[经济学]概率论与数理统计复旦大学出版社习课件

1、1. 事件之间的关系与运算事件之间的关系与运算事件的包含事件的包含,事件的相等事件的相等;事件的和事件的和(并并);事件的积事件的积(交交);事件的差事件的差;互不相容事件互不相容事件(互斥互斥);对立事件对立事件.nmap )(1) 所有可能的试验的结果只有有限个；所有可能的试验的结果只有有限个；(2) 每一个结果出现的可能性相同每一个结果出现的可能性相同.2.古典古典概型概型)()()()(abpbpapbap ,互不相容互不相容ba)()()()(2121nnapapapaaap )()()(bpapbap 互互不不相相容容naaa,21)()()()()()(bcpabpcpbpapc

2、bap 3. 加法公式加法公式)()(abcpacp ,ab )()()(apbpabp )()()(abpapbap 对立事件对立事件)(1)(apap ;0)( p aap0)(:注注; 1)(,p必然事件4. 条件概率条件概率,乘法公式乘法公式,事件的独立性事件的独立性)()()(apabpabp 0)( ap条件概率条件概率)()()(abpapabp ,0)( bp)()()(bapbpabp ,0)( ap)()()()(abcpabpapabcp )(21naaap)()()()(11213121 nnaaapaaapaapap乘法公式乘法公式),()()(bpapabp )()

3、(apbap ,独独立立与与 ba也也独独立立与与与与与与bababa;,21相互独立相互独立naaa)()()(1)(2121nnapapapaaap )()()()(2121nnapapapaaap 事件的独立性事件的独立性,独独立立与与 ba互斥互斥, ab)()()(bpapbap 独立独立),()()(bpapabp )()(apbap )()()()()(bpapbpapbap )()(1bpap 试验试验 e 的样本空间是的样本空间是snbbb,21组成样本空间组成样本空间s 的一个划分的一个划分.nkbpk, 2 , 1, 0)( nkkkbapbpap1)()()(a任任一一

4、个个事事件件, 0)( ap若若 niiikkkbapbpbapbpabp1)()()()()(5. 全概率公式与贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式xvrd.xvrc.)(xf）（初等函数或分段函数（初等函数或分段函数0)( xf 1)(dxxf, 2 , 1, kxxppkkxp1pkp2p1x2xkx, 2 , 1, 0 kpk1 kkp1. 分布律分布律1. 密度函数密度函数),( x xxxpxf)(2. 分布函数分布函数1)(,0)(*3 ff)(xf分布函数分布函数 的性质的性质:rxxf , 1)(0*1)()0(xfxf )(11afaxpaxp 2* f (x)是是 x 单调不

5、减的函数单调不减的函数;4* f (x)至多有可列个间断点至多有可列个间断点,且在其间断点处右连续且在其间断点处右连续, xdttfxf)()()()(xfxf )()(afbfbxap bxakkpbxap badxxfbxap)(0 cxp xxkkpxf)(f (x)的图形是一条阶梯曲线的图形是一条阶梯曲线, 在在 处有跳跃间断点处有跳跃间断点,跃度为跃度为 ;kpkxx f (x)是连续函数是连续函数,在在 f (x)的连续点处的连续点处,有有3. 求概率求概率, 2 , 1 kpxxpkk dxxxfxe)()()(xf4. 期望期望,方差方差kkkpxxe 1)(kkkpxxe 2

6、2)( dxxfxxe)()(22)()(2xexexd 22)()(xexe 随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望 1)()(kkkpxgxge dxxfxgxge)()()(),(xgy 存存在在)(xge)(xgy )()()1(yxgpyfy )()()2(yfyfyy 5. 随机变量函数的分布随机变量函数的分布(1) y 的所有可能取值的所有可能取值;(2) 取这些值的概率取这些值的概率.结合课本的例子结合课本的例子;6. 几个重要分布几个重要分布分布名称分布名称概率分布概率分布期望期望方差方差分布分布10 xp01pqpqp 110ppq二项分布二项分布),(pnbxnpn

7、pq nkqpckxpknkkn, 2 , 1 , 0 )( xpoisson分布分布, 2 , 1 , 0! kekkxpk 分分布布超超几几何何nnn1121 nnnnnnnn分布名称分布名称概率分布概率分布期望期望方差方差),min(, 2 , 1 , 0nmkccckxpnnknmnkm 222)(21)( xexf正态分布正态分布),(2 nx0, x 2 ),(baux均匀分布均匀分布 其它其它01)(bxaabxf2ba 12)(2ab 分布名称分布名称概率密度函数概率密度函数期望期望方差方差)(ex指数分布121000)(xxexfxnmp nkqpcccckxpknkknnn

8、knmnkm, 1 , 0 np knkknppc )1( ekk!说明及注意的问题说明及注意的问题:1* 几个随机变量之间的关系几个随机变量之间的关系:(1) n 很大很大,n 相对于相对于n 较小较小,(2) n 较大较大, p 很小很小,1)(20 xxxp)()(00abbxap0)(51)(500 xxxx，0)(105 .00)(00 xxxxxxxp)1 , 0()1(nx2* 正态分布查表正态分布查表),()2(2 nx120aaxpabbxap00)1()1 , 0()3(22 xnx),()4(2 nx),(22 abanbax , 2 , 1, jipyyxxpijji)

9、,.(.yxvrd, 2 , 1, 0)1( jipij1)2( ijijpjyyp iijpjp ), 2 , 1( jixxp jijp ip ), 2 , 1( i1. 联合概率分布联合概率分布,边缘分布边缘分布 ),(ayxp ijijpayxji ),(xyixxx211y2yjy11p12pjp121p22pjp2.1 ip2ipijp. 1p 2p ip1 p2 pjp ipjp ),.(.yxvrc, 0),()1( yxf2),(ryx 1),()2(dxdyyxf),(yxf dyyxfxfx),()( dxyxfyfy),()(),(dyxp ddxdyyxf),(),(

10、),(00),(200yxfyxyxfyx (3) 在在 f (x, y)的连续点的连续点(x0, y0)处处 yxyxf, 1),(0)1(),(, 0),(lim),()3( xyxfxfy),(, 0),(lim),( yyxfyfx1),(lim),( yxffyx, 0),(lim),( yxffyx2. 联合分布函数联合分布函数(2) f (x, y) 是是x 和和y 的不减函数；的不减函数；),()0,(),(), 0()4(yxfyxfyxfyxf f (x, y)是每个变量的右连续函数；是每个变量的右连续函数；),(yxf xxyyijijp),.(.yxvrd),.(.yx

11、vrc),(yxf xydsdttsf),(,yyxxp )()(),(yfxfyxfyx 有有,ryx yypxxp 3. 随机变量的独立性随机变量的独立性则称随机变量则称随机变量x 与与y 相互独立相互独立.),.(.yxvrd),.(.yxvrcjiijppp ), 2 , 1,( ji),(2ryx )()(),(yfxfyxfyx 4. 有关正态分布有关正态分布),(211 nx),(222121 nyx),(222 nyx 与与y 相互独立相互独立),(2iiinx xi1 niia).,(2121iniiiniiaan ni, 1 x1, x2, xn相互独立相互独立a1,an不

12、全为零不全为零，),(2 n,11 niixnx记记),(2nnx x2, xn独立同正态分布独立同正态分布5. 随机向量的数字特征随机向量的数字特征(1) 数学期望数学期望dydxyxxfxe ),()(dydxyxyfye ),()( 11)(ijijipxxe 1iiipx dxxfxx)( 11)(ijijjpyye 1jjjpy dyyfyy)(2) 协方差协方差和相关系数和相关系数)()(),cov(yeyxexeyx )()(),cov(ydxdyxxy )(xye )()(yexe )()(xcecxe )()()(yexeyxe ,)(cce )(1111 niiniixen

13、xne)(2211nnxcxcxce , 0)( cd),()(2xdccxd (3) 性质性质)()()(2211nnxecxecxec ),()()(yexexye )()()()(2121nnxexexexxxe ),()()(ydxdyxd )()()()(2121nnxdxdxdxxxd niiniidxnxnd12111x 与与 y 相互独立相互独立,x1, x2, xn相互独立相互独立)()()(ydxdyxd 0),cov( yx)()()(yexexye xy = 0, (x 与与 y )x 与与 y x 与与 y 相互相互 )(yxd)()(ydxd ),cov(2yx (

14、1) 独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理,1nxx独立同分布，独立同分布，,)( kxe), 2 , 1(0)(2 kxdk 6. 中心极限定理中心极限定理有有,rx )(21022xdtetx xnnxpnkkn 1lim bxapnkk1nnb0nna0 xpnpnppnn)1(lim (2) 棣莫佛棣莫佛拉普拉斯定理拉普拉斯定理),(pnbn ),10( p有有,rx )(21022xdtetx bxap npa0)1 (pnpnpb0)1 (pnp 12,nxxx2( ,)xn 的一个样本的一个样本来自总体来自总体 x211( ,)niixxnnn 2(1)n 22221

15、(1)1()niinsxx /xtsn (1)t n /xun (0,1)n相互独立相互独立与与 xs2212,nyyy取自取自22(,)n 取自取自112,nxxx21(,)n 两组样本相互独立两组样本相互独立1212()()11wxytsnn 12 (2)t nn222112212(1)(1)2wnsnssnn 其中其中22212212,nyyy取自取自222(,)n 112,nxxx取自取自211(,)n 两组样本相互独立两组样本相互独立22112222/sfs 12(1,1)f nn 当当 时，时，12 2122sfs 12(1,1)f nn12,nxxx相互独立相互独立,222212

16、( )nxxxn1,2,in (0,1)ixn(0,1)xn2( )yn ( )/xtt ny n 相互独立相互独立,x y22()yn 21()xn 相互独立相互独立,x y12/x nfy n 12(,)f n n称称 是是无偏估计无偏估计. . ( )e 无偏性无偏性：.21有效有效比比称称 ),()(21 dd 如如的无偏估计，的无偏估计，是是 21, 有效性有效性:效的估计量是总体期望的无偏、有x.)(2的无偏估计的无偏估计是总体方差是总体方差xds1. 估计量好坏的标准估计量好坏的标准2. 点估计点估计矩估计法矩估计法niixnx11x),;(.)1(21mxfxvrc 的密度函数

17、的密度函数l nimixf121),;( ),;(.)2(21mxpxxpxvrd 概率分布概率分布l nimixp121),;( 似然函数似然函数极大似然估计极大似然估计 0ln0ln0ln21mlll 对数似然方程组对数似然方程组对数似然函数对数似然函数lln0ln dld21)(0 u3. 区间估计区间估计unxunx,(1) 2 已知已知,的置信水平为的置信水平为的置信区间是的置信区间是(2) 2未知未知,的置信水平为的置信水平为1- -的置信区间的置信区间)1(),1(ntnsxntnsx)1(nttp niixxsn122)()1(asnbsn22)1(,)1(2 的置信水平为的置信水平为1- -的置信区间是的置信区间是,22 bp,212 apnxu0(1) 提出假设提出假设 (2) 选取统计量选取统计量(5) 下结论下结论.否定域否定域(4) 计算统计量计算统计量2 2已知已知, ,关于关于的假设检验的假设检验(3) 给定给定, 临界值临界值00: huu u00: h(1) 提出假设提