运动学图像 追及相遇问题

1、专题强化一运动学图象追及相遇问题专题解读 1.本专题是匀变速直线运动规律和运动学图象的综合应用，为高考必考内容，多以选择题形式命题.2.学好本专题，可以提高同学们通过画运动情景示意图和vt图象分析和解决运动学问题的能力.3.用到的知识有：xt图象和vt图象的理解，匀变速直线运动的规律，临界条件的确定，极值思想等数学方法.一、运动学图象1.直线运动的xt图象(1)图象的物理意义反映了做直线运动的物体的位移随时间变化的规律.(2)图线斜率的意义图线上某点切线的斜率大小表示物体速度的大小图线上某点切线的斜率正负表示物体速度的方向.(3)交点两图线交点，表示两物体相遇.2.直线运动的vt图象(1)图象

2、的物理意义反映了做直线运动的物体的速度随时间变化的规律.(2)图线斜率的意义图线上某点切线的斜率大小表示物体加速度的大小.图线上某点切线的斜率正负表示加速度的方向.(3)两种特殊的vt图象匀速直线运动的vt图象是与横轴平行的直线.匀变速直线运动的vt图象是一条倾斜的直线.(4)图象与时间轴围成的面积的意义(如图1)图1图象与时间轴围成的面积表示位移.若此面积在时间轴的上方，表示这段时间内的位移方向为正；若此面积在时间轴的下方，表示这段时间内的位移方向为负.(5)交点两图线交点表示此时两物体速度相同.自测1甲、乙两物体从同一点出发且在同一条直线上运动，它们的位移时间(xt)图象如图2所示，由图象

3、可以看出在04 s内()图2A.甲、乙两物体始终同向运动B.第4 s末时，甲、乙两物体间的距离最大C.甲的平均速度等于乙的平均速度D.乙物体一直做匀加速直线运动答案C解析由题图可知在02 s内，甲、乙同向运动，在24 s内两者反向运动，选项A错误；第4 s末两物体相遇，两物体间的距离不是最大，选项B错误；由题图知在04 s内，甲、乙的位移都是2 m，故平均速度相等，选项C正确；根据图线斜率的绝对值等于速度的大小，可知乙物体一直做匀速直线运动，选项D错误. 自测2如图3所示，为某物体做直线运动的vt图象，由此可知()图3A.前1 s物体的位移大小为1 mB.前2 s末物体的瞬时速度大小为2 m/

4、sC.前3 s内物体的加速度大小为3 m/sD.前3 s物体做匀变速直线运动答案A解析在vt图象中，相应图线与时间轴所围的面积表示位移，由题图知，前1 s内物体的位移大小x×1×2 m1 m，选项A正确；在13 s内由题图得，物体的加速度a1 m/s，第2 s末物体的瞬时速度vv0at2 m/s1 m/s2×1 s1 m/s，选项B、C错误；第1 s内物体做匀加速直线运动，13 s内物体做匀减速直线运动，选项D错误.二、追及与相遇问题1.概述当两个物体在同一条直线上运动时，由于两物体的运动情况不同，所以两物体之间的距离会不断发生变化，就会涉及追及、相遇或避免碰撞等

5、问题.2.两类情况(1)若后者能追上前者，则追上时，两者处于同一位置，后者的速度一定不小于前者的速度.(2)若后者追不上前者，则当后者的速度与前者的速度相等时，两者相距最近.3.相遇问题的常见情况(1)同向运动的两物体追及并相遇：两物体位移大小之差等于开始时两物体间的距离.(2)相向运动的两物体相遇：各自发生的位移大小之和等于开始时两物体间的距离.自测3平直公路上的甲车以10 m/s的速度做匀速直线运动，乙车静止在路面上，当甲车经过乙车旁边时，乙车立即以大小为1 m/s2的加速度沿相同方向做匀加速运动，从乙车加速开始计时，则()A.乙车追上甲车所用的时间为10 sB.乙车追上甲车所用的时间为2

6、0 sC.乙追上甲时，乙的速度是15 m/sD.乙追上甲时，乙的速度是10 m/s答案B解析设乙车追上甲车所用的时间为t，则有v甲tat2，解得t20 s，选项A错误，B正确；由vat得，乙车追上甲车时，乙车速度v乙20 m/s，选项C、D错误.命题点一运动学图象的理解和应用1.xt图象与vt图象的比较xt图象vt图象图象举例意义倾斜直线表示匀速直线运动；曲线表示变速直线运动倾斜直线表示匀变速直线运动；曲线表示变加速直线运动特别处两条图线的交点表示相遇图线与时间轴所围面积表示位移运动情况甲做匀速直线运动，乙做速度逐渐减小的直线运动丙做匀加速直线运动，丁做加速度逐渐减小的变加速直线运动位移0t1

7、时间内甲、乙位移相等0t2时间内丁的位移大于丙的位移平均速度0t1时间内甲、乙平均速度相等0t2时间内丁的平均速度大于丙的平均速度2.三点说明(1)xt图象与vt图象都只能描述直线运动，且均不表示物体运动的轨迹；(2)分析图象要充分利用图象与其所对应的物理量的函数关系；(3)识图方法：一轴、二线、三斜率、四面积、五截距、六交点.例1(多选)如图4，直线a和曲线b分别是在平直公路上行驶的汽车a和b的位移时间(xt)图线，由图可知()图4A.在时刻t1，a车追上b车B.在时刻t2，a、b两车运动方向相反C.在t1到t2这段时间内，b车的速率先减少后增加D.在t1到t2这段时间内，b车的速率一直比a

8、车的大答案BC解析由题图可知，t1时刻，b车追上a车，故A错误；xt图象的斜率表示速度，由于t2时刻a、b两图象的斜率一正、一负，故两车运动方向相反，B正确；由b图线的斜率的变化可以看出t1到t2这段时间b车的速率先减少后反向增加，C正确；如图所示，在t3时刻b图线的斜率与a图线的相等，此时两车的速率相等，故D错误.例2(2014·新课标全国·14)甲、乙两汽车在一平直公路上同向行驶.在t0到tt1的时间内，它们的vt图象如图5所示.在这段时间内()图5A.汽车甲的平均速度比乙的大B.汽车乙的平均速度等于C.甲、乙两汽车的位移相同D.汽车甲的加速度大小逐渐减小，汽车乙的加速

9、度大小逐渐增大答案A解析根据vt图象中图线与时间轴所围的面积表示位移，可以看出汽车甲的位移x甲大于汽车乙的位移x乙，选项C错误；根据v得，汽车甲的平均速度v甲大于汽车乙的平均速度v乙，选项A正确；汽车乙的位移x乙小于初速度为v2、末速度为v1的匀减速直线运动的位移x，即汽车乙的平均速度小于，选项B错误；根据vt图象的斜率反映了加速度的大小，因此汽车甲、乙的加速度大小都逐渐减小，选项D错误.变式1甲、乙两车在同一条直道上行驶，它们运动的位移x随时间t变化的关系图象如图6所示.已知乙车做匀变速直线运动，其图线与t轴相切于10 s处.则下列说法正确的是()图6A.甲车的初速度为零B.乙车的初位置在x

10、060 m处C.乙车的加速度大小为1.6 m/s2D.5 s时两车相遇，此时甲车速度较大答案C解析由题图可知甲车做匀速直线运动，速度v甲 m/s4 m/s.故A错；由题图可知乙车做匀减速直线运动，可看做是反方向的匀加速直线运动，则有xat2.由题图可知，当其反向运动5 s时，位移为20 m.则有20a·52，得加速度大小a1.6 m/s2.因其共运动了10 s，可得x0×1.6×102 m80 m.C对，B错；t5 s时，两车相遇，但甲车速度v甲4 m/s小于乙车速度v乙8 m/s，D错.变式2(2018·广东佛山质检)如图7所示为甲、乙两质点做直线运动

11、的速度时间图象，则下列说法中正确的是()图7A.在0t3时间内甲、乙两质点的平均速度相等B.甲质点在0t1时间内的加速度与乙质点在t2t3时间内的加速度相同C.甲质点在0t1时间内的平均速度小于乙质点在0t2时间内的平均速度D.在t3时刻，甲、乙两质点都回到了出发点答案A解析因在0t3时间内甲、乙两质点的速度图线与t轴所围“面积”相等，说明位移相等，则甲、乙两质点的平均速度相等，故A项正确；在0t1时间内，甲的图线斜率为正值，加速度为正方向，在t2t3时间内，乙的图线斜率为负值，加速度为负方向，两个加速度不相同，故B项错误；甲质点在0t1时间内的平均速度等于，乙质点在0t2时间内的平均速度等于

12、，故C项错误；由图可知甲、乙两质点的速度均为正值.则两质点均做单向直线运动，不可能回到出发点，故D项错误.拓展点1非常规图象1.三类图象(1)at图象：由vv0at可知图象与横轴所围面积表示速度变化量v，如图8甲所示；(2)t图象：由xv0tat2可得v0at，图象的斜率为a，如图乙所示.图8(3)v2x图象：由v2v022ax可知v2v022ax，图象斜率为2a.2.解题技巧图象反映了两个变量(物理量)之间的函数关系，因此要由运动学公式推导出两个物理量间的函数关系，来分析图象的意义.例3一质点沿直线运动，如图9所示是从t0时刻开始的质点的t图象(x为位移)，可以推知()图9A.质点做匀减速运

13、动B.加速度的大小是1 m/s2C.t2 s时的速度是1 m/sD.t2 s时位移是3 m答案B解析由题意可得图线的函数表达式为1t，即xtt2，又因为匀变速直线运动中位移公式为xv0tat2，根据对应关系得v01 m/s，a1 m/s20，因此质点做匀加速运动，故A项错误，B项正确.当t2 s时，根据公式vv0at，求出速度是3 m/s，故C项错误；当t2 s时，代入表达式xtt2，可得位移是4 m，故D项错误.变式3(2017·江西南昌3月模拟)一辆汽车做直线运动，其v2x图象如图10所示.关于汽车的运动，下列说法错误的是()图10A.汽车的初速度为4 m/sB.汽车的加速度大小

14、为0.5 m/s2C.汽车第4 s末的速度为2 m/sD.汽车前10 s内的位移为15 m答案D解析由题图可知初始时速度的平方为16 m2/s2，则汽车的初速度v04 m/s，A项正确.由题图可知v2与x的关系式为v242x，再与公式v2v022ax对比可知汽车做匀减速直线运动，加速度a0.5 m/s2，B项正确由vv0at，可得汽车第4 s末的速度为v44 m/s0.5×4 m/s2 m/s，C项正确.因8 s，则知第8 s末车停止，汽车前10 s内位移x16 m，D项错误.拓展点2图象间的相互转化例4一物体由静止开始沿直线运动，其加速度随时间变化的规律如图11所示.取物体开始运动

15、的方向为正方向，则下列关于物体运动的vt图象正确的是()图11答案C命题点二追及相遇问题1.分析思路可概括为“一个临界条件”“两个等量关系”.(1)一个临界条件：速度相等.它往往是物体间能否追上或(两者)距离最大、最小的临界条件，也是分析判断问题的切入点；(2)两个等量关系：时间等量关系和位移等量关系，通过画草图找出两物体的时间关系和位移关系是解题的突破口.2.能否追上的判断方法物体B追赶物体A：开始时，两个物体相距x0，到vAvB时，若xAx0xB，则能追上；若xAx0xB，则恰好不相撞；若xAx0xB，则不能追上.3.特别提醒若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否

16、已经停止运动.4.三种方法(1)临界法：寻找问题中隐含的临界条件，例如速度小者加速追赶速度大者，在两物体速度相等时有最大距离；速度大者减速追赶速度小者，若追不上则在两物体速度相等时有最小距离.(2)函数法：设两物体在t时刻相遇，然后根据位移关系列出关于t的方程f(t)0，若方程f(t)0无正实数解，则说明这两个物体不可能相遇；若方程f(t)0存在正实数解，说明这两个物体能相遇.(3)图象法.若用位移图象求解，分别作出两个物体的位移图象，如果两个物体的位移图象相交，则说明两物体相遇.若用速度图象求解，则注意比较速度图线与时间轴包围的面积.例5甲、乙两车在同一直线轨道上同向行驶，甲车在前，速度为v

17、18 m/s，乙车在后，速度为v216 m/s，当两车相距x08 m时，甲车因故开始刹车，加速度大小为a12 m/s2，为避免相撞，乙车立即开始刹车，则乙车的加速度至少为多大？答案6 m/s2解析方法一：临界法设两车速度相同时均为v，所用时间为t，乙车的加速度大小为a2，则v1a1tv2a2tv，ttx0，解得t2 s，a26 m/s2，即t2 s时，两车恰好未相撞，显然此后在停止运动前，甲的速度始终大于乙的速度，故可避免相撞.满足题意的条件为乙车的加速度至少为6 m/s2.方法二：函数法甲、乙运动的位移：x甲v1ta1t2，x乙v2ta2t2避免相撞的条件为x乙x甲<x0即(a2a1)

18、t2(v1v2)tx0>0代入数据有(a22)t216t16>0不等式成立的条件是：1624×16(a22)<0，且a22>0解得a2>6 m/s2.变式4(多选)(2016·全国卷·21)甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其vt图象如图12所示.已知两车在t3 s时并排行驶，则()图12A.在t1 s时，甲车在乙车后B.在t0时，甲车在乙车前7.5 mC.两车另一次并排行驶的时刻是t2 sD.甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40 m答案BD解析由题中vt图象得a甲10 m/s2，a乙5 m/s2，两车在t3 s时并排行

19、驶，此时x甲a甲t2×10×32 m45 m，x乙v0ta乙t210×3 m×5×32 m52.5 m，所以t0时甲车在前，距乙车的距离为Lx乙x甲7.5 m，B项正确.t1 s时，x甲a甲t25 m，x乙v0ta乙t212.5 m，此时x乙x甲L12.5 m，所以另一次并排行驶的时刻为t1 s，故A、C项错误；两次并排行驶的位置沿公路方向相距Lx乙x乙40 m，故D项正确.变式5(2018·河北保定调研)在平直公路上有甲、乙两辆汽车从同一位置沿着同一方向运动，它们的速度时间图象如图13所示，则()图13A.甲、乙两车同时从静止开始出

20、发B.在t2 s时乙车追上甲车C.在t4 s时乙车追上甲车D.甲、乙两车在公路上可能相遇两次答案C1.(多选)(2017·河北唐山一中模拟)在足球比赛中，跑位技术相当重要.图1所示为某前锋球员在时间t0内沿直线跑位的速度时间图象，则在这段时间内，该球员()图1A.运动方向不变B.运动的加速度方向不变C.先做加速运动后做减速运动D.运动的加速度先减小后增大答案AC解析因vt图象中图线的斜率表示加速度.则由题图可知球员先做加速度减小的加速运动，后做加速度先增大后减小的减速运动，其运动方向不变，则A、C正确，B、D错误.2.(多选)(2017·山西五校四联)甲、乙两车在一平直公路

21、上同向行驶，其速度时间图象如图2所示.下列说法正确的是()图2A.乙车做曲线运动B.010 s内，乙车的位移大于甲车的位移C.t10 s时，两车可能相遇D.010 s内，必有某一时刻甲、乙两车的加速度相同答案BCD解析因甲、乙两车在一平直公路上同向行驶，则甲、乙两车均做直线运动，因vt图象中图线的斜率表示加速度，则由题图可知乙车做加速度逐渐减小的变加速直线运动，甲车做匀加速直线运动，且t0时a乙a甲，t10 s时a乙a甲，则010 s内必有某一时刻a乙a甲，A项错误，D项正确.因vt图象中图线与t轴所围面积表示位移，则由题图可知010 s内乙车位移大于甲车位移，因题中没明确甲、乙出发位置，则t

22、10 s时两车可能相遇，B、C项正确.3.(2017·河北唐山一模)a、b两物体同时从同一地点开始做匀变速直线运动，二者运动的vt图象如图3所示，下列说法正确的是()图3A.a、b两物体运动方向相反B.a物体的加速度小于b物体的加速度C.t1 s时两物体的间距等于t3 s时两物体的间距D.t3 s时，a、b两物体相遇答案C解析由题图可知a、b两物体的速度均为正值，则a、b两物体运动方向相同，A项错误.因vt图象中图线的斜率表示加速度，则a的加速度大于b的加速度，B项错误.vt图象中图线与坐标轴所围的面积表示位移，因为t1 s到t3 s，a图线和b图线与t轴所围的面积相等，即此时间段两

23、物体位移相同，则t1 s时两物体的间距等于t3 s时两物体的间距，C项正确.由题图可知t3 s时，xbxa，又a和b同时、同地出发，同向运动，所以t3 s时，b在a前方，D项错误.4.(多选)甲、乙两物体在同一直线上运动的xt图象如图4所示，以甲的出发点为原点，出发时刻为计时起点.则从图象可以看出()图4A.t2到t3这段时间内甲的平均速度大于乙的平均速度B.乙比甲先出发C.甲开始运动时，乙在甲前面x0处D.甲在中途停了一会儿，最终也没追上乙答案AC解析在t2t3这段时间内，甲的位移大于乙的位移，由，所以甲的平均速度大于乙的平均速度，A项正确.由题图知乙和甲同时出发，且乙在甲前面x0处，故B项

24、错误，C项正确.在t3时刻，甲追上了乙，D项错误.5.(多选)一质点做直线运动的vt图象如图5所示，下列选项正确的是()图5A.在24 s内，质点所受合外力为零B.质点在02 s内的加速度比46 s内的加速度大C.在第4 s末，质点离出发点最远D.在06 s内，质点的平均速度为5 m/s答案AD解析由题图可知，在24 s内，质点做匀速直线运动，所以所受合外力为零，A对.由题图可知，质点在02 s内加速度大小为5 m/s2，46 s内加速度大小为10 m/s2，B错.由题图可知，在第5 s末，质点离出发点最远，C错.在06 s内，质点的平均速度5 m/s，D对.6.质点做直线运动时的加速度随时间

25、变化的关系图象如图6所示，该图线的斜率为k，图中阴影部分面积为S，下列说法正确的是()图6A.斜率k表示速度变化的快慢B.斜率k表示速度变化的大小C.面积S表示t1t2的过程中质点速度的变化量D.面积S表示t1t2的过程中质点的位移答案C7.图7是一做匀变速直线运动的质点的位移时间图象(xt图象)，P(t1，x1)为图象上一点.PQ为过P点的切线，与x轴交于点Q(0，x2).下列说法正确的是()图7A.t1时刻，质点的速率为B.t1时刻，质点的速率为C.质点的加速度大小为D.0t1时间内，质点的平均速度大小为答案B8.图象法可以形象直观地描述物体的运动情况.对于如图8所示的两质点运动的位移时间

26、图象和速度时间图象，下列分析结果正确的是()图8A.由图甲可知，质点做曲线运动，且速度逐渐增大B.由图甲可知，质点在前10 s内的平均速度大小为4 m/sC.由图乙可知，质点在第4 s内的加速度方向与物体运动的方向相反D.由图乙可知，质点在运动过程中，加速度大小的最大值为15 m/s2答案D9.(多选)小张和小王分别驾车沿平直公路同向行驶，在某段时间内两车的vt图象如图9所示，初始时，小张在小王前方x0处.下列说法正确的是()图9A.若x018 m，两车相遇1次B.若x018 m，两车相遇2次C.若x036 m，两车相遇1次D.若x054 m，两车相遇1次答案AB10.(2018·安徽马鞍山模拟)一个物体以初速度v0沿光滑斜面向上运动，其速度v随时间t变化的规律如图10所示，在连续两段时间m和n内对应面积均为S，