【人教A版】数学必修三课时训练课时提升作业(十四) 2.2.2

1、人教版高中数学必修精品教学资料课时提升作业(十四)用样本的数字特征估计总体的数字特征一、选择题(每小题3分,共18分)1.(2014·陕西高考)某公司10位员工的月工资(单位:元)为x1,x2,x10,其均值和方差分别为x和s2,若从下月起每位员工的月工资增加100元,则这10位员工下月工资的均值和方差分别为()a.x,s2+1002b.x+100,s2+1002c.x,s2d.x+100,s2【解题指南】根据样本数据均值和方差的计算公式代入求解即可.【解析】选d.样本数据x1,x2,x10的均值x=110(x1+x2+x10),方差s2=110(x1-x)2+(x2-x)2+(x1

2、0-x)2新数据x1+100,x2+100,x10+100的均值,x'=110(x1+100+x2+100+x10+100)=110(x1+x2+x10)+100=x+100,新数据x1+100,x2+100,x10+100的方差,s'2=110(x1+100-x-100)2+(x2+100-x-100)2+(x10+100-x-100)2=110(x1-x)2+(x2-x)2+(x10-x)2=s2.2.甲、乙两名中学生在一年里各学科成绩的平均分相等,方差不相等,正确评价他们的学习情况是()a.因为他们的平均分相等,所以学习水平一样b.成绩虽然一样,方差较大的,说明潜力大,学

3、习态度扎实c.表面上看这两个学生平均成绩一样,但方差小的学习成绩稳定d.平均分相等、方差不等,说明学习水平不一样,方差较小的同学,学习成绩不稳定,成绩忽高忽低【解析】选c.根据方差的意义,方差小的,成绩越稳定.3.(2014·大连高一检测)在某次测量中得到的a样本数据如下:82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若b样本数据恰好是a样本数据都加2后所得数据,则a,b两样本的下列数字特征对应相同的是()a.众数b.平均数c.中位数d.标准差【解析】选d.样本数据都加2后所得数据的波动性并没有发生改变,所以标准差不变,故选d.4.(2013·绵阳高一检测)一

4、个样本a,3,5,7的平均数是b,且a,b是方程x2-5x+4=0的两根,则这个样本的方差是()a.3b.4c.5d.6【解题指南】利用根与系数之间的关系及已知条件解出a,b的值,再代入方差公式求值.【解析】选c.解方程x2-5x+4=0的两根为1和4,经验证知a=1,b=4,代入方差公式知,方差为5.5.(2014·兰州高一检测)下表是利群超市5月份一周的利润情况记录:日期12日13日14日15日16日17日18日当日利润(万元)0.200.170.230.210.230.180.25根据上表估计利群超市今年5月份的总利润是()a.6.51万元b.6.4万元c.1.47万元d.5.

5、88万元【解析】选a.从表中一周的利润可得一天的平均利润为x=0.20+0.17+0.23+0.21+0.23+0.18+0.257=0.21.又5月份共有31天,所以5月份的总利润是0.21×31=6.51(万元).6.(2013·山东高考)将某选手的9个得分去掉1个最高分,去掉1个最低分,7个剩余分数的平均分为91,现场作的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊,无法辨认,在图中以x表示:则7个剩余分数的方差为()a.1169b.367c.36d.677【解题指南】先将数据写出,去掉最高分和最低分,根据平均数求出x的值,利用方差公式求7个剩余分数的方差.【解析】选b.这组数

6、据为87,87,94,90,91,90,90+x,99,91,最高分为99,最低分为87,剩余数据为87,94,90,91,90,90+x,91.87+94+90+91+90+90+x+917=91,所以x=4.方差为(87-91)2+(94-91)2+(90-91)2+(91-91)2+(90-91)2+(94-91)2+(91-91)27=367.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2014·杭州高一检测)为了分析某篮球运动员在比赛中发挥的稳定程度,统计了该运动员在6场比赛中的得分,用茎叶图表示如图所示,则该组数据的方差为.【解析】由茎叶图可知,该篮球运动员6场比赛的得分分别

7、是14,17,18,18,20,21,得分的平均数x=14+17+18+18+20+216=18,根据方差公式得s2=16(14-18)2+(17-18)2+(18-18)2+(18-18)2+(20-18)2+(21-18)2=5.答案:5【变式训练】某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10,6,8,5,6,则该组数据的方差s2=.【解析】由题计算得x=7,根据方差的计算公式可得s2=15(10-7)2+(6-7)2+(8-7)2+(5-7)2+(6-7)2=3.2.答案:3.28.(2013·江苏高考)抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位:环),结果如下:运动员第一

8、次第二次第三次第四次第五次甲8791908993乙8990918892则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为.【解题指南】利用平均数公式与方差公式求解可得结果.【解析】x甲=87+91+90+89+935=90,x乙=89+90+91+88+925=90.故s甲2=(87-90)2+(91-90)2+(90-90)2+(89-90)2+(93-90)25=4,s乙2=(89-90)2+(90-90)2+(91-90)2+(88-90)2+(92-90)25=2,答案:29.已知样本9,10,11,x,y的平均数是10,方差是4,则xy=.【解析】由题意得9+10+11+x+y=5&

9、#215;10,15(9-10)2+(10-10)2+(11-10)2+(x-10)2+(y-10)2=4,即x+y=20,(x-10)2+(y-10)2=18.解得x=7,y=13,或x=13,y=7.所以xy=91.答案:91三、解答题(每小题10分,共20分)10.若k1,k2,k8的平均数为8,方差为3,求2(k1-3),2(k2-3),2(k8-3)的平均数和方差.【解题指南】根据平均数和方差的定义求解.【解析】因为k1,k2,k8的平均数为k=k1+k2+k88,2(k1-3),2(k2-3),2(k8-3)的平均数为k'=2(k1+k2+k8)-6×88=2k-

10、6=2×8-6=10.因为k1,k2,k8的方差为3,即3=18(k1-k)2+(k2-k)2+(k8-k)2,所以2(k1-3),2(k2-3),2(k8-3)的方差s2=18(2k1-6-k')2+(2k2-6-k')2+(2k8-6-k')2=18(2k1-6-2k+6)2+(2k2-6-2k+6)2+(2k8-6-2k+6)2=184(k1-k)2+4(k2-k)2+4(k8-k)2=4×18(k1-k)2+(k2-k)2+(k8-k)2=4×3=12.11.下图是甲、乙两人在一次射击比赛中中靶的情况(击中靶中心的圆面为10环,靶中

11、各数字表示该数字所在圆环被击中所得的环数),每人射击了6次.(1)请用列表法将甲、乙两人的射击成绩统计出来.(2)请你用学过的统计知识,对甲、乙两人这次的射击情况进行比较.【解析】(1)环数678910甲命中次数222乙命中次数132 (2)x甲=9环,x乙=9环,s甲2=23环2,s乙2=1环2.因为x甲=x乙,s甲2<s乙2,所以甲与乙的平均成绩相同,但甲发挥比乙稳定.一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2014·南昌高一检测)甲、乙两个数学兴趣小组各有5名同学,在一次数学测试中,成绩统计用茎叶图表示,如图所示.若甲、乙小组的平均成绩分别是x甲、x乙,则下列结论正确的是

12、()a.x甲>x乙,甲比乙成绩稳定b.x甲>x乙,乙比甲成绩稳定c.x甲<x乙,甲比乙成绩稳定d.x甲<x乙,乙比甲成绩稳定【解析】选a.根据茎叶图可知,甲组5名同学的成绩分别是88,89,90,91,92,乙组5名同学的成绩分别是83,84,88,89,91,可得x甲=90,x乙=87,故有x甲>x乙;s甲2=2,s乙2=9.2,故有s甲2<s乙2,所以甲比乙的成绩稳定,所以选a.【变式训练】甲、乙两名学生六次数学测验成绩(百分制)如图所示.甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数;甲同学的平均分比乙同学的高;甲同学的平均分比乙同学的低;甲同学成绩的方差小

13、于乙同学成绩的方差.上面说法正确的是()a.b.c.d.【解析】选a.甲的中位数是81,乙的中位数是87.5,故错,排除b,d;甲的平均分x=16(76+72+80+82+86+90)=81,乙的平均分x'=16(69+78+87+88+92+96)=85,故错,对,易算得s甲2<s乙2,对,故选a.2.(2013·长春高一检测)如果数据x1,x2,xn的平均值为x,方差为s2,则3x1+5,3x2+5,3xn+5的平均值和方差分别为()a.x和s2b.3x+5和s2c.3x+5和9s2d.3x+5和9s2+30s+25【解析】选c.每个数据都扩大了3倍,增加了5,平均

14、数也扩大了3倍,增加了5.方差的变化是每个数据扩大的3倍的平方,即9倍.3.(2014·陕西高考)设样本数据x1,x2,x10的均值和方差分别为1和4,若yi=xi+a(a为非零常数,i=1,2,10),则y1,y2,y10的均值和方差分别为()a.1+a,4b.1+a,4+ac.1,4d.1,4+a【解题指南】根据样本数据均值和方差的计算公式代入求解即可.【解析】选a.样本数据x1,x2,x10的均值x'=110(x1+x2+x10)=1,方差s'2=110(x1-1)2+(x2-1)2+(x10-1)2=4,新数据x1+a,x2+a,x10+a的均值x=110(x

15、1+a+x2+a+x10+a)=110(x1+x2+x10)+a=1+a,新数据x1+a,x2+a,x10+a的方差s2=110(x1+a-1-a)2+(x2+a-1-a)2+(x10+a-1-a)2=110(x1-1)2+(x2-1)2+(x10-1)2=4.4.(2014·太原高一检测)某班的数学考试成绩的平均分为70分,方差为s2.后来发现成绩记录有误,同学甲得80分却误记为50分,同学乙得70分却误记为100分,更正后计算得方差为s12,则s2与s12的大小关系是()a.s2>s12b.s2=s12c.s2<s12d.无法判断【解析】选a.根据方差的计算公式,s2

16、的算式中含有(50-70)2+(100-70)2,s12的算式中含有(80-70)2+(70-70)2,而两算式的其他部分完全相同,故易知s2>s12.二、填空题(每小题4分,共8分)5.若40个数据的平方和是36,平均数是22,则这组数据的标准差是.【解析】s=140(x1-x)2+(x2-x)2+(x40-x)2=140(x12+x22+x402)-2(x1+x2+x40)x40+x2=3640-x2=105.答案:105【举一反三】若6个数的标准差为2,平均数为1,则此六数的平方和为.【解析】s=16(x1-x)2+(x2-x)2+(x6-x)2=16(x12+x22+x62)-x

17、2,即2=16(x12+x22+x62)-1,由此即得x12+x22+x62=30.答案:306.由正整数组成的一组数据x1,x2,x3,x4,其平均数和中位数都是2,且标准差等于1,则这组数据为(从小到大排列).【解析】不妨设x1x2x3x4,x1,x2,x3,x4n*,依题意得x1+x2+x3+x4=8,s=14(x1-2)2+(x2-2)2+(x3-2)2+(x4-2)2=1,即(x1-2)2+(x2-2)2+(x3-2)2+(x4-2)2=4,所以x43.则只能x1=x2=1,x3=x4=3,则这组数据为1,1,3,3.答案:1,1,3,3三、解答题(每小题13分,共26分)7.某学校

18、高一(1)、(2)班各有49名学生.两班在一次数学测验中的成绩统计(试卷总分为100分)如下:班级平均分众数中位数标准差(1)班79708719.8(2)班7970795.2(1)请你对下面的一段话给予简要分析:高一(1)班的小刚回家对妈妈说:“昨天的数学测验,全班平均分79分,得70分的人最多,我得了85分,在班里算是上游了!”(2)请你根据表中的数据,对这两个班的数学测验情况进行简要分析,并提出教学建议.【解题指南】平均数刻画一组数据的集中趋势,众数是一组数据中出现次数最多的数,中位数是将一组数据按大小依次排列,处在最中间位置的一个数(或最中间两个数的平均数),标准差刻画一组数据的离散程度.【解析】(1)由中位数可知,85分排在第25位之后,从位次上讲,不能说85分是上游;但也不能以位次来判断学习的好坏,小刚得了85分,说明他