考研数学考前必背常考公式集锦(线性代数篇)

1、学习必备欢迎下载2016 考研数学考前必背：常考公式集锦（线性代数篇）离考试还有最后几天，跨考教育数学教研室牛老师为考生整理了 20XX 年数学考研考前必背常考公式集锦。 希望对考生最后冲刺复习有所帮助。 本文内容为线性代数的常考公式汇总。1、行列式的展开定理行列式的值等于其任何一行（或列）所有元素与其对应的代数余子式乘积之和，即A ai1 Ai1ai 2 Ai 2.ain Aini1,2,., na1 j A1 ja2 j A2 j.anj Anjj1,2,., n推论 ：行列式的一行（或列）所有元素与另一行（或列）对应元素的代数余子式的乘积之和为零，即naij Akjai1 Ak1ai 2

2、 Ak 2.ain Akn0,( ik )j 1na ji Ajka1i A1k a2i A2k.ani Ank0 ( i k)j 12、设 A(aij )m n ， B(bij ) n k （注意 A 的列数和 B 的行数相等），定义矩阵 C(cij )m k ，n其中 cijai1b1jai 2b 2j.ain bnjaik bkj ，称为矩阵 A 与矩阵 B 的的乘积，记作k 1C=AB.如果矩阵A 为方阵，则定义A nA A.A为矩阵 A 的 n 次幂 .n个 A不成立的运算法则ABBAABOAO或BO3、设 A 为 n 阶方阵， A* 为它的伴随矩阵则有AA *A* AA E .设

3、A 为 n 阶方阵，那么当AB = E 或 BA = E 时，有 B 1 = A4、对单位矩阵实施一次初等变换得到的矩阵称之为初等矩阵 . 由于初等变换有三种， 初等矩阵也就有三种：交换单位矩阵的第i 行和第 j 行得到的初等矩阵记作Eij ，该矩阵也可以看做交换单位矩阵001的第 i 列和第 j 列得到的 . 如 E1,3 010 .100学习必备欢迎下载将一个非零数 k 乘到单位矩阵的第i 行得到的初等矩阵记作E i (k) ；该矩阵也可以看做将单100位矩阵第 i 列乘以非零数 k 得到的 . 如 E 2 ( 5) 050 .001将单位矩阵的第i 行的 k 倍加到第 j 行上得到的初等

4、矩阵记作Eij( k) ；该矩阵也可以看做将100单位矩阵的第j 列的 k 倍加到第 i 列上得到的 . 如 E3,2 ( 2)012 .001注：1）初等矩阵都只能是单位矩阵一次 初等变换之后得到的.2）对每个初等矩阵，都要从行和列的两个角度来理解它，这在上面的定义中已经说明了.尤其需要注意初等矩阵Eij(k) 看做列变换是将单位矩阵第j 列的 k 倍加到第 i 列，这一点考生比较容易犯错 .5、矩阵 A 最高阶非零子式的阶数称之为矩阵 A 的秩 ，记为 r ( A) .1）rrTrk,k0 ；AAA2） AOrA1；3） rA1AO 且 A 各行元素成比例；4）设 A 为 n 阶矩阵，则

5、rAnA 0.6、线性表出设 1, 2 ,.,m 是 m 个 n 维向量， k1 , k2 ,.km 是 m 个常数，则称 k1 1k22 .km m 为向量组1, 2 ,.,m 的一个 线性组合 .设 1, 2 ,.,m 是 m 个 n 维向量，是一个 n 维向量， 如果为向量组1,2 ,.,m 的一个线性组合，则称向量可以由向量组1,2 ,., m 线性表出 .线性相关设1 ,2,.,m 是 m 个 n 维 向 量 ， 如 果 存 在 不 全 为 零 的 实 数 k1 , k2 ,., km ， 使 得k11k22.km m0 ，则称向量组1 , 2 ,.,m 线性相关 .如果向量组1,2

6、 ,.,m 不是线性相关的，则称该向量组线性无关 .学习必备欢迎下载与线性表出与线性相关性有关的基本定理定理 1：向量组 1 ,2 ,.m 线性相关当且仅当1,2 ,.m 中至少有一个是其余 m 1个向量的线性组合 .定理 2：若向量组1 ,2 ,. m 线性相关，则向量组1,2 ,., m ,m 1 也线性相关 .注： 本定理也可以概括为“部分相关整体相关”或等价地“整体无关部分无关” .定 理3：若向量组1, 2 ,. m 线 性 无 关 ， 则 向 量 组1 ,2,. m 的 延 伸 组1,2,.,m也线性无关 .12m定理 4：已知向量组1 ,2,. m 线性无关， 则向量组 1 ,

7、2 ,. m ,线性相关当且仅当可以由向量组1, 2 ,.m 线性表出 .定理 5：阶梯型向量组线性无关 .定理 6：若向量组1 ,2 ,., s 可以由向量组1 ,2 ,.,t 线性表出，且1, 2 ,., s 线性无关，则有 st .注： 本定理在理论上有很重要的意义，是讨论秩和极大线性无关组的基础. 定理内容也可以等价的描述为：若向量组1 , 2 ,.,s 可以由向量组1, 2 ,., t线性表出，且 st ，则1 ,2,.,s 线性相关 .对于这种描述方式，我们可以把定理内容简单地记为：“多数被少数线性表出，则必相关. ”定理 7：n1 个 n 维向量必然线性相关.7、线性方程组解的存

8、在性设 A1,2 ,.,n，其中1,2 ,.,n 为A 的列向量，则线性方程组Axb 有解向量b 能由向量组1,2 ,.,n 线性表出；r1 ,2 ,.,nr1,2 ,.,n , b；rArA, b线性方程组解的唯一性当线性方程组Axb 有解时，Axb的解不唯一（有无穷多解）线性方程组的导出组Ax0有非零解；向量组1 ,2 ,.,n 线性相关；r1 ,2 ,.,nn ；rAn .学习必备欢迎下载注：1）注意该定理成立的前提条件是线性方程组有解；也就是说，仅告知r An 是不能得到Ax b 有无穷多解的，也有可能无解 .2）定理 2 是按照 Axb 有无穷多解的等价条件来总结的，请考生据此自行写

9、出Axb 有唯一解的条件 .8、特征值和特征向量：设 A 为 n 阶矩阵，是一个数，若存在一个n 维的非零列向量使得关系式 A成立.则称是矩阵 A的特征值 ，是属于特征值的特征向量 .设 E 为 n 阶单位矩阵，则行列式E A称为矩阵 A的特征多项式 .注：1）要注意：特征向量必须是非零向量；2）等式 A也可以写成AE0 ，因此 是齐次线性方程组AE x0 的解，由于0，可知 AE x0 是有非零解的， 故 AE 0 ；反之，若 AE0 ，那么齐次线性方程组 AEx0 有非零解， 可知存在0使得 AE0，也即A .由上述讨论过程可知：是矩阵 A 的特征值的充要条件是AE0（或EA0 ），而特征

10、值的特征向量都是齐次线性方程组AE x0 的非零解 .3）由于E A 是 n 次多项式，可知 AE0 有 n个根（包括虚根） ，也即 n 阶矩阵有n 个特征值；任一特征值都有无穷多特征向量9、矩阵的相似对角化定理 1：n 阶矩阵 A 可相似对角化的充要条件是矩阵A 存在 n 个线性无关的特征向量. 同时，在等式 AP P 1 中，对角矩阵的元素为 A 的 n 个特征值，可逆矩阵P 的列向量为矩阵A 的 n 个线性无关的特征向量，并且P 中特征向量的排列顺序与中特征值的排列顺序一致.推论 ：设矩阵 A 有 n 个互不相同的特征值，则矩阵A 可相似对角化 .定理 2： n 阶矩阵 A 可相似对角化

11、的充要条件是对任意特征值，线性无关的特征向量个数都等于的重数 .nA可相似对角化的充要条件是对任意特征值nrE A的重数 .推论 ： 阶矩阵，10、设 A 为实对称矩阵（ ATA ），则关于 A 的特征值与特征向量，我们有如下的结论：定理 1： A 的所有特征值均为实数，且A 的的所有特征向量均为实数 .定理 2： A 属于不同特征值的特征向量必正交.定理 3： A 一定有 n 个线性无关的特征向量，即A 可以对角化 . 且存在正交矩阵Q ，使得Q 1AQQT AQdiag ( 1,2 ,.,n ) ，其中 1,2 ,., n 为矩阵 A 的特征值 . 我们称实对称学习必备欢迎下载矩阵可以正交

12、相似于对角矩阵.nn11、如果二次型aij xi xj 中，只含有平方项，所有混合项xi xj(ij ) 的系数全为零，也i 1j 1即形如 d1x12d2 x22. dn xn2 ，则称该二次型为标准形 。如果二次型fxT Ax 合同于标准形 d1 x12d2 x22. dn xn2，则称 d1x12d2 x22.dn xn2为二次型 fxT Ax 的合同标准形 。利用正交变换法求二次型的合同标准形由于实对称矩阵是可以正交相似对角化的，也即存在正交矩阵Q 及对角矩阵，使得Q 1AQQT AQ。而求二次型的合同标准形就是求可逆矩阵C 以及对角矩阵1 ，使得 CTAC1 ，对比可知，我们可以将可逆矩阵C取成 Q，此时1 就等于。正交矩阵 Q 及对角矩阵的求法我们在上一章有详细的介绍，这里不再赘述。正交变换法是求二次型合同标准形的主要方法，考生要熟练掌握。需要注意的是， 二次型的合同标准形是不唯一的，但通过正交变换法求得的标准形是唯一的（不考虑排列次序的话） ，标准形中平方项的系数均为矩阵A 的特征值，同时正交矩阵Q 的列向量都是矩阵