固体力学概论综合基础课件

1、 第一章 前言 第二章 基本假设 第三章 本构关系（物理方程） 第四章 基本方程 第五章 能量原理（包括变分原理） 第六章 固体力学中的数值方法第一章第一章 前言前言固体力学的定义固体力学的基本假设与主要研究内容学科分支研究对象与任务发展史参考资料1. 固体力学的定义 研究可变形固体可变形固体在外界因素(载荷、温度、湿度)作用下其内部质点的的学科. 主要参书:力学词典大百科全书 （1）固体力学与理论力学之区别：理论力学研究对象是质点、质点系与刚体刚体。固体力学研究可形变体形变体。 （2）固体与流体的区别：流体流体是气体和流体的总称，具有易流性，不能承受剪应力，在无论多小的剪力作用下都会发生变形

2、。水和空气是常见的两种流体。2. 固体力学的内容:研究弹性弹性问题、塑性、塑性问题、弹塑性、弹塑性问题以及流变流变问题;又分线线性性问题、非线性非线性问题; 主要研究宏观宏观问题、也有微观微观问题和细细观观问题(或称介观问题mesomechanics ); 研究的对象主要是均匀介质,也研究非均匀介质(如复合材料和裂纹体)，各向同性与各向异性介质; 此外研究各种可变形体的偶合问题:例如热(湿)弹性问题、热(湿)塑性问题、热(湿)弹塑性问题、以及形体的机机磁电磁电偶合性能(压电与压磁性能)；现在电电-磁弹性力磁弹性力学学正快速发展.3. 学科分支材料力学、结构力学、弹性力学、塑性力学、流变学，材料

3、力学、结构力学、弹性力学、塑性力学、流变学，断裂力学(损伤力学)、复合材料力学、结构稳定性、振动理论、粘弹(塑)性力学、冲击力学、固体应力波问题、结构(弹塑性)动力学; 以及许多交叉学科许多交叉学科: 气动弹性理论，生物固体力学、岩土力学、有限元(有限条、有限层、边界元、离散元、无网格法等);断裂力学(损伤力学)、复合材料力学、电-磁弹性力学，微尺度力学是发展中的新兴学科新兴学科。4. 研究对象研究各种工程结构：常见的如下结构元件（构件）: （1）杆、杆系、梁、柱，杆、杆系、梁、柱，（长宽和高）（长宽和高）（2）板板(中厚板中厚板)、壳，、壳，（厚长与宽）（厚长与宽）（3）三维体三维体(空间结

4、构如桁架与刚架空间结构如桁架与刚架)，（4）薄壁结构（薄壁结构（飞机机翼与机身等），飞机机翼与机身等），（5）以及它们的复合体复合体.5 研究方法（截面法截面法） 截面法是处理固体力学问题的最基本的方法：截面法是处理固体力学问题的最基本的方法： 通过外力（作用力与约束力）与内力（应力）平衡求构件的响应（内力）， 通过本构关系求变形（位移与应变）， 最重要的是材料力学中的平截面法平截面法，其中尤以梁的平截面假设最为重要。 截面法截面法 截面法截面法:固体力学问题的普适方法,步骤为： （1）取出构件,画出所有外力(包括约束反力); （2）用平面切开,并画出内力(广义力), 若是动平衡需用达朗贝尔原

5、理,化惯性力为作用力；外力与内力平衡来求解内应力;（3）解出内力；算应力; （4）利用物理方程求变形; （ 5） 根据应力强度准则或变形准则进行强度校核; （6）进行优化设计. 外力外力内力内力内力6. 任务固体力学的发展主要动力是社会实践固体力学的发展主要动力是社会实践： 任务是研究工程结构在服役条件下的安全性安全性、可靠可靠性性; 就是强度强度问题(应力值不超过许用值) 、刚度刚度问题(变形不太大)、稳定性稳定性问题、振动振动问题. 工程结构包括: 飞机、火箭、船舶、车辆、桥梁、房屋、水坝、反应堆、坦克等等.7. 发展史固体力学是一门古老的学科,可追溯到17世纪伽利略calileo(156

6、41642)关于梁与水坝的工作,提出速度、加速度的概念.后来库仑(c. a. coulomb), 泊松(r. poisson), 纳维(c-l-m-h. navier), 圣文南(b. de saint-venant ) 哥西(a. l. couchy), 虎克(hooke)（胡克定律）等人作出很大贡献. 伯努利(16541705)平截面假设, 欧勒(l. euler)(17071783)压杆稳定的欧勒载荷; 铁木生柯(timoshenko)专著”strength of materials”, “theory of elasticity”、“theory of elastic stabilit

7、y” 、“theory of plates and shells”与符拉索夫(薄壁杆件). 中国东汉(127200)郑玄提出线性弹性关系; 宋代李诫营造法式；隋代李春（581618）赵州桥。8. 参考资料力学词典力学词典，中国大百科全书出版社，中国大百科全书出版社，1990。中国大百科全书中国大百科全书，力学卷，力学卷，1985，8。 encyclopedia of science and technology, mcgraw-hill, 1982 e. p. popov, introduction to mechanics of solids, prentice hall, inc, 196

8、8 y. c. fung, foundation of solid mechanics, prentice hall, inc, 1965 中国自然科学基金，学科分类目录及学科代码，1994 (从这里可看出现代固体力学的发展方向以及新的学科分类）。9. 专有名词的翻译1.材料力学材料力学：strength of materials, mechanics of materials2.弹性力学弹性力学： theory of elasticity, elasticity, (elastic mechanics 错误错误);3.塑性力学塑性力学：theory of plasticity, plasti

9、city, (plastic mechanics 错误错误);4.介观力学：mesomechanics； 细观力学，可是，在专著micromechanics of defects in solids , t mura，“micromechanics” 可翻译为细观力学细观力学,不翻成微观力学微观力学。5. 宏（微）观力学；macromechanics, micromechanics 这里，英语书籍里“micromechanics”包含介观尺度问题。6. 经典力学经典力学：classic mechanics, （牛顿力学）7 理论力学理论力学：theoretical mechanics.第二章第

10、二章. 基本假设：基本假设：基本假设： 1.连续性假设连续性假设断裂问题与界面问题；2. 均匀性假设均匀性假设复合材料。3. 小变形假设小变形假设大变形（几何非线性问题），4.线弹性假设线弹性假设物理与几何非线性，5. 各向同性假设各向同性假设各向异性，6. 平截面假设平截面假设(对直杆拉伸、压缩与梁弯曲等都适用,尤以梁弯曲的平截面假设意义最重要）。材料力学中关于平截面法的应用材料力学中关于平截面法的应用 以下研究对象都可用平截面法平截面法处理： 拉伸：杆或棒 （拉伸强度问题） 压： 压杆，柱（弹性稳定性问题） 弯曲：梁 （弯曲挠度与应力） 扭，扭转：轴 （剪切变形与强度） 压弯联合作用：梁柱

11、（弯曲与稳定性）； 1 平截面假设平截面假设(在板壳力学中又称直法线假设在板壳力学中又称直法线假设)平截面假设：平截面假设：初始与梁的中性轴垂直的平面,在变形后仍垂直于轴线, 并且在垂直轴线方向上无变形； 下面以梁为例,此假设大大简化了问题. 无穷自由度问题简化为一个自由度问题,只有一个挠度函数是要求的.这样，用弹性力学理论,有15个基本方程,15个基本未知量.根据平截面假设平截面假设大大简化：梁的挠度为 ， 梁的基本方程（控制方程）为：22dxwdeimmax 122dxwdmax)(xwxp 梁的基本方程梁的基本方程 根据平截面平截面（直法线）假设导出梁的挠度方程：22dxwdeimmax

12、 122dxwd2max6bhm)4(222ayhiqbhq23maxmax板壳力学中的直法线假设板壳力学中的直法线假设 初始与板中性面(中面)垂直的(线段）法线,在变形后仍垂直中面； 垂直于中面的正应力远小于平行于中面的应力分量（无法向应变）； 在发生弯曲变形时，板的中面无拉伸变形。为基尔霍夫假定（克希霍夫假定）。)1(12),()2(234422444etdyxpywyxwxwd平截面假设的近似性平截面假设的近似性由悬臂梁问题可知,截面上最大剪应力在中面上,可见最大剪应变在中面上,所以剪切转角在中面上有最大值;而在梁的上下表面剪应力(剪应变）为零.结论很明显,横截面不再是平的（发生翘曲）.

13、当梁的高长比 时，平截面平截面假定不再成立，应该考虑横向剪切。称为timoshenko梁理论，独立未知变量增加一个，截面转角。但是,当梁长/高比很大时,平截面平截面所得结果符合工程要求。timoshenko梁弯曲（非纯弯）时，须考虑剪切效应，此时横截面仍是平面，但不再垂直梁中面，与中面有一夹角 。基本未知量变为两个：7/1/ lh,w梁的横向剪切问题梁的横向剪切问题 剪切剪切问题基本方程:应力应变关系为：仅考虑剪切效应：变形前mn和 pq是直线并且平行，变形后二条线不再是直线，产生弯曲，就是产生截面翘曲；工程上近似(平均意义)为:ggaqsnqqnmppm1111, 三点弯曲梁三点弯曲梁三点弯

14、曲梁三点弯曲梁第二项是剪切产生的挠度，第二项是剪切产生的挠度， 是截面系数，对于矩形截面，是截面系数，对于矩形截面，gapleiplw4483maxs2/3sagpleiplw4483max 梁的横向剪切角梁的横向剪切角梁的横向剪切角如下图所示： 剪切系数 对于矩形等3/2对于圆形截面等于4/3。xzmeanszxzxzg0)(,agpdxdwsxpzs 关于截面形状系数的讨论关于截面形状系数的讨论剪切截面系数（又称截面形状系数）有如下几种数值：剪切截面系数（又称截面形状系数）有如下几种数值： 相当于用中性轴处的最大剪切应变代表梁轴由于横向剪切产生的倾角，是很粗燥的，它比平均剪应变大50%。用

15、能量原理（单位载荷法）推导了较精确的近似值， 弹性力学的精确公式为： 当泊松比 时，弹性力学精确解比简单平均法所得结果大18%。meanmeansmeanszxzmaxmax0)(23s2 . 156s)1(101112s3 . 018.1s2 弹性杆的拉伸弹性杆的拉伸 单向拉伸(或压缩):假设在拉伸变形时杆的截面保持平面，并且拉伸变形均匀；这个假定被试验证明，非常接近真实；注意：杆受压缩有稳定性问题。 基本方程: 拉伸弹性刚度系数为:apeapl,laepkpl3 等截面杆扭转等截面杆扭转以圆截面杆为例:圆截面杆在扭矩作用下各个截面保持平面并且变形均匀； 基本方程: 应力应变关系: 扭转刚度

16、系数为: gjtl g llgjk t第三章第三章 本构方程本构方程 1 线性应力应变关系（线弹性） 胡克定律：单向拉伸，如弹簧等 广义胡克定律：复杂应力状态 2 非线性应力应变关系：塑性材料 3 现代塑性本构关系：含“内变量”并与热相关 4 粘弹性本构关系（流变学）：材料机械性能与时间相关单轴拉伸试验曲线单轴拉伸试验曲线（同样可作扭转与剪切试验）应力张量和应变张量应力张量和应变张量应力张量：应力张量：任意质点的应力有6个独立分量，形成二阶张量应变张量：应变张量：任意质点的应变有6个独立分量，形成二阶张量jiijij,333231232221131211jiijij,3332312322211

17、31211 弹性本构关系：线弹性应力弹性本构关系：线弹性应力应变关系应变关系胡克定律：胡克定律：线弹性应力应变关系，应力与应变成正比，比例常数为弹性常数（杨氏模量）广义胡克定律 可改写为 其中 36个常数中只有21个独立。这是指最一般的各向异性材料，对于各类特殊情况，独立材料常数不同。klijklijc 3,2,1,ji， ijklc mnc 6.1,nme 2 三维各向同性材料物理方程：三维各向同性材料物理方程： 以应变表示应力以应变表示应力： 是体积应变。 以应力表示应变以应力表示应变： ijijij 2， ii332211ijijijee031310i 球应力张量。0ijijs应力偏量。

18、 拉梅常数拉梅常数 拉梅常数 分别是弹性模量，泊松比与剪切模量。)21)(1 (e)1(2e， ,e3 非各向同性非各向同性 单斜体单斜体 材料有一个对称面， 只有13个独立常数； 正交异性体正交异性体 有2个相互垂直的对称面， 9个独立常数； 横观各向同性体横观各向同性体 垂直某一方向的各个平面都是各向同性面；只有5个独立常数； 各向同性体各向同性体 两个常数， ；或者 ； 或者 后者又称拉梅系数。 平面正交异性体平面正交异性体 例如单向纤维复合材料薄板， 4个独立常数 ,e k, 塑性力学塑性力学基本实验基本实验 应力应变关系非线性塑性应变非恢复性，有残余应变应力与应变非一一对应，与加载历

19、史有关塑性变形功产生热；本构关系相当复杂。塑性应力塑性应力应变关系非线性的简化应变关系非线性的简化 理想弹塑性； 弹性线性硬化模型； 理想刚塑性；刚性线性硬化模型； 密律硬化模型nyy)(n=0n=1n=0.3y0%2 . 02 . 0y2312213322212)()()(y1.屈服准则：屈服准则：单向拉伸单向拉伸： 残余应变大于 的应力为 复杂应力状态复杂应力状态特雷斯卡（tresca）条件：在 平面上是正六边形。米赛斯（misses）条件：在 平面上是圆。应力强度应力强度应力强度应力强度（又称等效应力）（又称等效应力）：已知应力不变量的第二步变量为： ijijssj212)()()(21

20、1332332222211612j2/20232fwj 是八面体剪应力 0 形状改变应变能。 fw应力强度应力强度为：2132322210)()()(2123t应变强度应变强度 用主应变表示用主应变表示： 应变强度又称有效应变。有效应变。 罗德参数：罗德参数： 应力的罗德参数：应力的罗德参数： 应变罗德参数：应变罗德参数：213232221)()()(321)(231321)(231323. 塑性全量理论塑性全量理论塑性形变（或塑性变形）理论塑性形变（或塑性变形）理论 在简单加载（比例加载）简单加载（比例加载）条件下，对塑性变形的简化; 应力强度与应变强度一一对应，若无卸载，与非线性弹性相同。

21、 hencky relation: 对于比例加载，塑性形变理论与流动理论结果相同。ijijijsijejeegs323222ijijijsk 塑性增量理论塑性增量理论流动理论流动理论 流动理论（又称增量理论）：流动理论（又称增量理论）： 当弹性应变比塑性应变很小时， 加载比与塑性功成比例。 ijijeijpijijsdgdsdedede2 ijpijsdde d 流变学（粘弹性力学）流变学（粘弹性力学）定义定义：研究材料在外载、温度、湿度等环境条件下与时间有关的变形变形和流动流动行为的规律的力学分支；粘弹性介质具有固体与流体的双重性质。研究内容：蠕变蠕变：材料在恒应力作用下变形随时间增大的过程

22、称为蠕变，是由分子或原子重新排列引起的。蠕变过程中材料的柔度（模量的倒数）逐渐增大。以应力为输入量而求应变响应者为蠕变。蠕变。松弛松弛：材料在固定变形下应力随时间减小的过程称为松弛。材料的模量（松弛模量）逐渐减小。 以应变为输入量而求应力响应者为松弛。松弛。1 流变体的几种理想介质：流变体的几种理想介质：（1）虎克固体：（2）粘性元件（粘壶）, 又称牛顿流体或阻尼器： 或 是粘性系数，单位是应力乘时间。（3）理想塑性体（圣文南体）：当 pf 时 当pf时，u 位移取决于其它条件。 /2xyxyxydtdxyxyxy 0u2 马克斯威尔体马克斯威尔体弹簧与粘壶串联，控制方程： 特性：若应力是阶跃

23、函数应变在 t=0 时，应变发生突变；当 时， 表现为流动性质。若应变保持常数，应力趋于零， 为松弛时间。 e)(0th， tep/1 3 开尔文体开尔文体（kelvin）或voigt solid: 将粘壶与弹簧并联；控制方程： 性能：施加 应变输出： 当 时， 其中， 是渐近弹性模量。突出缺点： 当 时， e )(0th)1()(/0teett e0 0e0t0e。e 4 标准固体（标准固体（standard solid）:将弹簧与开尔文体串联，构成标准线性固体， 由于当 时， 所以，它最终具有固体性质。（7）四元件模型四元件模型（四参量模型）：将开尔文体与马克斯威尔体串联，构成四参量模型。

24、最终具有流体特性。（8）广义马克斯威尔体广义马克斯威尔体, 将多个马克斯威尔体并联构成，最终具有流体特性。（9）广义固体模型广义固体模型：将开尔文体串联构成，最终具有固体特性。 t ee5 微分型本构关系微分型本构关系 更普遍的线性粘弹性模型： 以标准固体以标准固体（standard solid）模型为例:将弹簧与开尔文体串联，构成标准线性固体，本构方程的标准形式：101qqpqp， mnkkkkkkdtdqqdtdpp00mkdtdpp0nkkdtdqq0 6 三维本构关系三维本构关系三维本构关系： 分体量与偏量： 是微分算子，例如，有时，可假设体积应变的蠕变分量可忽略可假设体积应变的蠕变分

25、量可忽略。00qpqspijij qqpp , nkkkkkdtdpdpp07 遗传积分（蠕变型）遗传积分（蠕变型）又称记忆积分或卷积积分：叠加原理，boltzmann superposition principle： 在 作用下，应变服从叠加原理：当一系列应力增量 连续作用时，产生的应变 等于： 是蠕变柔量。 )()(0thth)()(0tjtj)(ttdddtjtjt00)()()()(tj 8 松弛型遗传积分松弛型遗传积分 当一系列应变增量 连续作用时，产生的应力 等于 ： 是松弛模量。 修正的叠加原理： 其中 是应变的非线性函数。)(ttdddtgtgt00)()()()(tgtddd

26、ftgtgt00)()()()()(f 9 拉普拉斯变换拉普拉斯变换：laplace transformation拉普拉斯变换拉普拉斯变换对求解线性粘弹性问题至关重要，通过下式将时域问题变换为s 域内问题： 很多教科书上有变换表。 其逆变换式为： 0)()(sfdttfest, ipipstdssfeitf)(21)( 10 对应原理对应原理 对上式进行拉氏变换得： 于是得到拉氏变换域内的“线弹性”问题。还可以在拉氏变换域内进行有限元计算。 但是，逆变换相当复杂，这里学问很深。)()()()()()()(00ssqspssqssspijij 11 复模量复模量 当材料或结构受简谐变化应力作用时

27、 ,即 输入 ，代入本构方程： tiet0)( kkkkkkdttdqdttdp)()(ntikktimkkeiqeip0000)()()(00j)(j)(1)(jg是复数柔量。是松弛模量。第四章第四章 基本方程基本方程 弹性力学有弹性力学有15个基本方程个基本方程： 3个平衡方程； 6个协调方程； 6个本构方程； 15个基本未知量个基本未知量： 3个位移分量； 6个应力分量； 6个应变分量；* 加适当边界条件。1.平衡或运动方程平衡或运动方程 平衡方程展开一个方程: 运动方程: 指标重复服从加法约定3 , 2 , 1,ji0,ijijf, 22,tufijij, xxzxyxfzyx02 几

28、何方程几何方程(应力应力位移关系位移关系)对于小应变情况对于小应变情况， 这是哥西应变式，共有六个应变，六个方程。 对于大变形对于大变形（计入非线性项）：分拉格朗日与欧拉表示：拉格朗日应变：欧拉应变：)(,21ijjiijuu)3,2,1,(ji, ， )(21jkikjiijxuxuxuxue)(21jkikjiijxuxuxuxue 3 变形协调方程变形协调方程： （i, j 交换）共有六个方程: 以下只写出两个有代表性的式子：ikjljlikijklklij,)(312231123132112xxxxxx2222221112211222xxxx4 弹性本构关系弹性本构关系（1）. 弹性应

29、力弹性应力应变关系应变关系：广义胡克定律 可改写为 其中 36个常数中只有21个独立。这是指最一般的各向异性材料，对于各类特殊情况，独立材料常数不同。 klijklijc 3,2,1,ji， ijklc mnc 6.1,nm5 边界条件：边界条件： （1）位移边界条件）位移边界条件：在给定位移的边界 上， (a) 又称第一类边界条件，代号 。 is),(321xxxgui3,2,1i， 1b（2） 应力边界条件应力边界条件：在给定外力的边界在给定外力的边界（ ）上：上： （b) 是外法线方向余弦。第二类边界条件 ， 代号 。 sijjit3 , 2 , 1,jijs2b（3） 混合边界条件混合

30、边界条件混合边界条件混合边界条件: 在（在（ ），为（），为（a）；在（）；在（ ）（）（b）. 此外，还有弹性边界条件和移动（滑动）边界条件； 动边界条件（例如弹性支持条件，接触，摩擦边界条件），问题比较复杂。uss 弹性力学问题的解法（位移法和应力法）弹性力学问题的解法（位移法和应力法）.位移方法：拉梅（位移方法：拉梅（lame, g.）方程，）方程，即用位移表示平衡方程,以下是三种不同表示方法：需将应力边界条件改写为位移.0)(2,iiifu0)(2fuugraddiv 0)(2112fuu 应力解法应力解法用应力表示的协调方程，用应力表示的协调方程，即 拜尔脱拉密（beltrami,

31、e.）密乞尔(michell, j. h.)方程：用应力表示协调方程。当然，位移边界条件也需要用应力表示。 02)(111113322112112112xfxfxfxfxi 3211i 0)(1123323212232xfxfxxi弹性力学一般定理弹性力学一般定理（1）. 应变能定理应变能定理克拉贝龙定理克拉贝龙定理,即功能互等定理: 又俗称为 “功能互等定理” 注意与 ”功的互易（reciprocal）定理” 相区别。 弹性体内的应变能等于变形过程中外力所做之功应变能等于变形过程中外力所做之功；(证明从略)注意：与虚功原理相对照（外力虚功等于内里虚功）。（2） 唯一性定理唯一性定理克希霍夫定

32、理或纽曼定理克希霍夫定理或纽曼定理 证明证明： 两组解 它们满足平衡方程: 边界条件: ,ijijiu , , , ,ijijiu0,ijijf0, ,ijijfjijit.,jijit., , )(,iiixgu )(, ,iiixgu 证明证明(2)： 构造新的解 （1）-（2），）， （3）-（4），（），（5）-（6）得到）得到, ,iiiuuu, ,ijijij, ,ijijij， 证明证明(3) 上式的解肯定为0。 所以证明，两组解相等。 *注释：若全边界均为应力条件，则位移解可能差一刚体位移。结论：对于线弹性材料（结构），只要给出一组满足平衡方程，协调方程，与边界条件的解，那么它

33、就是真解（与弹性常数无关）。所以，弹性力学就有试凑法试凑法。, 0,jij,0.jij.0iu（3 ） 圣文南原理圣文南原理 物体在上受一平衡力系作用时，在离较远的区域应力可以忽略。 时, 是外力作用区的最大线尺寸与我们关注的质点和力作用点的距离。31lls 0ijlls,（4） 功的互易功的互易(等等)定理定理又称位移互等定理位移互等定理（reciprocal theory of displacement）：设两组力（体力与面力）作用在同一物体上，第一组力对第二组力产生的位移所做之功，等于第二组力对第一组力产生的位移所做之功； =dsutdvufiiii, , ,dsutdvufiiii,

34、, ,第五章第五章 能量原理能量原理 能量原理是宇宙间普适的,从热力学第一定律,理论力学的能量(机械能)守恒定律,与虚位移(虚功)原理,材料力学的卡氏定理,弹性力学的变分原理，以及各种近似数值方法. 例如,求第二宇宙速度时，飞船离开火箭时的速度（动能）应能克服地球对它的引力势。动能 引力势由此得到：rgv2221mvt rmmgae)(2mgrgmme（1）虚位移原理）虚位移原理（理论力学） 物体(或质点与质点系)在 n个外力(包括约束力 )作用下而平衡, 则外力所作之虚功之和为零. 对于理想约束 则外加作用力所作功为零.iriirfw0iirr弹性力学的能量原理弹性力学的能量原理1 . 虚功

35、原理虚功原理（包括虚位移原理与虚力原理）（包括虚位移原理与虚力原理） 虚位移虚位移：所有几何约束允许的位移(满足协调条件和位移边界条件）即为虚位移，写为 。 虚位移又称为“可能位移”。 弹性体在平衡状态下，外力、内力在微小虚位移下做的功（称为虚功）之和等于零。321,uuu2. 虚位移原理虚位移原理 弹性体在平衡状态下，外力对虚位移所做的功（称为虚功）等于虚位移所引起的弹性体应变能的增量。dsutdvufaiiii jijit dvuxdvufajiijiijij)()(, 虚位移原理（续虚位移原理（续1） 上式第一项为零，第二项等于 这是内力虚功，即内力（应力）对虚位移产生的虚应变所做的功（

36、或为应力对虚应变所作的虚功）。 结论：内力虚功等于外力虚功udvijij虚功原理虚功原理(续续2) 根据专著（胡): 虚功原理的数学表达式为：虚功原理的数学表达式为： 此式中，此式中， 和和 是变形可能位移与应变，是变形可能位移与应变， 是静力可能应力。是静力可能应力。* 是可能面力。是可能面力。 这个原理包括这个原理包括虚功原理虚功原理与与虚余功原理虚余功原理两个原理两个原理dudbpudftttup虚功原理虚功原理(续续3) 包括虚位移原理与虚内力（应力）原理：包括虚位移原理与虚内力（应力）原理：按大百科全书的词条：按大百科全书的词条：ddbupdufkijsijkisiii. iiuf

37、,kisiup ,kijsij,式中 是体力和位移；是面上可能面力和可能位移， 分别是可能应力分量和可能应变分量。此原理可包括分别是可能应力分量和可能应变分量。此原理可包括（1）虚位移原理和（）虚位移原理和（2）虚内力（应力）原理。）虚内力（应力）原理。 3. 最小势能原理最小势能原理以位移为基本未知量的变分原理。总势能等于 : 分别为真实位移与虚位移。au 2)()(biiiiijidbupdufduu)()(kiiuukiiuu ,最小势能原理（续）最小势能原理（续）定义：定义：平衡时，所有可允许位移（可能位移）中，真实位移使总势能取极小值：可能位移是满足协调方程与位移边界条件的位移。可能

38、位移是满足协调方程与位移边界条件的位移。意义意义：因为位移满足了连续性条件和位移边界条件，由最小势能原理可导出平衡方程和应力边界条件平衡方程和应力边界条件。 由此导出有限元有限元基本方程04 最小最小余能原理 以应力为未知量的变分原理应力为未知量的变分原理。真实应力所具有的余能恒小于其他可能应力相应的余能。 所有可能应力（满足平衡方程与静力边界条件的应力）函数中，真实应力场取总余能为最小。1)()(biiijijdbupduu)()(sijijuu， 最小余能原理（续）最小余能原理（续） 它代表应变协调方程和位移边界条件。虚余功： 虚余能： 总余能：最小余能原理： wdvdvdstuaijij

39、iicdvuijijc cccau)()(sijijuu5 广义变分原理广义变分原理是以上两个原理的推广；弹性力学的解必须满足广义势能变分为零的条件，（又称驻值条件），即： 为边界指定面力和位移 。此变分原理具有三类变量：位移，应力与应变三类变量：位移，应力与应变。 03 dxuxudufuijijjiijiiij)()(21312)(bbiiiiidbupdbpuuiiup ,6 瑞斯纳变分原理瑞斯纳变分原理 瑞斯纳变分原理（reissner） 其中 是应变余能，两类独立变函数两类独立变函数 共共9个个 。有限元法的杂交元杂交元由此导出.02)()(212ijijijjiuxuxuiiju,

40、u12)()(bbiiidbupdbuua 材料力学中的能量法（一）材料力学中的能量法（一） 卡氏第一定理卡氏第一定理：若弹性体受数个已知广义力 作用，在他们的作用点产生沿各广义力方向上的位移： 则由广义位移表示的应变能 u 对某个广义位移 的偏导数等于与 相应的广义力 ， 数学表达式为：此定理英文名称：castiglianos first theorem.nppp,.,21n,.,21,iipu),.,2 , 1 (ni iiip材料力学中的能量法（二）材料力学中的能量法（二） 克罗蒂克罗蒂恩盖塞定理恩盖塞定理（crottiengessers theorem):若弹性体作用有n个广义力 ，

41、产生n个广义位移 ，它们方向与相应的广义力相同；则由广义力表示的应变能对广义力的偏导数，等于相应的广义位移，表达式为：此定理又称卡氏第二定理卡氏第二定理。nppp,.,21n,.,21iipu),.2 , 1(ni b 弹性稳定理论中的能量法弹性稳定理论中的能量法)2cos1 (lxy)(ypmeilpdxeimul422202lpdxdxdyppwl16)(220221224leipcrc 振动问题的能量法振动问题的能量法瑞利商瑞利商：根据瑞利原理，保守系统的机械振动的自振频率的近似值，由下式泛函的驻值决定。 是动能 ； 是势能例如，弦振动，设振形函数为当 n=2时， 相对误差为 0.007

42、 精确解为精确解为： maxmaxtvr maxtmaxv)()(,0)2(1)(,0 xyxyxlxxyxnmtlf210mtlf21d 结构力学的能量法结构力学的能量法1 力法力法（force method）：以广义力为未知量求解静不定结构的方法称为力法。基本概念基本概念是，将多余约束去掉，代之以广义力(多余广义力），为保证解除多余约束的结构变形与内力（应力）与原结构相同，必须满足连续性条件，即变形协调条件。n 度静不定系统就有度静不定系统就有n 个连续性条件个连续性条件,正好弥补了平衡方程数的不足。将n 个连续性条件与平衡方程联立，就能解出所有未知广义力。2 单位载荷法单位载荷法：根据虚

43、功原理导出的求结构位移的方法。求给定结构某点的位移时，在该点施加单位载荷：单位广义力。单位载荷方向与所求位移方向相同。于是， 是单位载荷引起的轴力，剪力与弯矩； 是真实载荷引起的轴力，剪力与弯矩, 为所求位移。 1jpdseimmdsgaqkqdseannji1， mqn,mqn, ji 3 位移法位移法：（displacement method）:以广义位移为基本未知量求解结构力学问题的方法，又称刚度法与矩阵位移法。包括转角位移法；又称“力矩分配法力矩分配法”；“变形分配法变形分配法”。首先列出所有广义位移（其数目等于自由度数），并将这些广义位移施加约束，构成基本体系。再解除对某广义位移 s 的约束，