固体物理1-7讲习题参考答案

1、第三讲3 1证明：体心立方晶格的倒格子是而心立方，面心立方的倒格子是体心立方。 证：体心立方基矢取为為专(-亍+7+斤)&3 专C_ j + F)其中a为晶格常数 实倒格子基矢.按定义-11 b =_(/+y)=_(/+y)r2开一、 In tT=_(a3xrt3)=_._a1£ = (3 X %) = (j + F)-2/rh -3=(«1 x2)= -0 +可见，体心立方的倒格子是晶格常数为匕弋的而心立方。 同理可证，面心&方的倒格子是晶格常数为夢的体心芒方。3 2.证明：倒格子原胞的体积为(2刃3/q，其中Q为正格子原胞的体积 证：正格子原胞体积Q=a

2、1(a2x53) 一 一 一一 i兀倒格子原胞体积Q = g ©X bs) = g 血x 一 x利用矢帚:公式 Ax(BxC) = (A C) B-(A B) C并利用件质J. - aJ = Ind.j,可得3.3倒格子矢量为Kh = hb + /122 + /»3证明布里渊区边界方程为:2k Kh -i|3 = 0证：布里渊区边界垂直且平分倒格欠斤方，故该边界而上任 欠届满足(k-Kh)Kh=Q一一 1 _ 2即边界方程为 2k-Kh-Kh =0234. UHj图作出二维正方格子和二维简单六方品格的前三个布里渊区。 解：正方格子的倒格子仍是正方格子，六角格子的倒格子仍是六

3、角格子。酋先根据正格子原胞廣欠计算倒格子原胞卑欠5 根据倒格了原胞垄欠画出倒格子点阵, 然后画出前三个布里渊区。TTT/inI n /mym正方格子的布里渊区六角格子的布里渊区3 5写出体心立方第 布里渊区图上点fHN.P.'ZJF的倒格子空间坐标。布里渊区中心用表示，表示100轴，人表示111轴，工表示110轴。 厂（0 0 0）H（。严A(o-o)4N（丄丄0）2(冷0)4 48 81 1 1 s1 1 1p()A(4 4 48 8 81 3 1F( )8 8b第网讲4.1 倒格子矢鼠为Kh =+ h2 b2 + /?3 3»证明布里渊区边界方程为：2k -Kh Kh =

4、 0 证明此方程就是波在晶体中(加力M3)品面族上发生全反射的布喇格方程。证：布里渊区边界垂直且平分倒格欠斤方，故该边界而上任一欠起满足很弓心)心=0- 1-2即边界方程为 2kKh-Kh =0取乳方向最短的倒格矢为斤Kh = nK0将而间距公式(1 = 里代入边界方程，仃心、2兀2九”,2cos (p = 02d其屮，0为斤与斤/,的夹角。取其余角，0=兰-0,上式化为22d sin 0 - nA 即 Bragg 公式。42 讨论KC1晶体的几何结构因子及消光条件。提示K 和CT有相同的电子壳层结构和相 同的匪子形状因子。解：K”，C1 电子壳层结构相同，具有相同的原子形状因子，= fcr

5、= f单胞屮4个K”，4个C各自排为面心结构,设其坐标分别为K： (0,0,0) (1 |,0) (|,0,|) (0,| 1)ci： (；,0,0)+KzS-儿何结构因子耳仇=£门严"=/(1 + f )1+严"林)+严("也+严(E)消光时，IHKL |你K J = °。条件：(1) H为奇数或G1) H + K,H + L,K +乙中有两奇一偶,即衍射面指数中H,K,厶不能为全奇或全 偶。因此,只需H,K,L中存在一个奇数,即会消光。注:由 5 = fcr，故对X射线衍射而言也可将晶体视为简贰立方结构但此时晶格常数减小一倍，相W倒格子基欠

6、扩大一倍。因此，简单立方中(H K' L)所 表示的晶而，如(111),在原系统屮为(H K厶)= (2H'2K'2G，即(222)。尽管对简 单立方而言，不存在消光，H，IC U可任取正整数值，但H,K,厶却只能取偶数，这F前面的结果一致。43.证明对工方晶系进行X射线粉末衍射照相时，如果衍射面指数为(HKL),出现的衍 射线GnH'+K+Z?的值如卜：简单立方：1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 12,.体心立方：2, 4, 6, 8, 10, 12,.面心立方：3,4,8, 11,12,.金刚石：3, & 11,.解：(

7、1)简单立方不存在消光，H,K,厶可任取非负藥数(但不同时为0)(HKL)(001)(011)(111)(002)(012)(112)(222)(003)(122)(0(113)g=h2+k-+i?193456891011(2)体心立方几何结构因子Fhkl = /1 +旷心+E)衍射条件H+K+L=偶数，由于此限制，在简单立方的列表中去除了 6=1,3,5,9&8CC = 2,4,6,8 (3) 面心立方儿何结构因子FHKl = /1 +严曲)+严”(+<) + £"“+)根据上-道题的讨论，衍射条件耍求H、K,L奇偶性相同故列表中只取 Gfcc = 3,4,

8、8,11(4) 金刚石儿何结构因子Fhkl = /1 +面心立方因子即除H、K、L益偶性相同外，还须耍求(H+K+L)/?不能为奇数，由此1) H,K,L全为奇数或11) H,K,L全为偶数,II三者之和是4的整数倍4.4原子氢的形状因子。对J：基态的轼原子，（电子）数目密度是/（/*）=（才強尸exp（-2/7）此处如是玻尔半径。证明形状因子是几=16/（4+K淘尸nl00提示：利用积分公式Jxnedx =0(1)由题意知(/)=(才CH exp(-2r/n0)代入(1)式，得=/ r exp(-2r/aQ)寺expQK”)/I8-exp(-/X/tr)Jr2 0000Ti r exp(/X

9、Ar -2rlaylr-r exp(-/XZ/r - 2r / a0)dr K属oo利用积分公式J xnedx =oa得fKk =iKh尸-(-+ 记尸叫 %«016 (4+ K詁訝第五讲5 1由J：晶体周期性的限制，证明晶体旋转对称轴的转角只能是2 n /n ;n=l, 2, 3, 4, 6 ,五种。证：设想冇一个对称轴j-平而，平而内晶面的格点可以用/+/2來描述 绕通过A的转轴的任意对称操作，转过角度0B点转到B，点（B，点必有一个格点）A和B两点等价以通过B点的轴顺时针转过0A点转到A，点（A，点必有一个格点）且有（n为粧数）B'A'= AB（l-2 cos

10、6）l-2cos&= ncos。： -1 +1n =-1,04,2,3&-0",60",90',120。,180°因此晶体的宏观对称操作只能是旋转以上五种角度，其转轴分别称为1, 6, 4, 3, 2 啦旋转対称轴。昌 00、111证明六角晶体的介电常数张届为00、o o S,XX证1:六角晶体，设介电常数为 S取坐标架如图示选电场方向在X轴方向，有D、=绕x轴旋转晶体180。，电场不变*、工、D、=-D、=%3J"丿一*4因为绕x轴转180度为对称操作，应右0 = 0=> 匕=0同理，选电场方向在y轴、z轴，绕轴转180度

11、为晶体的对称操作，町推出非对角项 为0另，可选电场在图示方向,y . Ee.200、代入00,有D、00012丿1产'I 2绕电场方向为轴转180度,电场不变0-D +D1 y 1 z 週D、亠I 2 2 丿XD.yD, z 7该操作也为八角晶体的对称操作，根据必仃£悴=&J?S因此.介电常数张帚可写为0 0、0去 0k°0勺证2：设转动操作的变换矩阵为7；在该操作卜二阶张鼠的变换为©二丁刃“杆该操作为对称操作，应满足£=£fl 0取对称操作为绕X轴转180度，T= 0 -1 ,0 0亿 0 =0 c>y<°

12、;冬r-l再取对称操作为绕），轴转180度，T= 0乙0 =0 心.1° 01 0最后，取绕Z轴转120度，T= 0 cos60°00 代入上式，有0、0 0、1 0代入上式，有0 -1；0、00 、-sin60° ,可得 %cos60° .0 sin 60°第六讲2 2.讨论使离子电荷加倍所引起的对NaCl晶格常数及结介能得影响。（排斥势看作不变） 解：NaCl为离子晶体，系统内能可写为ri 屮 A72 B、（-+孑）平衡位宣由（譽）=0确定，有2 2%8产,0°° 当q»q. <=4?o 内为品格常数故晶

13、格常数満足相同的变化规律结介能VT = ； = 4荷23.若一晶体的相互作用能可以表示为a试求（1）平衡间距6（2）结介能W （单个原子的）<3）体弹性模最（4）若 nt=2ji=O/o=3A,VV=4eV,求aQ值。解：（1）由平衡条件（譽）ma厂加+1咯=0,得平衡间距1（2）将理解为晶体屮所有其他原子对某一个原子的相互作用 则系统总的内能为対所有原子求和U,o,al（r） = NU（r）每个原子的结介能W = -U/N = (1-)2 2忙 ft（3）晶体总体积为V = cNr K中N为原子数，f是与晶格结构细节仔关的常数体弹性模鼠ni(m + l)a118%"(&quo

14、t; + 1)0rQma(n - ni)=18c 严(4) 将数据代入结论(2),得a = 90 eV-A /? = 1.18xlO5 eV-A102.4经过sp3杂化后形成的共价键，其方向沿立方体的四条对角线，求共价键2间的夹角。 解：共价键之间的夹角与立方体的对角线之间的交角相同。z/厂/k/xXXrya.bx联结位J 廉点的格点利位体心的格点，立方体边长以a表示-a 一 -a = _(x+y_z)c 斗(x_y+z) d| = |5| = |c = y/ia / 2四面体键之间的夹角叽九Ac知8S比=肃二扌G+ d方。-勺+力=|_ = - (-a + y + z)-(x - y + z

15、) = - i be 33C b.C所以,厂严色"09。28,6 1用中性组介法求二级近似卜的马徳隆常数。解：马徳隆常数0=工竽(mn2n3)(001)(Oil)(111)(002)(012)(112)(022)(122)(222)离子数m61286242412248电荷因子z+-+-+-+-边界冈子71111/21/21/21/41/41/8距离d13>/12代入上表中的数值,可得0 = 1.752第七讲71证明惰件气体晶体中原子间的范徳瓦尔斯一伦敦相互作用吸引势和原子间 距离成反比。UE：相距为r的两个惰性气体原子,原子中电子是球对称分布 考世偶极矩作用设原子1的瞬时电偶极

16、矩尺，在r处产生的电场EP/F原子2在电场的作用卜感应偶极矩P2=a E （a原子的极化率） 两个电偶极了 Z间的相互作用能AE-PR/FfPi卅2 6.用Lennard-Jones势计算Ne在体心立方和|侨心龙方结构中的结合能Z比。 解：Leimard-Jones 势为(/弓 N(4%、61其中N为晶体中的总原子数。由¥衡条件dUdr0,可得1结介能©二-“馆厂一皿仏）-2 %代入书屮给出的数据Z0.0031W ,<7=2.744 ,免心=12.13 ,人心=14.45 , Afw =9.11,4/心=12.25 ,得结合能之比= 0.95727对J：H“从气体的测最得到的林纳德一琼斯势参数为£=50 XlO erg,。=2.96A，计算结合成面心立方固体分了氢时的结介能（以仟焦耳每摩尔为单 位），每个氢分子可以当做球形來处理。结介能的实於伉为0. 751kJ/mol, 试与计算值比较。解：以H2为基团,组成fee结构的晶体,如略去动能,分子间按Lennard-Jones势相互作 用，则晶体的总相互作用能为："）=£ N（4% （即-人（与2rr其中,Ai：=12. 13, £=14.45, e=50X10"%rg> o =2.96A> N=6. 022X10n/mol 平衡时(彎少