112棱柱、棱锥和棱台的结构特征1

1、1.1.2 棱柱、棱锥和棱台棱柱、棱锥和棱台的结构特征（一）的结构特征（一）第四高中第四高中一多面体及相关概念一多面体及相关概念1多面体多面体：多面体是由若干个平面多边：多面体是由若干个平面多边形所围成的几何体，如下图中的几何体形所围成的几何体，如下图中的几何体都是多面体都是多面体.2相关概念：相关概念：（1）围成多面体的各个）围成多面体的各个多边形叫做多面体的多边形叫做多面体的面面； （2）相邻两个面的公共）相邻两个面的公共边叫做多面体的边叫做多面体的棱棱；（3）棱和棱的公共点）棱和棱的公共点叫做多面体的叫做多面体的顶点顶点；（4）连接不在同一个面上的两个顶点的）连接不在同一个面上的两个顶点

2、的线段叫做多面体的线段叫做多面体的对角线对角线； （5）凸、凹多面体：把一个多面体的任）凸、凹多面体：把一个多面体的任意一个面延展为平面，如果其余各面都在意一个面延展为平面，如果其余各面都在这个平面的同一侧，则这样的多面体就叫这个平面的同一侧，则这样的多面体就叫做做凸多面体凸多面体，其他的多面体叫做，其他的多面体叫做凹多面体凹多面体； （6）截面：一个几何体和一个平面相交）截面：一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形（包括它的内部），叫所得到的平面图形（包括它的内部），叫做这个几何体的做这个几何体的截面截面；3多面体的分类：多面体的分类：（1）按照多面体是否在任一面的同一侧）按照多面体是否在

3、任一面的同一侧分为凸多面体和凹多面体；分为凸多面体和凹多面体；（2）按照围成多面体的面的个数分为四）按照围成多面体的面的个数分为四面体、五面体、六面体等。面体、五面体、六面体等。 一、一、 观察下列几何体并思考：具备哪观察下列几何体并思考：具备哪些性质的几何体叫做棱柱些性质的几何体叫做棱柱? ?abcda1a1b1b1c1c1d1abca1b1c1d1 e1abced二二. 棱柱及相关概念棱柱及相关概念 1定义：定义： 2相关概念相关概念：（1）棱柱的两个互相平行的面叫做棱柱）棱柱的两个互相平行的面叫做棱柱的的底面底面，简称，简称底底；（2）其余各面叫做棱柱的）其余各面叫做棱柱的侧面侧面；（3

4、）两侧面的公共边叫做棱柱的）两侧面的公共边叫做棱柱的侧棱侧棱； （4）侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的）侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点顶点；底面底面侧面侧面侧棱侧棱顶点顶点（5）棱柱中不在同一面上的两个顶点的）棱柱中不在同一面上的两个顶点的连线叫做棱柱的连线叫做棱柱的对角线对角线 ；（6）棱柱两底面之间的距离，叫做棱柱）棱柱两底面之间的距离，叫做棱柱的的高高。如何理解棱柱？如何理解棱柱？ 从运动的观点来看，棱柱可以看成是从运动的观点来看，棱柱可以看成是一个多边形（包括图形围成的平面部分）一个多边形（包括图形围成的平面部分）上各点都上各点都沿着同一个方向移动相同的距离沿着同一个方向移动相同的距

5、离所经过的空间部分。所经过的空间部分。 如果多边形水平放置，则移动后的多边如果多边形水平放置，则移动后的多边形也水平放置。形也水平放置。 棱柱的主要结构特征：棱柱的主要结构特征： 1）两个底面互相平行；）两个底面互相平行； 2）其余每相邻两个面的交线互相平行，）其余每相邻两个面的交线互相平行，各侧面是平行四边形。各侧面是平行四边形。 但是注意但是注意“ 有两个面有两个面互相平行，其余各面都互相平行，其余各面都是平行四边是平行四边 形形”的几何的几何体未必是棱柱。体未必是棱柱。 如图所示的几何体虽有如图所示的几何体虽有两个平面互相平行，其两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形，余各面都是平行四

6、边形，但不满足但不满足“每相邻两个每相邻两个面的公共边互相平行面的公共边互相平行”，所以它不是棱柱。所以它不是棱柱。3棱柱的分类：棱柱的分类：（1）按底面多边形的边数分为三棱柱、）按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等（见图）四棱柱、五棱柱等（见图）（2）按侧棱与底面的关系分类：）按侧棱与底面的关系分类：侧棱与底面不垂直的棱柱叫做侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱斜棱柱；侧棱与底面垂直的棱柱叫做侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱直棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫做底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱正棱柱。4棱柱的表示棱柱的表示：（1）用表示）用表示各顶点各顶点的字母表示棱柱：的字母表示棱柱：如棱

7、柱如棱柱abcda1b1c1d1；（2）用一条）用一条对角线对角线端点的两个字母来端点的两个字母来表示，如棱柱表示，如棱柱ac1.d1c1b1a1dcba5特殊的四棱柱特殊的四棱柱：（1）底面是平行四边形的棱柱叫做）底面是平行四边形的棱柱叫做平行平行六面体六面体；（2）侧棱与底面垂直的平行六面体叫做）侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体直平行六面体；（3）底面是矩形的直平行六面体叫做）底面是矩形的直平行六面体叫做长长方体方体；（4）棱长都相等的长方体叫做）棱长都相等的长方体叫做正方体正方体.例例1设有四个命题：设有四个命题： 底面是矩形的平行六面体是长方体；底面是矩形的平行六面体是长方体

8、；棱长相等的直四棱柱是正方体；棱长相等的直四棱柱是正方体；有有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；体是直平行六面体；对角线相等的平对角线相等的平行六面体是直平行六面体。以上四个命行六面体是直平行六面体。以上四个命题中，真命题的个数是（题中，真命题的个数是（ ） （a）1 （b）2 （c）3 （d）4a解：解：不正确。不正确。 除底面是矩形外还应满足侧除底面是矩形外还应满足侧棱与底面垂直才是长方体。棱与底面垂直才是长方体。 不正确。不正确。 当底面是菱形时就不是正方体。当底面是菱形时就不是正方体。 不正确。不正确。 是两条侧棱垂直于底面一边而非是

9、两条侧棱垂直于底面一边而非垂直于底面，故不一定是直平行六面体。垂直于底面，故不一定是直平行六面体。 正确。正确。 因为对角线相等的平行四边形是矩因为对角线相等的平行四边形是矩形，由此可以推测此时的平行六面体是直平形，由此可以推测此时的平行六面体是直平行六面体。行六面体。 故而选故而选a.例例2已知集合已知集合 a=正方体正方体，b=长方体长方体，c=正四棱柱正四棱柱，d=平行六面体平行六面体，e=四四棱柱棱柱，f=直平行六面体直平行六面体，则（，则（ ）b（a）（b）（c）（d）它们之间不都存在包含关系）它们之间不都存在包含关系 abcfdeacbfdecabdfe四棱柱四棱柱平行六面体平行六

10、面体长方体长方体直平行六面体直平行六面体正四棱柱正四棱柱正方体正方体底面是底面是平行四边形平行四边形侧棱与底面侧棱与底面垂直垂直底面是底面是矩形矩形底面为底面为正方形正方形侧棱与底面侧棱与底面边长相等边长相等例例3. 将长方体截去一角，将长方体截去一角，求证：截面是锐角三角形。求证：截面是锐角三角形。 ?g?f?e?d 1?c 1?b 1?a 1?d?c?b?a提示：设提示：设b1e=a，b1f=b，b1g=c，则则 ef2+eg2=a2+b2+a2+c2fg2.由余弦定理得由余弦定理得feg是锐角。是锐角。练习题：练习题：1下面没有体对角线的一种几何体是下面没有体对角线的一种几何体是（ ? ） （a）三棱柱）三棱柱 （b）四棱柱）四棱柱 （c）五棱柱）五棱柱 （d）六棱柱）六棱柱a2用一个平面去截正方体，截面多边形用一个平面去截正方体，截面多边形的边数不可能是（的边数不可能是（ ） （a）4 （b）5 （c）6 （d）7d3一个棱柱有两个侧面是矩形，能保证一个棱柱有两个侧面是矩形，能保证它是直棱柱的是（它是直棱柱的是（ ） （a）三棱柱）三棱柱 （b）四棱柱）四棱柱 （c）五棱柱）五棱柱 （d）六棱柱）六棱柱a4六棱柱有六棱柱有 条对角线条对角线.95一个无盖的正方体盒一个无盖的正方体盒子展开后的平面图形如子展开后的平面图形如图所示，图所示，a，b