向量值函数积分学

1、向量值函数的积分向量值函数的积分 t( ),( ),( )x ty tz t 空空间间曲曲线线的的切切向向量量：的的法法向向量量：空空间间曲曲面面0 ),(zyxf,zfyfxfn 元元数数量量值值函函数数。的的坐坐标标，是是通通常常的的一一称称为为其其中中fxrxqxp)(),(),(向向量量值值函函数数，即即上上的的一一元元称称为为定定义义在在的的映映射射，记记为为到到从从是是一一个个三三维维向向量量空空间间，是是一一个个区区间间，设设定定义义ifvivi,133ixxrxqxpxfixkxrjxqixpxf ),()()()(,)()()()(，或或者者，,:3vif注注：（：（1 1）

2、一元向量值函数的物理意义与几何意义一元向量值函数的物理意义与几何意义.,)()()()(,),(),(),(,),(),0 , 0 , 0( tktzjtyitxtrttzztyytxxrzyxmo示示为为则则质质点点的的位位置置变变化化可可表表质质点点运运动动的的参参数数方方程程：的的向向量量记记为为终终点点在在设设起起点点在在原原点点 ),(),(),(tzztyytxx因此一元向量值函数在因此一元向量值函数在物理上物理上是质点运动的轨迹，是质点运动的轨迹，y yx xz zo om(x,y,z)m(x,y,z)ixjxqixpxf ,)()()(得平面向量值函数得平面向量值函数时时（2)

3、2)当当tr ,0)(几何上几何上表示空间一条曲线。表示空间一条曲线。0000(1) lim( )lim( ), lim( ),lim( );xxxxxxxxf xp xq xr x ;,)2(dxdrdxdqdxdpkdxdrjdxdqidxdpdxfd ( );f xc )(tfdtfd (4)( )( ),( ),( )( )( ).bbbbaaaaf x dxp x dxq x dxr x dxf bf a );(),(),()()()()(xrxqxpkxrjxqixpxf 设设 (3)( )( ),( ),( )f x dxp x dxq x dxr x dx );(),(),()

4、()()()(xrxqxpkxrjxqixpxf 设设 00d ( )()( )limd1lim(), (), ()( ), ( ), ( )xxf xf xxf xxxp xx q xx r xxp x q x r xx 注注： xxrxxrxxqxxqxxpxxpxxx)()(lim,)()(lim,)()(lim000,dp dq drdpdqdrijkdxdxdxdxdxdx,dfdpdqdrdxdxdxdx 即即. )(32ktjtittf 例：设例：设 23dd( ) ddf tt it jt ktt23( )dd d d f ttt t itt jtt k d d)(103210

5、 tktjtitttf 2322lim( )lim ttf tt it jt k则则有有：234 .234tttijkc 11123000d d d t t itt jtt k2 48ijk2 2 3it jt k111 .234ijk2、一元向量值函数求导运算法则、一元向量值函数求导运算法则).(),(),()5(;)(4(;)(3,)(2, 0)(1(tssrrdtddsrddtrdtrrvuvuvuvuvuvubavbuavbuacc ）（是是常常数数；）（是是常常向向量量；其其中中),()()()(),(),(),(),(,322112121xvxuxvxuvuxvxvvxuxuuvu

6、 则则是是平平面面向向量量：并并且且设设）仅仅证证（22221111)(vuvuvuvuvu vuvu 3、一元向量值函数导数的物理意义与几何意义、一元向量值函数导数的物理意义与几何意义),()(trttrr 位移向量位移向量是是速速度度的的方方向向。是是速速度度的的大大小小，是是质质点点运运动动的的速速度度向向量量2220222)()()()(),(),()()()()(tztytxtztytxdtrdtztytxdtrddtrd ( )( )( )( )r tx t iy t jz t k opq)(tr参数增加参数增加的方向的方向)(ttr r 000000( ),( ),( )( )(

7、 ( ), ( ), ( )t tt tdrdtdrx ty tz tr tdtm x ty tz t 从从几几何何上上看看，当当时时，是是曲曲线线在在处处的的切切线线的的方方向向向向量量，( )( )( )( )r tx t iy t jz t k 000( )ttdrr tttdt 注注 ： 当当时时 ， 曲曲 线线在在对对 应应 的的 点点 处处可可 能能 没没 有有 切切 线线 。:0,0,rrtttt 考考察察无无论论还还是是都都与与参参数数增增加加的的方方向向一一致致，0000( ),( ),( )t tdrx ty tz tdt 所所以以指指向向参参数数增增大大的的方方向向。).

8、,(),(),(),(),(yxqyxpjyxqiyxpyxf ).,(),(),(),(),(),(),(zyxrzyxqzyxpkzyxrjzyxqizyxpzyxf ,),(,:,12222dyxvdfdfvdvd 向向量量值值函函数数，即即上上的的二二元元称称为为定定义义在在的的映映射射，记记为为到到从从是是二二维维向向量量空空间间，是是平平面面区区域域，）设设（定定义义,),(,:,2333 zyxvffvv值值函函数数，即即上上的的三三元元向向量量称称为为定定义义在在的的映映射射，记记为为到到是是三三维维向向量量空空间间，从从是是空空间间区区域域，）设设（.2:,:),(2121数

9、数时时都都称称为为多多元元向向量量值值函函映映射射，当当的的维维向向量量空空间间到到维维空空间间一一般般地地，从从 nraxxxxvnrxxxxrminninm 与一元向量值函数类似地可定义多元向量值函数与一元向量值函数类似地可定义多元向量值函数的极限、连续性及偏导数，当每一个坐标函数作为的极限、连续性及偏导数，当每一个坐标函数作为多元数量值函数极限存在、连续、可偏导时，向量多元数量值函数极限存在、连续、可偏导时，向量值函数的极限存在、连续、可偏导。值函数的极限存在、连续、可偏导。则则例例如如，设设,)1ln()cos(jxixyf 1sin(),sin() .1ffyxy ijxxy ixx

10、y 1211221212(,) (,),(,),(,).mmmnmf x xxf x xxf x xxf x xx ， 物理量在空间的某个范围内的分布称为一个物物理量在空间的某个范围内的分布称为一个物理场。场有两类：理场。场有两类：数量场数量场（用数量值函数描述）与（用数量值函数描述）与向量场向量场（用向量值函数描述）。（用向量值函数描述）。等等。力力场场向向量量场场如如：速速度度场场等等；温温度度场场数数量量场场如如：密密度度场场),(),(),(),(zyxfzyxvzyxtzyx 如果场描述的物理量在所考察的时间段内不随如果场描述的物理量在所考察的时间段内不随时间的变化而变化，称其为时间的变化而变化，称其为稳定场稳定场；而随时间的变；而随时间的