24无穷大量与无穷小量05027

1、上页下页返回返 回2.4 2.4 无穷大量与无穷小量无穷大量与无穷小量四、无穷小量的阶四、无穷小量的阶一、无穷大量一、无穷大量二、无穷小量二、无穷小量三、无穷大量与无穷小量的关系三、无穷大量与无穷小量的关系上页下页返回一、无穷大量一、无穷大量定义定义 在自变量的某一变化过程中，若函数在自变量的某一变化过程中，若函数f(x)的绝对值的绝对值无限增大，则称无限增大，则称f(x)为无穷大量为无穷大量,记作记作 )x( f)x( flim或或若在自变量的某一变化过程中，函数若在自变量的某一变化过程中，函数f(x) (-f(x)无限增大，无限增大，则称则称f(x)为正为正(负负)无穷大量无穷大量,记作记

2、作 )x( flim)x( flim例如例如 x11lim,xlim,x1lim1x2x0 x上页下页返回注意：注意：（1）无穷大量的定义对数列也适用）无穷大量的定义对数列也适用;.)x( flim4认为极限存在认为极限存在）切勿将）切勿将（ （3）无穷大量是变量）无穷大量是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;（2 2）无穷大量需指明相应的变化过程。如）无穷大量需指明相应的变化过程。如,x1,0 x是无穷大量是无穷大量函数函数时时.x1,1x不是无穷大量不是无穷大量函数函数时时但但 上页下页返回定义定义: : 极限为零的变量称为无穷小量极限为零的变量称为无穷小量. .二、无穷小量二、无

3、穷小量例如例如, , 0 xlim20 x .0 xx2时的无穷小时的无穷小是当是当函数函数, 0 x1limx .xx1时的无穷小时的无穷小是当是当函数函数 , 0n)1(limnn .nn)1(n时的无穷小时的无穷小是当是当数列数列 , 0elimxx .xex时的无穷小时的无穷小是当是当函数函数 上页下页返回注意：注意： （1 1）定义中所称极限，包括数列极限和函数极限的各）定义中所称极限，包括数列极限和函数极限的各种情形；种情形；（4 4）零是可以作为无穷小的唯一的数）零是可以作为无穷小的唯一的数. .（2 2）无穷小需指明相应的变化过程。如）无穷小需指明相应的变化过程。如（3 3）无

4、穷小是变量）无穷小是变量, ,不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆; ;,x1,x是无穷小是无穷小函数函数时时 .x1,1x不是无穷小不是无穷小函数函数时时但但 上页下页返回无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系:证证 必要性必要性,a)x( flim0 xx 设设,a)x( f)x( 令令，即即则有则有0)x(lim,| )x(|0 xx ).x(a)x( f 充分性充分性),x(a)x( f 设设,xx)x(0时的无穷小时的无穷小是当是当其中其中 | )x(|a)x( f |则则 定理定理 其中其中 是当是当 时的无穷小时的无穷小. ),x(a)x( fa)x( flim0 xx )

5、x(0 xx 此定理对函数极限的其它变化过程仍成立。其意义在于给此定理对函数极限的其它变化过程仍成立。其意义在于给求极限的运算带来了很大的方便求极限的运算带来了很大的方便.时，有时，有当当 |xx|0, 0, 00 |a)x( f |时，有时，有当当 |xx|0, 0, 00 | )x(|。即即a)x( flim0 xx 上页下页返回性质性质 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证证,u为为有有界界函函数数设设函函数数.mu, 0m 使得使得则则,xx0时的无穷小时的无穷小是当是当又设又设.mxx0, 0, 00 恒有恒有时时使得当使得当恒恒有有时时则则当当,xx00

6、 uumm , .u,xx0为无穷小为无穷小时时当当 无穷小的性质无穷小的性质:上页下页返回x1arctanx,x1sinx,0 x,2时时当当例如例如都是无穷小。都是无穷小。,xxsin,x时时当当 是无穷小。是无穷小。推论推论 常量与无穷小量的乘积是无穷小量常量与无穷小量的乘积是无穷小量.上页下页返回三、无穷小量与无穷大量的关系三、无穷小量与无穷大量的关系 在同一过程中在同一过程中, ,无穷大量的倒数为无穷小量无穷大量的倒数为无穷小量; ;恒不为零恒不为零的无穷小量的倒数为无穷大量的无穷小量的倒数为无穷大量. .即即. 0)x( f1lim)x( flim ，则，则若若.)x( f1lim

7、, 0)x( f0)x( flim 则则，且，且若若上页下页返回四、无穷小的阶四、无穷小的阶x3xlim20 xxx2lim0 x1xxxlim20 x .xx, x2 ,x, x0 x22都是无穷小都是无穷小时时当当 极限不同极限不同, ,反映了趋向于零的反映了趋向于零的“快慢快慢”程度不同程度不同. ., 0 , 2 同一变化过程中的无穷小趋于零的速度各不相同。同一变化过程中的无穷小趋于零的速度各不相同。上页下页返回,0lim)1(高阶的无穷小高阶的无穷小是比是比，就说，就说如果如果 定义定义: :. 0, 且且穷小穷小是同一过程中的两个无是同一过程中的两个无设设., 0clim)2(是同阶的无穷小是同阶的无穷小与与就说就说如果如果 ;, 1lim记作记作是等价的无穷小是等价的无穷小与与则称则称如果如果特殊地，特殊地， 是是或说或说).(o, 记记作作低低阶阶的的无无穷穷小小比比上页下页返回，0 x3xlim20 x ，2xx2lim0