向量的数量积25398

1、平面向量数量积的相关知识平面向量数量积的相关知识复习：复习：想一想 平面向量的夹角：平面向量的夹角： 已知两个非零向量已知两个非零向量 a 和和 b，在在平面上取一点平面上取一点o，作，作oa= a,ob= b，则，则aob叫做向量叫做向量 a与与 b的夹角。的夹角。aaobb练习再想一想aob设，则，则 的取值范围为的取值范围为0你能指出下列图中两向量的夹角的值吗？你能指出下列图中两向量的夹角的值吗？baobaooaboab当当 时，两向量互相垂直时，两向量互相垂直,记作记作:090ba oab平面向量的数量积的定义：平面向量的数量积的定义：平面向量的数量积平面向量的数量积已知两个非零向量已

2、知两个非零向量a, b，则，则|a| |b|cos叫做向量叫做向量a, b的数量积，记作的数量积，记作ba即cos|baba并规定 0 0a由于空间任意两个向量共面由于空间任意两个向量共面,所以空间向量可以先所以空间向量可以先请阅读课本请阅读课本33-34页页.思考以下问题思考以下问题?空间向量的数量积：空间向量的数量积：平移到同一平面平移到同一平面,故空间向量有关定义与平面向量类似故空间向量有关定义与平面向量类似.（7）空间向量的数量积有哪些性质？满足哪几条运算律？）空间向量的数量积有哪些性质？满足哪几条运算律？（8）空间向量射影是怎样的？）空间向量射影是怎样的？（2）夹角能否写成：）夹角能

3、否写成：（ a ， b ）或（5）空间向量的数量积的定义：）空间向量的数量积的定义：（1）空间两向量）空间两向量 a 和和 b 的夹角可记作的夹角可记作:或 , 0其取值范围是：其取值范围是：（3）如果）如果 = ，则称，则称 ，记作，记作2a 和和 b 垂直垂直ba （6） 其结果是数还是向量？其符号由会么决定？其结果是数还是向量？其符号由会么决定？ba向量向量ab的长度称为的长度称为模模（4）向量的模的定义：）向量的模的定义：记作记作|ab|nmab例题分析例例1. 已知：已知：m,n是平面内是平面内 的两条相交直线，直线的两条相交直线，直线a与与 的交点为的交点为b，且，且 。nama,

4、求证：求证：a证明：在证明：在 内作不与内作不与m、n重合的任一条直线重合的任一条直线b，在，在a、序实数对序实数对(x,y)，使，使 向量向量m、n不平行。由共面向量定理可知，存在唯一的有不平行。由共面向量定理可知，存在唯一的有b、m、n上取非零向量上取非零向量a、 b、m、n，因，因m与与n相交，得相交，得这就证明了直线垂直于平面内的任一条直线，所以这就证明了直线垂直于平面内的任一条直线，所以anmbyxnamabayx0ma0na0ba即即ba ba bamnb练习练习1. 利用向量证明三垂线定理。利用向量证明三垂线定理。证明：证明： 如图所示，已知oaaaaopo且为射影,求证：paa

5、 0)(oaapoaoapoa又在直线a上取向量 a ,即要证0paaaapo例例2. 已知：在空间四边形已知：在空间四边形oabc中，中，acobbcoa,求证：求证：aboc 证明证明：由已知，得：由已知，得bcoa abco0bcoa, 0)(obocoaacob 0acob同理. 0)(oaocob即,oboaocoa即有.oaobocobaboc , 0ocobocoa. 0)(ocoboa. 0ocba.,135, 4| ,23|0的值求若已知nmbabanbamba)()(0babanm由0|)1 (|22bbaa23得解：练习练习练习练习已知空间四边已知空间四边abcd的每条边

6、和对角线的长都的每条边和对角线的长都等于等于a ，点，点m、n分别是边分别是边ab、cd的中点，的中点，.,cdmnabmn求证：求证：abcdmn(2)证明：证明： 连接连接an，)(21adacbaab)(21adabacabbaababanmaabmn)()2121(adacmaab复习小结复习小结1. 空间向量的夹角的定义及其表示方法。空间向量的夹角的定义及其表示方法。2. 空间两个向量的数量积的概念、性质、运算律空间两个向量的数量积的概念、性质、运算律及其简单应用。及其简单应用。3. 运用向量解决立体几何中证明直线和直线、运用向量解决立体几何中证明直线和直线、直线和平面垂直。直线和平

7、面垂直。作业作业：37p436p4数量积的定义已知a, b为空间的两个向量，则|a| |b|cos叫做向量a, b的数量积，记作ba并规定 0 0aaaobbaabbbababa,cos|l单位向量单位向量.作点作点a在在l上的射影上的射影 ，作点，作点b在在a即即射影已知向量已知向量ab= a和轴和轴l，e是是l上与上与l同方向的同方向的上的射影上的射影 ，则，则 叫做向量叫做向量ab在轴在轴l上或上或bba在在e方向上的正射影，简称射影。方向上的正射影，简称射影。ababeeaeaabba,cosbba a a在在b b方向上的射影方向上的射影的数量的数量=baa,cos 根据向量的定义根据向量的定义,与平面向量的数量积一样，空间与平面向量的数量积一样，空间向量的数量积具有如下性质，满足以下运算律向量的数量积具有如下性质，满足以下运算律：（1）eaaea,cos（2）0baba(证明线线垂直)（3）22aaaa(求线段的长)（4）