数字电子技术理论基础

1、第1章 数字电子技术理论基础数字电路是以数字量为研究对象的电子电路。 本章主要讨论数字电子技术的 基础理论知识，包括计数体制，逻辑代数及其化简。同时，还给出了逻辑函数的 概念、表示方法及相互转换。1.1 数字电路概述1.1.1 数字信号与数字电路电子电路中的信号可分为两类，一类在时间和幅度上都是连续的，称为模 拟信号，如图1.1所示，例如电压、电流、温度、声音等信号。传送和处理模拟 信号的电路称为模拟电路；图1.1模拟信号另一类在时间和幅度上都是离散的， 称为数字信号，如图1.2所示，例如计 时装置的时基信号、灯光闪烁等信号都属于数字信号。传送和处理数字信号的电 路称为数字电路。u a图1.2

2、数字信号数字电路的特点(1)信号是离散的数字信号。数字信号常用 0、1二元数值表示。2) 半导体器件均工作在开关状态，即工作在截止区和饱和区。( 3) 研究的主要问题是输入、输出之间的逻辑关系。( 4) 主要分析工具是逻辑代数。1.2 数 制 和 码 制1.2.1 数 制数制即指计数的方法， 日常生活中最常用的是十进制计数， 而在数字电路和计算机中最常用的是二进制、八进制和十六进制。1. 十 进 制 数十进制数的每一位都采用09共10个数码中的任何一个来表示，十进制的计数基数是10，超过 9 就必须用多位数来表示。其相邻的低位和高位间的运算关系是“逢十进一”，即9+1 = 102. 二进制数二

3、进制计数体制中只有0 和 1 两个数码，其基数是2，运算规律是“逢二进一”，即 1 + 1=103. 八进制数八进制数有07共8个数码，计数基数是8,运算规律是“逢八进一”，即 7+1 = 104. 十六进制数十六进制中有 09, a(10) , b(11) , c(12) , d(13) , e(14) , f(15)共 16个不同的数码，计数基数是16,运算规律是“逢十六进一"，即f+1 = 101.2.2 数制转换1. 十进制数与二进制数的相互转换( 1) 二进制数转换成十进制数二进制数转换成十进制数的方法是按权展开，再求加权系数之和。( 2)十进制数转换为二进制数十进制数转换

4、为二进制数时， 对整数部分可采用“除2 取余、 逆序排列”法， 对小数部分可采用“乘2 取整、顺序排列”法。2. 十进制数与其他进制数的相互转换当十进制数转换为其他进制数时，可将十进制数分为整数和小数两部分进行。 整数部分的转换采用“除基取余， 逆序排列”法。 小数部分的转换采用“乘基取整，顺序排列”法。当其他进制数转换为十进制数时，可将其他进制数按加权系数展开式展开，求得的和即为相应的十进制数。3. 二进制数与八进制数的相互转换（ 1） 二进制数转换为八进制数二进制数转换为八进制数时，可将二进制数由小数点开始，整数部分向左，小数部分向右， 每 3 位分成一组， 不够 3 位补零， 则每组二进

5、制数便是一位八进制数。（ 2） 八进制数转换为二进制数八进制数转换为二进制数时，只要将每位八进制数用 3 位二进制数表示即可。4. 二进制数与十六进制数的相互转换（ 1） 二进制数转换为十六进制数二进制数转换为十六进制数时，只要将二进制数的整数部分自右向左每4位一组，不足4 位时在左边补零；小数部分则自左向右每4 位一组，最后不足4位时在右边补零。再把每4 位二进制数对应的十六进制数写出来即可。（ 2）十六进制数转换为二进制数十六进制数转换为二进制数时正好与（ 1）所述相反，只要将每位的十六进制数对应的 4 位二进制写出来就行了。在数制使用时，常将各种数制用简码来表示：如十进制数用d表示或省略

6、；二进制用 b 来表示；八进制用 o 来表示；十六进制数用 h 来表示。如：十制数123表示为123d或者123;二进制数1011表示为1011b；八进制数173表示为173o；十六进制数3a4表示为3a4ho1.2.3 码制数码不但可以用来表示数量的大小， 还可以用来表示不同的事物。 当用数码 作为代号表示事物的不同时，称其为代码。一定的代码有一定的规则，这些规则 称为码制。给不同事物赋予一定代码的过程称为编码。1.8421 码2 . 2421 码3 . 5421 码4 .余3码5 .格雷（gray）码1.3 逻辑函数及其表示方法1.3.1 逻辑代数逻辑代数又叫布尔代数或开关代数，是由英国数

7、学家乔治布尔于 1847年 创立的。逻辑代数与普通代数都由字母来代替变量， 但逻辑代数与普通代数的概 念不同，它不表示数量大小之间的关系，而是描述客观事物一般逻辑关系的一种 数学方法。逻辑变量的取值只有两种，即逻辑 0和逻辑1,它们并不表示数量的大小， 而是表示两种对立的逻辑状态，如开关的通与断、电位的高与低、灯的亮与灭等。 0和1称为逻辑常量。例如，在图1.3所示的指示灯控制电品&中，我们用字母 y表示指示灯，用a、b 表示两个开关。指示灯 y的亮与灭两种状态取决于开关 a、b的通断状态。我们 将a、b称为输入逻辑变量，将y称为输出逻辑变量。a b00修 出丫图1.3 指示灯控制电路

8、逻辑代数有两种逻辑体制，其中，正逻辑体制规定，高电平为逻辑 1,低电平为逻辑0;负逻辑体制规定，低电平为逻辑 1,高电平为逻辑001.3.2 三种基本逻辑运算在逻辑代数中有三种基本的逻辑运算：与运算、或运算、非运算。1 .与运算只有当决定一件事情的所有条件都具备时， 这件事情才会发生，这种因果关 系称为“与”逻辑运算。在逻辑代数中，与逻辑运算又叫逻辑乘，两变量的与运算可用逻辑表达式表 示为：y=a-b读作“y等于a与b”。意思是：若 a b均为1,则y为1;否则y为0。与运 算规则可以归纳为“有0出0,全1为1”。数字电路中，实现与逻辑关系的逻辑电路称为与门，其逻辑电路符号如图1.4所图1.4

9、 与逻辑电路符号2 .或运算当决定事件发生的条件具备一个或一个以上时，事件就发生；只有当所有条件均不具备时，事件才不会发生。这种因果之间的关系就是“或”逻辑的运算关 系。例如，在图1.5所示的电路中，只要开关 a、b中任意一个接通或者两个都 接通，灯就亮；只有当开关 a、b均断开时，灯才不亮。在逻辑代数中，或逻辑运算又叫逻辑加，两变量的或运算可用逻辑表达式表示为：y=a+b读作“y等于a或b”，意思是：若a、b均为0,则y为0；否则y为1。或运 算规则可以归纳为“全0出0,有1为1”。在数字电路中，实现或逻辑关系的逻辑电路称为或门， 其逻辑电路符号如图1.6所示。图1.6或逻辑电路符号图3 .

10、非运算非运算关系是，当条件具备时，事件不发生；当条件不具备时，事件能发生。 即某事件发生与否，仅取决于一个条件，而且是对该条件的否定。例如，在图1.7所示电路中，当开关a接通时，灯y不亮；而当开关a断开 时，灯y亮。r t 中a'8y图1.7非逻辑关系电路在逻辑代数中，非逻辑运算又称逻冷?反。非逻辑关系的表达式为：y=a读作“y等于a非”，意思是：若a为0,则y为1;若a为1,则y为0。 非逻辑运算规则可以归纳为“有 0出1,是1为0”。非逻辑电路符号如图1.8 所示。图1.8 非逻辑电路1.3.3常用的复合逻辑运算复合逻辑是指由与、或、非3种基本逻辑关系组合而成的逻辑关系。 常用的复

11、合逻辑运算主要包括：与非、或非、与或非、异或、同或等。1 .与非与非逻辑运算是由与、非两种基本运算按照“先与后非”的顺序复合而成的。图1.9 与非逻辑符号2 .或非或非逻辑运算是由或、非两种基本运算按照“先或后非”的顺序复合而成的图1.10 或非逻辑符号3 .与或非与或非逻辑运算是由与、或、非3种基本运算按照“先与后或再非”的顺序复合 而成的。4 .异或异或是一种二变量逻辑运算，当两个变量不同时，输出为 1；当两个变量相同时，输出为0,即“不同为1,相同为0”。图1.12 异或逻辑符号5 .同或同或也是一种二变量逻辑运算，当两个变量相同时，输出为1;当两个变量不同时，输出为0,即“相同为1,不

12、同为0”。图1.13同或逻辑符号1.3.4 逻辑函数的表示方法及相互转换逻辑函数常用的表示方法有5种：逻辑真值表，逻辑函数表达式，逻辑图，波形 图和卡诺图。1 .逻辑真值表逻辑真值表是将输入变量的各种可能取值和相应的函数值排列在一起组成的表格，一个确定的逻辑函数只有一个逻辑真值表，具有惟一性。逻辑真值表能够直观明了地反映变量取值和函数值的对应关系，但输入变量较多时，列写起来比较繁琐，它是将实际问题抽象为逻辑问题的首选描述方法。2 .逻辑函数表达式逻辑函数的表达式不是惟一的，可以有多种形式，并且能互相转换。逻辑函 数的特点是：简洁、抽象，便于化简和转换。3 .逻辑图与、或、非等运算关系用相应的逻

13、辑符号表示出来，就是函数的逻辑图。例如，异或逻辑关系也可用如图1.14所示的逻辑图来表示。优点是：逻辑图与数字电路的器件有明显的对应关系，便于制作实际电路。缺点是不能直接进行逻辑推演和变换图1.14 异或逻辑关系的逻辑图4 .波形图反映输入和输出波形变化规律的图形， 称为波形图，也称为时序图。异或逻 辑关系中，当给定a、b的输入波形后，可画出函数 y的波形，如图1.15所示。y 图1.15 异或逻辑关系的波形图波形图的优点是，能直观反映变量与时间的关系和函数值变化的规律，它与实际电路中的电压波形相对应。5 .各种表示方法之间的相互转换同一逻辑函数可以用几种不同的方式来表示，这几种表示方法之间必

14、然可以相互 转换。由真值表写出逻辑函数的一般步骤如下。(1)找出真值表中使输出y=1的那些输入变量的组合。(2)每组输入变量的取值组合对应一个乘积项，其中变量取值为1的用原变量表示，取值为0的用反变量表示。(3)将这些乘积项相加，得到的即为真值表对应的逻辑函数表达式。1.4 逻辑代数的基本定律和规则1.4.1 逻辑代数的基本定律逻辑代数中有10个基本定律。反演律也叫摩根（morgon）定律，是数字逻辑变换中经常要用到的定律， 应重点掌握。 反演律说明了如何利用非运算实现与、或运算之间的变换，该定律还可以推广为多变量的形式。1.4.2 逻辑代数的基本规则逻辑代数有3 个重要的规则：代入规则、对偶

15、规则和反演规则。1. 代入规则在任何一个逻辑等式中， 如果以某个逻辑变量或逻辑函数同时取代等式两端的任何一个逻辑变量，则等式依然成立。这个规则称为代入规则。例如，在反演律中用bc去代替等式中的b,则新的等式仍成立。2. 对偶规则若将逻45函数y中的“ ”变为“ + ”，“ + ”变为“"； “0”变为“ 1 ”，“1 ”变为“0”；而变量保持不变，那么得到的新逻辑函数表达式称为函数y的对偶式，用y'表示，也可以说y和y'互为对偶式。对偶规则的内容是： 如果两个逻辑函数表达式相等， 它们的对偶式也一定相等。3. 反演规则如果将逻辑函数表达式y中的耍”变为“ + ”，“

16、+ ”变为“ ” ；“0”变为“ 1”，“1”变为“0”；原变量变为反变量，反变量变为原变量，那么新得到的逻辑函数表达式就是函数y的反函数y,这一规则称为反演规则。利用反演规则可以方便地求得一个函数的反函数使用反演规则时，应注意以下两点。（ 1） 要保持原函数中的运算符号的优先顺序不变，即要先括号，然后与，最后或。（ 2） 不属于单个变量上的非号要保留不变。1.5 逻辑函数的公式化简法1.5.1 逻辑函数的不同表达方式同一逻辑函数可以有多种不同的表达方式，它们之间能互相转换1.5.2 逻辑函数的公式化简法在逻辑电路设计中， 对逻辑函数化简具有十分重要的意义。 逻辑函数表达式越简单，实现该函数所

17、用的逻辑元件就越少，电路的可靠性就越高。 一般情况下，都将逻辑函数化为最简与或表达式。 最简与或表达式应遵循乘积项最少， 且每个乘积项的变量数最少的原则。1.6 逻辑函数的卡诺图化简法在应用公式法对逻辑函数进行化简时， 不仅要求对公式能熟练应用， 而且对最后结果是不是最简要进行判断， 遇到较复杂的逻辑函数时， 此方法有一定难度。下面介绍的卡诺图化简法，只要掌握了其要领，化简逻辑函数非常方便。1.6.1 逻辑函数的最小项及其表达式1. 最小项的定义与性质在 n 变量的逻辑函数中，若其与或表达式的每个乘积项都包含有n 个因子，而且每个因子仅以原变量或反变量的形式在该乘积项中出现一次， 这样的乘积项

18、称为 n 变量逻辑函数的最小项。 每个乘积项都是最小项形式的表达式称为逻辑函数的最小项表达式。最小项的性质：（ 1） 对于输入变量的任何一组取值，有且只有一个最小项的值为 1。（ 2） 对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为 0。（ 3） 全体最小项之和为 1。注意：不说明变量数目的最小项是没有意义的 。2. 逻辑函数的最小项表达式任何一个逻辑函数表达式都可以转化为最小项之和的形式。 方法是， 先将逻辑函数写成与或表达式，然后在不是最小项的乘积项中乘以 （ x+x） 补齐所缺变量因子即可。1.6.2逻辑函数的卡诺图表示法1 .最小项的卡诺图方格内是最小项表达式出）方格内是最小项的序号he

19、 he bc bcabcabcabcabcabcabcahcabcaa（即方格内是最小项友达碟0000001 01130102)0041015iii71106】0ii<bl力格内是最小项的序号0001图 1.20三变量的卡诺图图1.21四变量的卡诺图注意：为了确保卡诺图中小方格所表示的最小项在几何上相邻时，在逻辑上也有相邻性，两侧标注的数码不能从小到大依次排列。除几何相邻的最小项有逻辑相邻的性质外，图中每一行或每一列两端的最小 项也具有逻辑相邻性，因此，卡诺图可看成是一个上下左右闭合的图形。卡诺图形象、直观地反映了最小项之间的逻辑相邻关系， 但变量增多时，卡 诺图会变得更为复杂。当变量的

20、个数在5个或5个以上时，就不能仅用二维空间 的几何相邻来代表其逻辑相邻，故一般较少使用。2 .逻辑函数的卡诺图表示既然任何逻辑函数式都可以表达成最小项形式，而最小项又可以表示在卡 诺图中，故逻辑函数可用卡诺图表示。 方法是：把逻辑函数式转换成最小项表达 式，然后在卡诺图上与这些最小项对应的方格内填1,其余填0 (也可以不填)，就得到了表示这个逻辑函数的卡诺图。任一逻辑函数的卡诺图是惟一的。1.6.3用卡诺图化简逻辑函数1 .化简依据相邻最小项的合并规律是：两个相邻的最小项可合并为一项，消去一个变量;4个相邻的最小项可合并为一项，消去两个变量； 8个相邻的最小项可合并为一 项，并消去3个变量。消

21、去的是包围圈中发生过变化的变量， 而保留下的是包围 圈内保持不变的变量，如图1.23所示。(a) 2个相邻最小项合并 消去1个变量(b) 4个相邻鼓小项合并 消去2个变量)8个相邻最小项合并 消去3个变策图1.23最小项的合并规律2 .化简步骤用卡诺图化简逻辑函数的步骤如下（ 1） 将逻辑函数化成最小项之和的形式（有时可以跳过） 。（ 2）用卡诺图表示逻辑函数。（ 3） 对可以合并的相邻最小项（填 1 的方格）画出包围圈。（ 4） 消去互补因子，保留公共因子，写出每个包围圈合并后所得的乘积项。用卡诺图化简时， 为了保证结果的最简化和正确性， 在选取可合并的最小项即画包围圈时，应遵循以下几个原则。（ 5） 个包围圈只能包含2n 个填 1 的小方格，而且必须是矩形或正方形。（ 2） 包围圈能大勿小。包