D13函数的极限02731

1、 第一章 一、自变量趋于有限值时函数的极限一、自变量趋于有限值时函数的极限第三节, )(xfy 对0)1(xx 0)2(xx0)3(xxx)4(x)5(x)6(自变量变化过程的六种形式:二、自变量趋于无穷大时函数的极限二、自变量趋于无穷大时函数的极限本节内容本节内容 :机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数的极限 三、函数极限的性质三、函数极限的性质一、自变量趋于有限值时函数的极限一、自变量趋于有限值时函数的极限1. 0 xx 时函数极限的定义时函数极限的定义机动 目录 上页 下页 返回 结束 问问题题: :函函数数)(xfy 在在0 xx 的的过过程程中中,对对应应函函数数值值)(xf无无

2、限限趋趋近近于于确确定定值值 a.;)()(任意小任意小表示表示axfaxf .000的过程的过程表示表示xxxx x0 x 0 x 0 x ,0邻域邻域的去心的去心点点 x.0程度程度接近接近体现体现xx 一、自变量趋于有限值时函数的极限一、自变量趋于有限值时函数的极限1. 0 xx 时函数极限的定义时函数极限的定义引例引例. 测量正方形面积.面积为a )边长为(真值:;0 x边长面积2x直接观测值间接观测值任给精度 , 要求 ax2确定直接观测值精度 :0 xx0 xax机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义1 . 设函数)(xf在点0 x的某去心邻域内有定义 ,0,0当00 xx时

3、, 有 axf)(则称常数 a 为函数)(xf当0 xx 时的极限,axfxx)(lim0或)()(0 xxaxf当即,0,0当),(0 xx时, 有若记作 axf)(axfxx)(lim0机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义 注意：注意：;)(. 10是是否否有有定定义义无无关关在在点点函函数数极极限限与与xxf. 2有有关关与与任任意意给给定定的的正正数数 ,0,0当),(0 xx时, 有 axf)(axfxx)(lim0几何解释几何解释:0 x0 xaaax0 xy)(xfy 极限存在函数局部有界(p36定理2)这表明: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1 证明)(lim

4、0为常数cccxx证证:axf)(cc 0故,0对任意的,0当00 xx时 , 0cc因此ccxx0lim总有机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2 证明1)12(lim1xx证证:axf)(1) 12(x12x欲使,0取,2则当10 x时 , 必有1) 12()(xaxf因此,)( axf只要,21x1)12(lim1xx机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3 证明211lim21xxx证证:axf)(2112xx21 x故,0取,当10 x时 , 必有2112xx因此211lim21xxx1 x机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4 证明: 当00 x证证:axf)(0 xx

5、001xxx欲使,0且. 0 x而0 x可用0 xx因此,)( axf只要,00 xxx00limxxxx.lim00 xxxx时00 xxxx故取,min00 xx则当00 xx时,00 xxx保证 .必有ox0 xx机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 单侧极限：左极限与右极限单侧极限：左极限与右极限左极限 :)(0 xfaxfxx)(lim0,0,0当),(00 xxx时, 有.)( axf右极限 :)(0 xfaxfxx)(lim0,0,0当),(00 xxx时, 有.)( axf定理定理 axfxx)(lim0axfxfxxxx)(lim)(lim00( p39 题11 )机动

6、目录 上页 下页 返回 结束 例例5 设函数0,10,00, 1)(xxxxxxf讨论 0 x时)(xf的极限是否存在 . xyo11 xy11 xy解解: 利用定理 ， 因为)(lim0 xfx) 1(lim0 xx1)(lim0 xfx) 1(lim0 xx1显然, )0()0( ff所以)(lim0 xfx不存在 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 刘徽 目录 上页 下页 返回 结束 .lim0不存在不存在验证验证xxxyx11 o00limlimxxxxxx左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,.)(lim0不存在不存在xfx例例6证证0lim( 1)1x 00limlimxxx

7、xxx0lim11x刘徽 目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 1)(lim0, 10,1)(02 xfxxxxxfx证明证明设设yox1xy 112 xy证明证明 利用定理 ， 因为)(lim0 xfx)1 (lim0 xx1)(lim0 xfx) 1(lim20 xx1显然, )0()0( ff所以. 1)(lim0 xfx二、自变量趋于无穷大时函数的极限二、自变量趋于无穷大时函数的极限机动 目录 上页 下页 返回 结束 .sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx播放播放.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx二、自变量趋于无穷大时函数的极限二、自变

8、量趋于无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx二、自变量趋于无穷大时函数的极限二、自变量趋于无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx二、自变量趋于无穷大时函数的极限二、自变量趋于无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx二、自变量趋于无穷大时函数的极限二、自变量趋于无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx二、自变量趋于无穷大时函数的极限二、自变量趋于无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx二、自变量趋于无穷大

9、时函数的极限二、自变量趋于无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx二、自变量趋于无穷大时函数的极限二、自变量趋于无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx二、自变量趋于无穷大时函数的极限二、自变量趋于无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx二、自变量趋于无穷大时函数的极限二、自变量趋于无穷大时函数的极限刘徽 目录 上页 下页 返回 结束 问问题题: :函函数数)(xfy 在在 x的的过过程程中中, 对对应应函函数数值值)(xf无无限限趋趋近近于于确确定定值值 a.;)()(任意小任意

10、小表示表示axfaxf .的过程的过程表示表示 xxx. 0sin)(,无限接近于无限接近于无限增大时无限增大时当当xxxfx 通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:问题问题: 如何用数学语言刻划函数如何用数学语言刻划函数“无限接近无限接近”.xxaaoxy)(xfy a定义定义2 . 设函数xxf当)(大于某一正数时有定义,如果存在常数a，对,0x,)(,axfxx有时当则称常数时的极限,axfx)(lim)()(xaxf当或几何解释几何解释:axfa)(xxxx或记作直线 y = a 为曲线)(xfy 的水平渐近线,0 xxf当)(机动 目录 上页 下页 返回 结束 a 为函数刘徽

11、 目录 上页 下页 返回 结束 :.10情形情形x.)(, 0, 0 axfxxx恒有恒有时时使当使当:.20情形情形xaxfx )(lim.)(, 0, 0 axfxxx恒有恒有时时使当使当axfx )(lim两种情形两种情形: axfx)(lim:定定理理.)(lim)(limaxfaxfxx 且且x1x11oyxxxgxxf11)(,1)(直线 y = a 仍是曲线 y = f (x) 的渐近线 .两种特殊情况两种特殊情况 :axfx)(lim,0,0x当xx 时, 有 axf)(axfx)(lim,0,0x当xx时, 有 axf)(几何意义几何意义 :例如，都有水平渐近线;0yxxxg

12、xf21)(,21)(都有水平渐近线. 1y又如，oxyx21x21机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例8 证明. 01limxx证证:01xx1取,1x,时当xx 01x因此01limxx注注:就有故,0欲使,01x即,1xoxyxy1机动 目录 上页 下页 返回 结束 .10的水平渐近线为xyy二、函数极限的性质二、函数极限的性质机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明：说明：由于函数极限的定义按自变量的变化过程不同有不同的形式,下面如果需要指明的话,仅以xx0为例加以说明,其他情况,只需相应地做一些修改即可。2. 2. 局部有界性局部有界性1. 1. 唯一性唯一性3. 局部保号性局部

13、保号性定理定理3 若,)(lim0axfxx且 a 0 ,),(0时使当xx. 0)(xf)0)(xf证证: 已知,)(lim0axfxx即,0, ),(0 x当时, 有.)(axfa当 a 0 时, 取正数,a则在对应的邻域上. 0)(xf( 0)(a则存在( a 0 ),(0 x),(0 xx),(0 x(p37定理3)0 x0 xaaax0 xy)(xfy )0(机动 目录 上页 下页 返回 结束 axfa)(:0a:0a若取,2a则在对应的邻域上 若,0)(lim0axfxx则存在使当时, 有.2)(axf推论推论123)(2axfa2)(23axfa),(0 x, ),(0 x),(

14、0 xx(p37 推论)0 x0 xaaax0 xy)(xfy 分析分析机动 目录 上页 下页 返回 结束 推论推论2 若在0 x的某去心邻域内0)(xf)0)(xf, 且 ,)(lim0axfxx则. 0a)0(a证证: 用反证法.则由定理 1,0 x的某去心邻域 , 使在该邻域内,0)(xf与已知所以假设不真, .0a(同样可证0)(xf的情形)思考: 若推论 2 中的条件改为, 0)(xf是否必有?0a不能不能! 0lim20 xx存在如 假设 a 0 , 条件矛盾,故时,当0)(xf机动 目录 上页 下页 返回 结束 刘徽 目录 上页 下页 返回 结束 推论推论).()(),(, 0,

15、)(lim,)(lim0000 xgxfxuxbabxgaxfxxxx 有有则则且且设设4. 不等式性质不等式性质定理定理( (保序性保序性) ).),()(),(, 0.)(lim,)(lim0000baxgxfxuxbxgaxfxxxx 则则有有若若设设刘徽 目录 上页 下页 返回 结束 总结总结函数极限的统一定义函数极限的统一定义;)(limanfn ;)(limaxfx ;)(limaxfx ;)(limaxfx ;)(lim0axfxx ;)(lim0axfxx .)(lim0axfxx .)(, 0)(lim axfaxf恒有恒有从此时刻以后从此时刻以后时刻时刻(见下表见下表)刘徽 目录 上页 下页 返回 结束 过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 n x x xnnn nx nx nx )(xf