偏导数的概念73032

1、第二节第二节 偏导数偏导数一、偏导数的概念一、偏导数的概念二、偏导数的求法二、偏导数的求法三、高阶偏导数三、高阶偏导数一 、偏导数的概念定义1 设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，当y固定在y0，而x在x0处有增量x时，相应函数有增量1.偏导数的定义).,(),(0000yxfyxxf如果极限xyxfyxxfx),(),(lim00000存在，则称此极限值为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数.记作),(),(,0000),(),(0000yxzyxfxfxzxxyxyx或即.),(),(lim00000),(00 xyxfyxxfxzxyx类似地，可定

2、义函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对y的偏导数为.),(),(lim00000),(00yyxfyyxfyzyyx又可记为).,(),(,0000),(00yxzyxfyfyyyx或如果函数z=f(x,y)在区域d内每一点(x,y)都存在对x的偏导数，即dyxxyxfyxxfx),( ,),(),(lim0存在，显然这个偏导数仍是x，y的函数，称它为函数z=f(x,y)对x的偏导函数，记作).,(),(,yxzyxfxfxzxx或类似地，可以定义函数z=f(x,y)在区域d内对自变量y的偏导函数为,),(),(lim0yyxfyyxfy记作).,(),(,yxzyxfyfyzyy或二元

3、以上多元函数的偏导数可类似地定义.例如三元函数u=f(x,y,z)在点(x,y,z)处对x的偏导函数定义为.),(),(lim0 xzyxfzyxxfxux同样地，可以定义偏导数 .zuyu,2.二元函数偏导数的几何意义二元函数z=f(x,y)的图形表示空间一张曲面.当y=y0时，曲面z=f(x,y)与平面y=y0的交线方程为 .),(0yyyxfz上式表示y=y0平面上的一条曲线z=f(x,y0).根据导数的几何意义可知：fx(x0,y0)就是这条曲线在点m0(x0,y0,z0)处的切线关于x轴的斜率. ),(0 xxyxfz同样，fy(x0,y0)是这条曲线z=f(x,y)与平面x=x0的

4、交线在点m0(x0,y0,z0)处的切线关于y 轴的斜率.二 、偏导数的求法求多元函数的偏导数就相当于求一元函数导数.一元函数的求导法则和求导公式对求多元函数的偏导数仍然适用. 例如，给定一个二元函数z=f(x,y)，求 时，可将自变量y 看成常数(即将z看成x的一元函数)，只需z对x求导.xz 若求函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数，只需先求偏导函数fx(x,y)，然后再求fx(x,y)在点(x0,y0)处的函数值，即 ，这样就得到了函数z =f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数.也可以先将y=y0代入z=f(x,y)中，得z=f(x,y0)，然后对x求导数fx(x

5、,y0)，再以x=x0代入.两种做法是一致的.因为在这个过程中，y为常数y0.),(| ),(00),(00yxfyxfxyxx例1 求函数 在点(1,3)处对x和y的偏导数.222),(yxyxyxf解yxyxfx22),(.22),(yxyxfy将点(1,3)代入上两式，得. 43212)3 , 1 (, 83212)3 , 1 (yxff例2 求函数 的偏导数.yxz .lnxxyzy, 1yyxxz解例3 求函数 的偏导数.22eyxz.e2)(e222222yxyyxyyxyz，2222e2)(e22yxxyxxyxxz解例4 求函数 的偏导数.222zyxr. ryyr. 222r

6、xzyxxxr解.rzzr例5 已知理想气体的状态方程pv=rt(r为常量)，求证：. 1pttvvp证,vrtp . 1 2vprtrvprvrtpttvvp,2vrtvp,prtv .rvpt,rpvt ,prtv 偏导数的记号是个整体记号，不能看作分子与分母之商，否则这三个偏导数的积将是1.这一点与一元函数导数记号 是不同的， 可看成函数的微分dy与自变量微分dx之商.xyddxydd例6 设，0 , 0, 0 ,),(222222yxyxyxxyyxf求f(x,y)在原点(0,0)处的偏导数.解 原点(0,0)处对x的偏导数为xfxffxx)0 , 0()0 ,0(lim)0 , 0(

7、0. 00lim00)(0)(lim020 xxxxx 原点(0,0)处对y的偏导数为yfyffyy)0 , 0()0 , 0(lim)0 , 0(0. 00lim0)(0)(0lim020yyyyy 对于多元函数,偏导数存在不能保证函数在该点处连续，这与一元函数不同.一元函数在其可导点处，一定连续的结论，对多元函数是不成立的.这是因为偏导数存在，只能保证当点(x,y)沿着平行坐标轴的方向趋于(x0,y0)点时，函数数值f(x,y)趋于f(x0,y0)，但不能保证当点(x,y)以任意方式趋于点(x0,y0)时，函数f(x,y)趋于f(x0,y0).同样还可以举出函数在(x0,y0)点连续，而在

8、该点的偏导数不存在的例子.例如，二元函数 ，在点(0,0)处是连续的，但在(0,0)点偏导数不存在.22),(yxyxf事实上， 是初等函数，(0,0)点是定义区域内的一点，故f(x,y)在点(0,0)点是连续的.22),(yxyxf 固定y=0，让x0，考察在(0,0)点处对x的偏导数.此时 ，已知函数|x|在x=0处是不可导的，即f(x,y)在点(0,0)处对x的偏导数不存在，同样可证f(x,y)在(0,0)点对y偏导数也不存在.|0)0 ,(2xxxf在点(x0,y0)处二元函数连续，推不出偏导数存在，而偏导数存在也推不出函数在该点处连续，所以二元函数连续与偏导数存在这二者之间没有因果关

9、系.三、高阶偏导数设函数z=f(x,y)在区域d内有偏导数).,( ),(yxfyzyxfxzyx二元函数的二阶偏导数为：),(),(22yxfyxzxzxzxxxxx),( ),(),(2混合偏导yxfyxzyxzxzyxyxy),( ),(),(2混合偏导yxfyxzxyzyzxyxyx).,(),(22yxfyxzyzyzyyyyy同样可得三阶、四阶以至n阶偏导数(如果存在的话).一个多元函数的n1阶偏导数的偏导数，称为原来函数的n阶偏导数.二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数.例7 求 的二阶偏导数.3233yxyxz,66322yxyxz,9223yxxyz,63 32xyyxxz解

10、,18 222yxyz,183222xyxyxz.183222xyxxyz定理8.1 如果函数z=f(x,y)在开区域d上二阶混合偏导数 连续，则在该区域上任一点处必有xyzyxz22,.22xyzyxz 该题值得注意的是，一般函数f的二阶混合偏导数 和 并不一定相等.例7的两个二阶混合偏导数相等，是因为它们是连续的，一般我们有下面的定理.xyfyxf).1 , 1 , 1 (),2 , 1 , 1 (,),(222xyzxxffzxyzxyzyxf求设例8,2),( 2xzyzyxfx解,2),(zzyxfxx,2),(yzyxfxy, 0),(zyxfxyz. 0) 1 , 1 , 1 (xyzf, 4)2 , 1 , 1 (xxf例9 证明函数 满足方程txtu42e1.22xutu证2244234e1e2122txtttutxtx.e212e1423422txtxxttxtxu.e421 4252232txtxt.e421 .2e2