b是非空的数集，是非空的数集，”由此，不存在定义域为空集的由此，不存在定义域为空集的函数，当函数存在函数，当函数存在(给定给定)时，其定义域一定不是空集；反之，当定义域为空时，其定义域一定不是空集；反之，当定义域为空集时，这样的函数不存在集时，这样的函数不存在4两个表达式不同的函数，它们的同变量函数值不相等，这是一种比较常见的两个表达式不同的函数，它们的同变量函数值不相等，这是一种比较常见的错

5、误看法例如，错误看法例如，f(x)x，x0,1，g(x)x2，x0,1，尽管两个函数的，尽管两个函数的表达式不同，但表达式不同，但f(0)g(0)0，f(1)g(1)1.5该掌握的求函数值域的几种常用方法，如直接法、换元法掌握求函数值域的该掌握的求函数值域的几种常用方法，如直接法、换元法掌握求函数值域的基本方法，掌握二次函数值域基本方法，掌握二次函数值域(最值最值)或二次函数在某一给定区间上的值域或二次函数在某一给定区间上的值域(最最值值)的求法求函数最大、最小值的问题历来是高考的热点，这类问题的出现的求法求函数最大、最小值的问题历来是高考的热点，这类问题的出现率很高，因此，我们应注意总结最大

6、、最小值问题的解题方法与技巧，以提率很高，因此，我们应注意总结最大、最小值问题的解题方法与技巧，以提高高考应变能力因函数的最大、最小值求出来了，值域也就知道了，所以，高高考应变能力因函数的最大、最小值求出来了，值域也就知道了，所以，若求出函数的值域为非开区间，函数的最大或最小值也就求出来了若求出函数的值域为非开区间，函数的最大或最小值也就求出来了6纠正纠正“函数就是解析式函数就是解析式”的片面认识，明确不仅函数受对应法则的制约，而且的片面认识，明确不仅函数受对应法则的制约，而且其定义域也包含着对函数关系的制约作用，并以此作为处理问题的指导能根其定义域也包含着对函数关系的制约作用，并以此作为处理

7、问题的指导能根据函数所具有的某些性质或它所满足的一些关系，求出它的解析式据函数所具有的某些性质或它所满足的一些关系，求出它的解析式7函数的常用表示方法，及各自的优点函数的常用表示方法，及各自的优点(1)表示函数的记法是表示函数的记法是yf(x)，常用方法是解析式、列表法、图象法，常用方法是解析式、列表法、图象法(2)把函数的两个变量之间的函数关系，用一个等式来表示，这个等式就叫做把函数的两个变量之间的函数关系，用一个等式来表示，这个等式就叫做这个函数的解析表达式，简称解析式用解析法表示函数的优点是：这个函数的解析表达式，简称解析式用解析法表示函数的优点是：函数函数关系清楚；关系清楚；给自变量一

8、个值，可求它的函数值；给自变量一个值，可求它的函数值；便于研究函数的性质便于研究函数的性质(3)列表法就是列出表格来表示两个变量的函数关系其优点是不必计算，通列表法就是列出表格来表示两个变量的函数关系其优点是不必计算，通过查表就可得到自变量与函数的对应值过查表就可得到自变量与函数的对应值(4)图象法就是用函数的图象表示两个变量之间的函数关系其优点是直观、图象法就是用函数的图象表示两个变量之间的函数关系其优点是直观、形象的表示出函数值随自变量的变化规律形象的表示出函数值随自变量的变化规律8理解分段函数是函数的一种表达形式，它表示一个函数，只是在定义区间上理解分段函数是函数的一种表达形式，它表示一

9、个函数，只是在定义区间上的不同区域其表达式不一样，其解决思路是分而治之的不同区域其表达式不一样，其解决思路是分而治之9映射是一种特殊的对应，它可以是映射是一种特殊的对应，它可以是“一对一一对一”也可以是也可以是“多对一多对一”【知识拓展【知识拓展】 映射映射一般地一般地，设设 f:ab是集合是集合a到集合到集合b上的映射，如果在这个映射的作用下，上的映射，如果在这个映射的作用下，对于集合对于集合a中的不同元素，在集合中的不同元素，在集合b b中有不同的项，而且中有不同的项，而且b中的每一个元素都中的每一个元素都有原象，那么这个映射就叫做有原象，那么这个映射就叫做a到到b上的一一映射上的一一映射

10、1函数的概念函数的概念 一般地，设一般地，设a，b是两个非空的数集是两个非空的数集，如果按照某种对应法则如果按照某种对应法则f，对于集对于集 合合a中的每一个元素中的每一个元素x，在集合在集合b中都有惟一的元素中都有惟一的元素y和它对应，那么这和它对应，那么这 样的对应叫做样的对应叫做 ，通常记为通常记为yf(x)，xa，其中，所其中，所 有的输入值有的输入值x组成的集合组成的集合a叫做函数叫做函数yf(x)的的 从从a到到b的一个函数的一个函数定义域定义域2函数的值域函数的值域 若若a是函数是函数yf(x)的定义域，则对于的定义域，则对于a中的每一个中的每一个x，都有一个输出都有一个输出 值

11、值y与之对应我们将所有输出值与之对应我们将所有输出值y组成的集合称为组成的集合称为 思考：思考：若两个函数的定义域与值域相同，这两个函数是否相同若两个函数的定义域与值域相同，这两个函数是否相同？ 提示：提示：这两个函数不一定相同这两个函数不一定相同，如如yx2与与yx4的定义域与值域都相的定义域与值域都相 同，但是这两个函数不同同，但是这两个函数不同函数的值域函数的值域3函数的表示法函数的表示法 (1)用用 来表示两个变量之间函数关系的方法称为列表法来表示两个变量之间函数关系的方法称为列表法 (2)用用 来表示两个变量之间函数关系的方法称为解析法这个等式通来表示两个变量之间函数关系的方法称为解

12、析法这个等式通 常叫做函数的解析表达式，简称解析式常叫做函数的解析表达式，简称解析式 (3)用用 表示两个变量之间函数关系的方法称为图象法表示两个变量之间函数关系的方法称为图象法图象图象列表列表等式等式4分段函数分段函数 在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式，像这样的函数通在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式，像这样的函数通 常叫做常叫做 5映射的概念映射的概念 设设a，b是两个非空集合，如果按某种对应法则是两个非空集合，如果按某种对应法则f，对于对于a中的每一个中的每一个 元素，在元素，在b中都有惟一的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做集中都有惟一的元素与之对应，那么这样的单值对应

13、叫做集 合合b的的 ，记作记作f ：ab.思考：思考：函数与映射有什么区别函数与映射有什么区别？提示：提示：函数是特殊的映射，映射不一定是函数函数是从一个非空数集函数是特殊的映射，映射不一定是函数函数是从一个非空数集到另一个非空数集的映射映射是从一个非空集合到另一个非空集合到另一个非空数集的映射映射是从一个非空集合到另一个非空集合(这两个集合不一定是数集这两个集合不一定是数集)的对应的对应分段函数分段函数映射映射1已知函数已知函数yf(x)，xa，b，那么集合，那么集合(x，y)|yf(x)，xa，b (x，y)|xx0中所含元素的个数是中所含元素的个数是_ 解析：解析：垂直于垂直于x轴的直线

14、与函数的图象最多只有一个交点轴的直线与函数的图象最多只有一个交点 答案：答案：0或或12下列方程对应的图形，其中不是函数图象的是下列方程对应的图形，其中不是函数图象的是_ x2y21；y ； ；y24x21 答案：答案：3函数函数y 的定义域是的定义域是_，值域是，值域是_ 答案：答案：1,10,14(2010北京华夏女中北京华夏女中)从集合从集合a1,2到集合到集合b3,4可以建立映射可以建立映射 的个数是的个数是_ 解析：解析：可以建立可以建立224个映射个映射 答案：答案：45函数函数y 的值域是的值域是_ 解析：解析：当当x0时，时，x211，x0时，时，x20， 函数的值域为函数的值

15、域为(，0)1，) 答案：答案：(，0)1，) 确定函数定义域的原则确定函数定义域的原则(1)当函数当函数yf(x)用列表法给出时，函数的定义域是指表格中实数用列表法给出时，函数的定义域是指表格中实数x的集合；的集合； (2)当函数当函数yf(x) 用图象法给出时，函数的定义域是指图象在用图象法给出时，函数的定义域是指图象在x轴上的投影所覆盖的实数轴上的投影所覆盖的实数的集合；的集合； (3)当函数当函数yf(x)用解析式给出时，函数的定义域是指使解析式有意义的实数用解析式给出时，函数的定义域是指使解析式有意义的实数x的集合；的集合； (4)当函数当函数yf(x)由实际问题给出时，函数的定义域

16、由实际问题的意义确定由实际问题给出时，函数的定义域由实际问题的意义确定 （5）若已知函数若已知函数f（x）的定义域为的定义域为a,b，其复合函数其复合函数f（g（x）的定义域由不等式的定义域由不等式ag（x）b解出解出. 【例【例1】 (2010湖南师大附中月考湖南师大附中月考)(1)求函数求函数f(x) (x4)0的定义域的定义域 (2)若函数若函数yf(x)的定义域为的定义域为1,1)，求求yf(x23)的定义域的定义域 思路点拨思路点拨：(1)求求f( (x) )的定义域的定义域，只需使解析式有意义，列不等式只需使解析式有意义，列不等式 组求解组求解 (2)可看作复合函数求定义域可看作复

17、合函数求定义域，只需只需1 x231，求求x的范围的范围解：解：(1)要使函数有意义需要使函数有意义需 ，x1且且x2，x4或或x1且且x2.函数的定义域为函数的定义域为x|x1且且x2，x4x|x1且且x2(2)由题知由题知 ， . .即即x(2， ，2) 为所求函数的定义域为所求函数的定义域 变式变式1：求下列函数的定义域求下列函数的定义域： (1) ；(2)yloga(ax1)(a0且且a1) 解：解：(1)由由 解得解得 所求函数定义域为所求函数定义域为 (2)由由ax10得得ax1，当，当a1时，时，x0；当；当0a1时，时，x0. a1时所求函数定义域为时所求函数定义域为(0，)；

18、0a1时所求函数定义时所求函数定义域为域为(，0)1解决分段函数的基本原则是分段进行解决分段函数的基本原则是分段进行2对于实际应用题应根据题意确定好分段点，在每一段上分析出其解析式对于实际应用题应根据题意确定好分段点，在每一段上分析出其解析式3对于分段函数的最值问题，一般是将每一段上的最值分别求出，其中的最对于分段函数的最值问题，一般是将每一段上的最值分别求出，其中的最大者就是整个函数的最大值，其中的最小者就是整个函数的最小值大者就是整个函数的最大值，其中的最小者就是整个函数的最小值 【例【例2】 (2009湖北联考题湖北联考题)已知函数已知函数f(x2) 求求f f(2)的值的值 思路点拨：

19、思路点拨：分别求出分别求出f 及及f(2) 代入后求得要求的值代入后求得要求的值 解：解：f tan 1.而而f(2)f(42) log2(4)log242. f f(2)2.变式变式2：(2010北京东城质检题北京东城质检题)设函数设函数f(x) 若若f(4)f(0)，f(2)2，则则f(x)的解析式为的解析式为f(x)_，关于关于x的方程的方程f(x)x的解的解的个数为的个数为_解析：解析：由由f(4)f(0)，f(2)2可知，可知，b4，c2，故，故x0时，时，f(x) x24x2，当，当x0时，时，f(x)x2，当，当x0，f(x)x，即，即x23x20，x2或或x1，故，故f(x)x

20、有有3个根个根答案：答案： 3 1映射是由集合映射是由集合a、b以及从以及从a到到b的对应法则的对应法则f 所确定的所确定的2在映射中，在映射中，f具有方向性，从集合具有方向性，从集合a到集合到集合b的对应关系，与从集合的对应关系，与从集合b到集到集 合合a的对应关系一般是不同的的对应关系一般是不同的3在一个映射中，集合在一个映射中，集合a、b可以是数集，也可以是点集或其他集合；集合可以是数集，也可以是点集或其他集合；集合a、b也可以是同一集合但在确定的映射中，集合也可以是同一集合但在确定的映射中，集合a、b的地位一般是不要的地位一般是不要求对等的求对等的 【例【例3】 判断下列对应是否是集合

21、判断下列对应是否是集合a到集合到集合b的映射的映射 (1) 设设 a1,2,3,4，b3,4,5,6,7,8,9,对应法则对应法则 f：x2x1； (2)设设 a1,2,3,4，b , f：xx取倒数取倒数； (3) a(x，y)|x|2，xy3，x、yn，b0,1,2，f：（x，y）xy； (4) an，b=0,1,2, f：x x被被3除所得余数除所得余数思路点拨：思路点拨：判定判定a中的每一个元素在中的每一个元素在b中是否都有惟一确定的元素与之对应中是否都有惟一确定的元素与之对应解：解：(1)(2)(3)(4)(5)(6)都是都是a到到b的映射的映射变式变式3.（2010河北衡水模拟题河

22、北衡水模拟题)已知映射已知映射f：xb，其中，其中abr，对应关系，对应关系f：xyx22x，对于实数，对于实数k kb，在集合，在集合a中存在不同的两个原象中存在不同的两个原象(若若a中的元素中的元素a与与b中的元素中的元素b对应，则对应，则b叫叫a的象，的象，a叫叫b的原象的原象)，则，则k k的取值范的取值范 围是围是_解析：解析：由由k kx22x，x22xk k0有两个不等实根，得有两个不等实根，得44k k0， k k1.答案：答案：k k1【规律方法总结【规律方法总结】 1函数的定义中最重要的是定义域和对应法则，值域是由定义域和对应法则确定函数的定义中最重要的是定义域和对应法则，

23、值域是由定义域和对应法则确定的在求的在求ff(x)类型的值时，应遵循先内后外的原则类型的值时，应遵循先内后外的原则2建立简单实际问题的函数式，首先要选定变量，而后寻找等量关系，求得函数解析建立简单实际问题的函数式，首先要选定变量，而后寻找等量关系，求得函数解析式，但要注意定义域式，但要注意定义域3判断对应是否为映射，即看判断对应是否为映射，即看a中元素是否满足中元素是否满足“每元有象每元有象”和和“且象唯一且象唯一”；但要；但要注意：注意：a中不同元素可有相同的象，即允许多对一，但不允许一对多；中不同元素可有相同的象，即允许多对一，但不允许一对多；b中元中元素可无原象，即素可无原象，即b中元素

24、可有剩余中元素可有剩余5求函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且要特别注意定义域对值域求函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且要特别注意定义域对值域的制约作用的制约作用6若若f是从集合是从集合a到集合到集合b的一个映射，当的一个映射，当a，b为非空的数集时，为非空的数集时，f为为a到到b的一的一个函数个函数. 4若函数是由一些基本初等函数通过四则运算结合而成的，那么它的定义域是若函数是由一些基本初等函数通过四则运算结合而成的，那么它的定义域是各基本初等函数定义域的交集对于含有字母的函数求定义域，或已知其定各基本初等函数定义域的交集对于含有字母的函数求定义域，或已知其定义域求字母参数的取

25、值范围，必须对字母的取值情况进行讨论求给定函数义域求字母参数的取值范围，必须对字母的取值情况进行讨论求给定函数解析式的定义域往往归结为解不等式组的问题，在解不等式组时要细心，取解析式的定义域往往归结为解不等式组的问题，在解不等式组时要细心，取交集时可借助于数轴，并且要注意端点值或边界值的取舍交集时可借助于数轴，并且要注意端点值或边界值的取舍 【例【例4】 (1)求函数求函数f(x) 的定义域的定义域；(2)已知函数已知函数f(x) 的的 定义域是定义域是(a，b)，求函数求函数f(x)f(3x1)f(3x1)的定义域的定义域【错因分析【错因分析】 (1)忘记了忘记了0的的0次方无意义，导致在定义域中多了次方无意义，导致在定义域中多了x1；(2)理解错理解错f(x)的定义域与的定义域与f(3x1)，f(3x1)的定义域之间的关系，致使函数的定义域之间的关系，致使函数f(3x1) 的定义域为的定义域为3a1x3b1，函数，函数f(3x1)的定义域为的定义域为3a1x3b1，这样得到的定义域就是，这样得到的定义域就是(3a1，3b1) 【答题模板【答题模板】 解：解：(1)由函数解析式有意义，得由函数解析式有意义，得 0 x1或或1x2或或x3，故函数的定义域是