固体物理电子教案14倒格

1、第 四 节第 四 节 倒 格倒 格本节主要内容本节主要内容: :1.4.1 1.4.1 倒格定义倒格定义1.4.3 1.4.3 倒格与傅里叶变换倒格与傅里叶变换1.4.2 1.4.2 倒格与正格的关系倒格与正格的关系1.4 1.4 倒格倒格 倒格倒格正格（点位）矢：正格（点位）矢：332211anananrn 321,bbb倒格基矢倒格基矢倒格（点位）矢：倒格（点位）矢：332211bhbhbhkn 晶体结构晶体结构=晶格晶格+基元基元正格基矢正格基矢正格正格 一个晶体结构有两个格子，一个是正格，另一个为一个晶体结构有两个格子，一个是正格，另一个为倒格倒格。321,aaa1.4.1 倒格定义倒

2、格基矢定义为：倒格基矢定义为： 213132321222aabaabaab 其中其中 是正格基矢，是正格基矢，321,aaa 332211bhbhbhkn ),(321为为整整数数hhh 与与 所联系的各点所联系的各点的列阵即为的列阵即为倒格倒格。 321aaa 是固体物理学原胞体积是固体物理学原胞体积倒格基矢的方向和长度如何呢倒格基矢的方向和长度如何呢？132122daab 222db 3b1b2b332db 一个倒格基矢是和正格原胞中一组晶面相对应的，它的方一个倒格基矢是和正格原胞中一组晶面相对应的，它的方向是该晶面的法线方向，它的大小则为该晶面族面间距倒数的向是该晶面的法线方向，它的大小

3、则为该晶面族面间距倒数的2 倍倍。 213132321222aabaabaab 1a2a3a1. ijjiba 2)ji( 2 ji 0 aaaba321112 2 aaaba131212 0 1.4.2 倒格与正格的关系332211alalalrl 332211bhbhbhkh 其中其中 分别为分别为正格点位矢正格点位矢和和倒格点位矢倒格点位矢。hlkr 和2. 2 hlkr( ( 为整数为整数) ) hlkr )(332211alalal)(332211bhbhbh )hlhlhl (3322112 2 3.3. *32 (其中其中 和和 *分别为正、倒格原胞体积分别为正、倒格原胞体积)

4、321bbb* 21133232aaaaaa cbabcacba 2113aaaa 1a 13232aaa * 23 21131213aaaaaaaa 4. 4.倒格矢倒格矢 与正格中晶面族与正格中晶面族( (h1h2h3) )正交，且其长度为正交，且其长度为 。332211hbhbhbhk 3212hhhd(1)(1)证明证明332211bhbhbhkh 与晶面族与晶面族( (h1h2h3) )正交。正交。 cbabcacba bco2a3a1aahk 设设abc为晶面族为晶面族(h1h2h3)中离原点最近的晶面，中离原点最近的晶面， abc在基矢在基矢 上的上的 截距分别为截距分别为 。3

5、21,aaa332211,hahaha由图可知：由图可知：3311hahaocoaca 3322hahaocobcb cakh 2211332211)(hahabhbhbh0 cbkh 3322332211)(hahabhbhbh0 所以所以332211bhbhbhkh 与晶面族与晶面族(h1h2h3)正交。正交。3212hhhd(2)证明证明 的长度等于的长度等于 。332211hbhbhbhk dnx 由平面方程：由平面方程： 得：得：hhhhhkkhad 11321hkbhbhbhha33221111 hk2 bacacbcba 222在晶胞坐标系在晶胞坐标系 中，中，cba,c)ba(

6、 clbkahklkh1.4.3 倒格与傅里叶变换在任意两个原胞的相对应点上，晶体的物理性质相同在任意两个原胞的相对应点上，晶体的物理性质相同。 rrrl 上式两边分别按傅里叶级数展开：上式两边分别按傅里叶级数展开： rkihhhkr e)( lhrrkihhlkrr e 2 lhrklr是正格矢。是正格矢。hk一定是倒格矢。一定是倒格矢。晶体结构晶体结构 正格正格 倒格倒格332211anananrn 1.1.332211bhbhbhkn 1.2.与晶体中原子位置与晶体中原子位置 相对应；相对应；2.与晶体中一族晶面相与晶体中一族晶面相对应；对应；3.是与真实空间相联系的是与真实空间相联系的

7、傅里叶空间中点的周期性傅里叶空间中点的周期性排列；排列；3.是真实空间中点的周是真实空间中点的周期性排列；期性排列；4.线度量纲为线度量纲为长度长度4.线度量纲为线度量纲为长度长度-1已知晶体结构如何求其倒格呢？已知晶体结构如何求其倒格呢？晶体晶体结构结构正格正格332211bhbhbhkh 正格正格基矢基矢321,aaa倒格倒格基矢基矢321,bbb倒格倒格 213132321aabaabaab 222 ijjiba 2)ji ( 2 ji 0aaaaiaa 1jaa 2jaaiaa 21 ijjiba 2)ji ( 2)(0ji 例例1 1：下图是一个二维晶体结构图，试画出其倒格点的排列。

8、：下图是一个二维晶体结构图，试画出其倒格点的排列。022111 baba202212 babajabiab2221 ijjiba 2)ji ( 2)(0ji jaaiaa 21a2a22211bhbhkh 倒格是边长为的正方形格子。倒格是边长为的正方形格子。a2例例2 2：证明体心立方的倒格是面心立方证明体心立方的倒格是面心立方。解：解： 体心立方的原胞基矢：体心立方的原胞基矢： kjiaakjiaakjiaa 222321 332121aaaa 22222232aaaaaakjiaa 222222222222aaaakaaaajaaaai kaja2222 213132321222aabaa

9、baab 3212aabkajaaa222232 332121aaaa kjakjaa 222223 jiab 23 kiab 22倒格矢：倒格矢： jiab 23 kjab 21 kiab 22同理得：同理得：体心立方的倒格是边长为体心立方的倒格是边长为4 4 / /a的的面心立方面心立方 。例例3 3：证明简立方晶面：证明简立方晶面( (h1 1h2 2h3 3) )的面间距为的面间距为232221321hhhadhhh 证明：证明：3212hhhhdk 由由得：得：3213212hhhhhhkd 简立方：简立方：,321kaajaaiaa iaaab22321 jaaab22132 ka

10、aab22213 法一：法一：iab21 jab22 kab23 232221hhha 3213212hhhhhhkd 2322212321hhhakhhh 332211321bhbhbhkhhh khjhiha3212 iab21 jab22 kab23 法二：法二：设设abc为为晶面族晶面族(h1h2h3)中离原点最近的晶面，中离原点最近的晶面，abc在基矢在基矢 上的截距分别为上的截距分别为 ，321,aaa332211,hahahadnx 由平面方程由平面方程 得：得： dnhadnhadnha332211 dhnaadhnaadhnaa333222111,cos,cos,cos dahnadahnada