高考卷III理科数学真题(含答案)

1、2019普通高等学校招生全国统一考试（全国III卷）理科数学一、选择题：本题共 12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。已知集合4f乜 a lr 2?户的则CH 3A. -1 , 0, 1 B .0,1 C .-1,1 D .0,1, 22 .若 z （1+i） =2i ,则 z=A. -1-I B . -1+I C . 1-i D . 1+i3 .西游记三国演义水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝，并成为中国古典小 说四大名著。某中学为了了解本小学生阅读四大名著的情况，随机调查看了 100位学生,期中阅读过西游记或红楼梦的学生共有 90位，阅读过红楼

2、梦的学生共有 80位，阅读过西游记且阅读过红楼梦的学生共有60位，则该学校阅读过西游记的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为A. 0.5 B . 0.6 C . 0.7 D , 0.84 . “ +门+ x的展开式中的系数为5.已知各项均为正数的等比数列A. 12 B . 16 C . 20 D . 24 口 的前4项和为15,且口 = 3口 +4口 ，则n二 n1311A. 16 B . 8 C . 46.已知曲线y= ae*+xlnx在点1, ae）处的切线方程为y=2x+b,则A. a=e, b=-1 B . a=e, b=1D . a=c 1, b=-17.函数y =2x32x +

3、2-x,在-6,6的图像大致为A.B.C.D.耳，如图,点NN为正方股ABB 的中心，为正三用邢，平面EDC J.平面ABCD, *1芹线词E的中点.则一A . BW-ENj FIR纬例,FN星相交？i转 E. BM *且克.域RH, EM定和五五线.C - liM-HN ,目白5 EM * EM罡胃血邕装a b . tiH /. .立城EH，门品具面白线9一执行右边的程序框度.如果输入的g为OOL则输出的值等于11L设/)是定义域为R的偶邱I数,且在(单调递减，则12.设函数月#卜斑川田# 5J（3A0）,已知/（*）在0,2汨有且仅有5个零点下述四个结论”/门）在0,2汛情且仅有3个极大值

4、点”X）在0,2笈）有且仅有2个糙小值点”单调递增一12 29切的取值范围是二,历上其中所有正蠲结论的编号是A.C.跳D.缸酒不考虑打印损耗，电打修模型所需昂料至皮里D>-1721题为必考题,二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已如口,5为单位向量目白一力=0,若c =2。-4b ,则cos（0 1c |=|14.记5.为等差麴列项和，若£ ¥0,4 =%一则3 = *515.青E,弓为桶匾Gt+二=1的两个尾点，为c上一点旦在箪一象限，若绅J1236 2DI2为等腰三角形，则11的坐标为此学生到T方初实，利用3D打印技术制作捏型.如屈，该模怨为长方

5、体ABCIH “出叩口,挖土如废捱。-亚第后所得用几何体.且卬 口为长而伟的卬心，E, F , 6, H,分到大所在检的申点, AB -BC- 6 cm, AA：二上二口，3D打印可用I原料密度为g*.解答题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第每个试题考生都必须作答。第 22、23题为选考题，考生根据要求作答:(一) 必考题：共60分。17. 12 分)p为了解甲，乙两种离子在小鼠体内的残留程宸，进行如T实蛤；将200只小鼠随机分成 A、目百矩，每组1口0只，其中A期小耨始限甲离子潦濯，2组小器给服Z离子灌带,MR 小鼠筠韭的溶淤体积相同,摩尔浓度相同经过一段汨回后用某种科学

6、方法测算出戒留在。、 鼠体内高子的百分上，根据奕验机据分别得到如F省方图：*。为事件：川Z离子残留在体内的百分比不帐于一严 ,根据直方图得到F ©的估计 11为也70-1L 1)求乙离子残苗百分比直方图二Ia,匕的值；。12分别估骨甲，乙离子底智百分比的平坦信(同一组中的数据月该组区间的口点 值为代表)L8. （ 12 分）_/ + CA内瓦"的内角4 By U的对边分别为引注.c,已知心in- = b sin A ,C1) 求月(2)若必7为锐角三角形j且c = I,求AR究面积的取值范围.一19.（12 分）¥图1是由矩彩ADEB.数人£:和菱形加窃

7、1羽成的一个平面图形，其中AB，BEEFY, Z?BC=6Q° ,将耳沿曲 第折起使得能与明重合，连绪,如题2.*(1)证明：图2中的乩3 5 四点共面，且平面3比平面比跖m "(2) 求图2中的二面角B-CG-A的大小工A图2-已知函数金_b 2讨论的单隔性了昼）是告存在叫b,使写在区间LL L的最小值为-1日最大值为1?若存在, 求 出山6的所有值F若不存在，说明理由*21. （12 分）¥d1已知曲线C： y=, 为直线产-5上的动点J道作。的两条切磋J切点分别为也 jM4B.a<1）证明：直线AB过定点，<2）若以EC, |）力圆心的圆三直线如

8、相切，且切点力线段"的中点求四 uW边形如面的面枳. 4（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。陲港修4-4：坐粽系与参数方程:"0分”如图，在极坐标系图中，4九0、刖&,£ ） J）2存）,弘篇，BC .4ACD所在圆的圆心分别是（1, GN L*1曲线M是他48 ,曲线恁是弧8C曲残此是弧匚。o -（1）分别写出比-6 M的横生标方理：，<2）曲续上由此任，他构成，着点,/在片上，目|Q尸卜J5.求尸的槌坐标。.23.选修4-5：不等式选讲（10分）/设刈 yf weK,且不 p + z =

9、L （1）求51）斗51）"di），的最小值（2）若（jrZl'Tyli'+tkq'三,成立，证明;33-3或金2-八山72019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参考答案一、选择题1. A 2. D 3. C 4. A 5. C 6. D 7. B 8. B 9. C 10. A 11 . C12. D二、填空题13. 214. 415. （3,压）16. 118.8三、解答题17. 解：（1）由已知得 0.70=a+0.20+0.15 ,故 a=0.35. b=1 -0.05 -0.15-0.70=0.10.（2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为2X

10、 0.15+3 X 0.20+4 X 0.30+5 X 0.20+6 X 0.10+7 X 0.05=4.05 .乙离子残留百分比的平均值的估计值为3X 0.05+4 X 0.10+5 X 0.15+6 X 0.35+7 X 0.20+8 X 0.15=6.00 .A C18.斛：（1）由题设及正弦je理得sin Asin sinBsinA.2一,一、. A C 一因为sinA 0,所以 sin2 sin B .,_ 一,- A C B由 A B C 180 ,可得 sin cos22故 cosB22sin-cosB.22 B 因为cos2一 B 1 一 .0 ,故 sin,因此B=6022(

11、2)由题设及(1)知9BC的面积Saabc、3a .4由正弦定理得acsin Asin Csin 120 CsinC.312tanC 2由于9BC为锐角三角形,故 0° 幺<90° ,0° C<90° ,由（1）知A+C=120° , ,一 1一一 3sSA ABC2所以30 ©<90 ,故a 2,从而上28因此，9BC面积的取值范围是 ,8219.解：(1)由已知得 ADPBE, CGPBE,所以 ADPCG,故 AD, CGft 定一个平面，从而A, C, G, D四点共面.由已知得AB BE, AB BC,故A

12、B 平面BCGE又因为AB平面ABC,所以平面ABC平面BCGE(2)作EH BC,垂足为H.因为EH 平面BCGE,平面BCGE平面ABC,所以EH 平面ABC.由已知，菱形BCGE勺边长为2, /EBC=60° ,可求得BH=1 , EH= 73 .uuir以H为坐标原点，HC的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标_ uur系H 水yz,则A (T, 1,0) , C (1, 0, 0) , G (2, 0,收),CG = (1,_ uur0,由)，AC= (2, -1,0).设平面ACGD的法向量为n= (x, y, z)uuur_CG n 0,日口 x 、,3z 0

13、,uuu即AC n 0, 2x y 0.所以可取n= (3, 6, 43).又平面BCGE勺法向量可取为m= (0, 1,因此二面角BCG力的大小为30° .20.解：(1) f (x) 6x2 2ax 2x(3x a).令 f (x) 0 ,得 x=0 或 x a . 3若 a>0,则当 x (,0) U -, 时，f3“刈在(,0), |, 单调递增，在若a=0,设)在(，)单调递增；若 a<0,则当 x ,a U(0,)时， 3f(x)在，旦,(0,)单调递增，在 30),所以 cosn,m -|n|m|2a 一(x) 0 ;当 x 0-时，f (x) 0 .故喝单

14、调递减;af (x) 0 ;当 x - ,0 时，f (x) 0 .故3a,0单调递减. 3(2)满足题设条件的a, b存在.(i)当a00时，由(1)知，f(x)在0, 1单调递增，所以f(x)在区间0, l的最小值为f(0)=b,最大值为f (1) 2 a b.此时a, b满足题设条件当且2 a b 1,即 a=0 , b 1 .仅当b 1(ii)当a3时，由(1)知，f(x)在0, 1单调递减,所以f(x)在区间0, 1的最大值为f(0)=b,最小值为f (1) 2 ab.止匕时a, b满足题设条件当 且仅当 2ab 1, b=1 ,即 a=4 , b=1 .aa3iii当0<a&

15、lt;3时，由1知，f (x)在0, 1的最小值为f - b,327最大值为b或2 a b .3_若' b 1 , b=1 , WJ a 33/2 ,与 0<a<3 矛盾.273若 工 b 1 , 2 a b 1 ,贝U a 3# 或a3质或a=0 ,与0<a<3矛27盾.综上，当且仅当a=0, b 1或a=4, b=1时，f (x)在0, 1的最小值为-1, 最大值为1 .1221 .解：(1)设 D t, - , A x1，y1，则 x1 2y1.由于 y x ,21y1所以切线DA的斜率为x1,故 2 x1 .整理得2 tx1 2 y+1=0.x1 t设

16、B &,y2 ,同理可得 2tx2 2 y2+1=0.1故直线AB的万程为2tx 2y 1 0 .所以直线AB过定点（0,1）.+1y tx1 ,2 一1 2（2）由（1）得直线AB的万程为y tx 1.由2 2,可得x2 2tx 1 0.2 xyar- l=rc/，/c 2）于是 xx22t,x1x21,y1y2txix212t1,| AB| JT x1 x2,1 t2 . x1 x2 2 4x1x2 2 t2 1 .设d1,d2分别为点D, E到直线AB的距离，则d1 肝7, d? -J=,t2 1因此，四边形ADBE的面积S1| AB| d1 d2t2 3 - t2 1 .2设M

17、为线段AB的中点，则Mt,t2uuuuuuu uuuu由于 EMAB ,而 EMt,tuuu,AB与向量（1, t）平行,所以t t2 2 t 0 .解得t=0或t1 ;当 t=0 时，S=3 ;当 t 1 时,S 4.2.因此，四边形ADBE的面积为3或4后.22 .解：（1）由题设可得，弧Ab, ?c,Cd所在圆的极坐标方程分别为2 cos， 2sin ，2cos所以Mi的极坐标方程为2cos 0的极坐标方程为2sin3 7r 、一-出 , M3的极坐标方程为42cos(2)设 P(,)由题设及（1）知若0若4若红4;则2sin解得花4It _或35冗6则 2cos,3解得It一.6P的极坐标为-.3,6V3,-或应，红或73,2.23 .解：（1）由于（x 1）(y1) (z 1)2222(x 1) (y 1) (z 1)2(x 1)(y 1) (y 1)(z 1) (z 1)(x 1)3 (x 1)2 (y 1)2 (z 1)2 ,故由已知得(x 1)2 (y 1)2 (z 1)2 4，当且仅当x= 5 , y= - , z 1时等号成立.333所以(x 1)2 (y 1)2 (z 1)2的最小值为;.(2)由于_2(X 2) (y 1) (z a)一 222 一 -一(X 2) (y 1)