01高等数学讲义第一章

1、精品资料欢迎下载高等数学讲义目 录第一章函数、极限、连续1其次章一元函数微分学24第三章一元函数积分学49第四章常微分方程70第五章向量代数与空间解析几何82第六章多元函数微分学92第七章多元函数积分学107第八章无穷级数（数一和数三）129EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载第一章函数、极限、连续§ 1.1函数 甲内容要点一、函数的概念1函数的定义2分段函数3反函数4隐函数二、基本初等函数的概念、性质和图象三、复合函数与初等函数四、考研数学中常显现的非初等函数1. 用极限表示的函数EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFK

2、DNF精品资料欢迎下载(1) ylimnf n xEFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载(2) ylimf t, xEFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载tx2. 用变上、下限积分表示的函数xdyEFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载(1) yf t dta2 x其中 ft 连续,就dxf xEFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载(2) y1 xf

3、t dt其中 1 x,2 x 可导,f t 连续,EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载就 dyf x xf x xEFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载dx五、函数的几种性质2211EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载1. 有界性：设函数 yf x 在 X 内有定义, 如存在正数 M ,使 xX 都有f xM

4、 ,就称f xEFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载在 X 上是有界的；2. 奇偶性：设区间 X 关于原点对称,如对xX ,都有 f xf x ,就称f x 在 X 上是奇EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载函数；EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载如对 xX ,都有 f xf x ,就称f x 在 X 上是偶函数,奇函数的图象关于原点对称；EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJF

5、BNEIFKDNF精品资料欢迎下载偶函数图象关于y 轴对称；EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载3. 单调性：设f x 在 X上有定义,如对任意x1X , x2X , x1x2 都有f x1 f x2 EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载 f x1f x2 就 称f x在 X上 是 单 调 增 加 的 单 调 减 少 的 ； 如 对 任 意 x1X ,EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下

6、载EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载x2X , x1x2 都有f x1 f x2 f x1f x2 ,就称f x 在 X 上是单调不减 单调不EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载增（留意：有些书上把这里单调增加称为严格单调增加；把这里单调不减称为单调增加；）EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载4. 周期性：设f x 在 X 上有定义,假如存在常数T0 ,使得任意 xX , xTX ,

7、都有EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载f xTf x,就称f x 是周期函数,称 T 为f x的周期；EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载由此可见,周期函数有无穷多个周期,一般我们把其中最小正周期称为周期；EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载 甲内容要点一、极限的概念与基本性质1. 极限的概念§ 1.2极限EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品

8、资料欢迎下载EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载(1) 数列的极限lim xnAnEFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载(2) 函数的极限 limxf xA； limxf xA ； limxf xAEFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载limf xA ； limf xA ； limf xAEFIEFNEUGBF

9、NKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载xx 0xx0xx 0EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载2. 极限的基本性质定理 1（极限的唯独性） 设 limf xA , limf xB ,就 A=BEFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载定理 2（极限的不等式性质）设 limf xA , limg xBEFIEFNEUGBFNKFMEIN

10、GFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载如 x 变化确定以后,总有f xg x ,就 ABEFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载反之, AB ,就 x 变化确定以后,有f xg x （注：当g x0 , B0 情形也称为极EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载限的保号性）

11、定理 3（极限的局部有界性）设limf xAEFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载就当 x 变化确定以后,f x 是有界的；EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载定理 4设 limf xA , limg xBEFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载就（ 1） lim（2） lim f x f xg xABg xABEFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载

12、EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载（3） lim（4） lim f xf xg xg xA BA B0 BEFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载（5） lim f x g xAB A0EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载二、无穷小1. 无穷小定义： 如limf x0 ,就称f x 为无穷小（注：无穷小与 x

13、 的变化过程有关,lim 10 ,xxEFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载当 x时1 为无穷小,而xxx0 或其它时,1 不是无穷小）xEFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载2. 无穷大定义：任给M>0 ,当 x 变化确定以后,总有f xM ,就称f x为无穷大,记以EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载limf x；3. 无穷小与无穷大的关系：在x 的同一个变化过程中,EFIEFN

14、EUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载如 f x如 f x为无穷大,就为无穷小,且1f xf x为无穷小,0 ,就f1 x为无穷大；EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载4. 无穷小与极限的关系：EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载limf xAf xA x ,其中 limx0EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载5. 两个无穷小的比较EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载设 limf x0 ,

15、limg x0 ,且limf xlEFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载g xEFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载（ 1） l0 ,称f x 是比g x 高阶的无穷小,记以f xo g xEFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载称 g x 是比 f x 低阶的无穷小EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载（ 2） l0 ,称f x 与g x 是同阶无穷小；EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎

16、下载EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载（ 3） l1 ,称f x 与g x 是等阶无穷小,记以f x g xEFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载6. 常见的等价无穷小,当x0 时EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载sin x x , tan x x ,arcsin x x , arctan x x , 1cos x 1 x2 , ex21 x ,EFIEFNEUGBFNKFMEING

17、FEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载ln 1x x , 1x1x；EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载7. 无穷小的重要性质有界变量乘无穷小仍是无穷小；三、求极限的方法1. 利用极限的四就运算和幂指数运算法就2. 两个准就准就 1：单调有界数列极限确定存在EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载(1) 如 xn 1xn （ n 为正整数）又xnm（ n 为正整数）,就lim xnnA存在,且 AmEFIEFNEUGBFNKFM

18、EINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载(2) 如 xn 1xn （ n 为正整数）又xnM （ n 为正整数）,就lim xnnA 存在,且 AMEFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载准就 2：夹逼定理EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载设 gxf xh x ；如limg xA , limhxA ,就limf xAEFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载EFIEFNEUGBFNK

19、FMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载3. 两个重要公式公式 1： limsin x1EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载x0xEFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载公式 2： lim 11 ne ； lim 11 ue； lim 11v veEFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载nnuuv04. 用无穷小重要性质和等价无穷小代换5. 用泰勒公式（比用等价无穷小更深刻）（数学一和数学二）x2xnEFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFK

20、DNF精品资料欢迎下载当 x0 时, ex1xo xn EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载35sin xxxx2. 1nn.x2 n 1o x2n 1EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载3.5.2n1.242nEFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载cosx1xx 1nxo x2nEFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载2.4.2n.EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载x2x3ln1

21、xxn 1 xn1no x EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载23nEFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载arctan xxxx 1n 1x2 n 1o x2n 1 EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载35352n1EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载1x1x2.1 x21n. n1 xno xn 6洛必达法就法就 1：（ 0 型）设（ 1） lim0f x0, lim g x0（ 2） x 变化过程中, f x , g

22、 x 皆存在（ 3） limf xg xA （或）就 limf xg xA （或）（注： 假如 lim f x 不存在且不是无穷大量情形,g x就不能得出 lim f x 不存在且不是无穷大量情g x形）法就 2：（型）设（ 1） lim f x, lim g x（ 2） x 变化过程中, f x , g x 皆存在（ 3） limf xg xA （或）就 limf xg xA （或）7利用导数定义求极限基本公式：limf x0x0xxf x0 f x 假如存在 08利用定积分定义求极限1nk1基本公式limnn k 1f n0f x dx假如存在 9. 其它综合方法10. 求极限的反问题有关

23、方法EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载 甲内容要点一、函数连续的概念1. 函数在一点连续的概念§ 1.3连续EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载定义 1如limf xf x0 ,就称f x 在点x0 处连续；EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载xx 0EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJ

24、FBNEIFKDNF精品资料欢迎下载定义 2设函数 yf x ,假如limxx0f xf x0 ,就称函数f x 在点x0 处左连续；假如EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载limf xf x0 ,就称函数f x 在点x0 处右连续；EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载xx0EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载假如函数yf x 在点x0 处连续,就f x 在x0 处既是左连续,又是右连

25、续；EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载2. 函数在区间内（上）连续的定义EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载假如函数 yf x在开区间（a, b ）内的每一点都连续,就称f x在 a,b) 内连续；EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载假如 yf x 在开区间内连续,在区间端点a 右连续,在区间端点 b 左连续,就称f x 在闭EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFK

26、DNF精品资料欢迎下载区间 a, b 上连续；二、函数的间断点及其分类1. 函数的间断点的定义EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载假如函数 yf x在点x0 处不连续,就称x0 为f x 的间断点；EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载2. 函数的间断点分为两类：（ 1）第一类间断点EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载设 x0 是函数 yf x 的间断点,假如f x 在间断点x0 处的左、右极限都存在,就称x0 是EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNE

27、IFKDNF精品资料欢迎下载f x 的第一类间断点；第一类间断点包括可去间断点和跳动间断点；（ 2）其次类间断点第一类间断点以外的其他间断点统称为其次类间断点；常见的其次类间断点有无穷间断点和振荡间断点；EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载例如： x0 是 f xsin xx的可去间断点,是f x| x |x的跳动间断点,是1f x的无xEFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载穷间断点,是f xsin1的振荡间断点；xEFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载三、初等函数的连续性1. 在区间 I 连续的函数的和、差、积及商（分母不为零）,在区间 I 仍是连续的；EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料欢迎下载2. 由连续函数经有限次复合而成的复合函数在定义区间内仍是连续函数；3. 在区间 I 连续且单调的函数的反函数,在对应区间仍连续且单调；4. 基本初等函数在它的定义域内是