高考数学专题七立体几何第练空间角与空间距离的求解练习解析

1、【步步高】（浙江专用）2017年高考数学 专题七 立体几何 第55练空间角与空间距离的求解练习训练目标（1）会求线面角、二二面角；（2）会解决简单的距离问题.训练题型（1）求直线与半囿所成的角；（2）求一面角；（3）求距离.解题策略利用定义、性质去 特殊三角形求解.“找”所求角，通过解三角形求角的三角函数值，尽量利用一、选择题1.（2015 上海闵行区三模）如图，在底面是边长为a的正方形的四棱锥P ABCDK 已知PA1平面ABCD且PA= a,则直线 PB与平面PC所 成的角的余弦值为（）1B.31A.22. （2015 邯郸上学期教学质量检测 ）在正四棱锥 P- ABC珅，PA= 2,直线

2、PA与平面ABCD所成角为60。，E为PC的中点，则异面直线 PA与BE所成的角为（）A. 90°C. 45°B. 60°D. 30°3.如图所示，在三棱锥 S-ABC43, ABC等腰三角形，AB= BC= 2a, Z ABC= 120° , SA=3a,且SAL平面 ABC则点A到平面SBC勺距离为（）3aA. 7 B.5aC.5 D.7a 万、填空题4.（2015 丽水二模）如图，在正方体 ABCDA1B1CQ中，点M为平面ABBA的中心，则 MC与平面BBCC所成角的正切值为 5. 如图所示，在三棱锥 S ABC中， SBC ABCtB

3、是等边三角形，且 =1, SA 喙,则二面角S- BO A的大小为.6. 如图，在棱长为1的正方体ABCD- ABGD中，点P在线段AD上运动，给出以下命题:异面直线GP与CB所成的角为定值;二面角P- BC D的大小为定值；三棱锥D- BPC的体积为定值；异面直线 A1P与BC间的距离为定值.其中真命题的个数为.三、解答题7. (2015 浙江名校交流卷)如图，在 ABC中，/ ABC= 45102点 O在 AB上，且 OB= OC= 3ABPOL 平面 ABC DA/ PQ DA= AO(1)求证：PB/平面COD(2)求二面角 0- CD- A的余弦值.8. (2015 宁波二模)如图，

4、正四棱锥 S-ABC珅，SA= AB= 2, E, F, G分别为BC SC CD勺中点.设P为线段FG上任意一点.(1)求证：EP± AC(2)当P为线段FG的中点时，求直线 BP与平面EFG所成角的余弦 值.9. (2015 安徽江南十校上学期期末大联考)如图，四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD矩形，PA1底面ABCD且P9底面ABC而成的角为45； E为PB的中点，过 A E, D三点的平面记为 a , PC与a的交点为Q(1)试确定Q的位置并证明;(2)求四棱锥P- ABCD平面a所分成上下两部分的体积之比;(3)若PA= 2,截面AEQDJ面积为3,求平面a与平面PC所

5、成的锐二面角的正切值.答案解析1. D 设B到平面PCD勺距离为h,直线PB与平面PC所成的角为a ,则由等体积法可得11,113*2* 72a a , h = 3><a a a,h眨-h= 2 a.喙.故选D.又 PB= yja,sin兀又 a e (0 , ) , .1. cos a =2. C 如图，连接 AC BD交于点Q连接OE OP因为E为PC中点，所以 O日PA所以/ OEB为异面直线 PA与BE所成的角.因为四棱锥P-ABC更正四棱锥，所以POL平面ABCD所以AC PA在平面ABC呐的射影，所以/ PACIP为PA与平面ABC所成的角，即/ PAO 60 .因为

6、PA= 2,所以 OA= OB= 1, OE= 1.所以在直角三角形 EOE, / OEB= 45。，即异面直线PA与BE所成的角为45。.故选C.3. A 作AD!CB交CB的延长线于点 D,连接SQ如图所示. SAL 平面 ABC BC?平面 ABC SAL BC 又 BC! AD SAH AD= A, SA?平面SAD AD?平面SAD BCL平面SAD又BC?平面SBC平面SBC ，平面ASD且平面SBCH平面ASD= SD在平面ASC ,过点 A作AHL SD 于点H则AH1平面SBC AH的长即为点 A到平面SBC勺距离.在Rt SAD中，SA= 3a, AD= AB- sin 6

7、0,AH AD /口 SA- AD Ba.由 SA= SD, 4AH= "D-=SA- AD 3a3a-f=,即点A到平面SBC勺距离为不,sA+aD 22154. 5解析如图，过点 M作BB的垂线，垂足为 N,则MNL平面BBCG连接NC,则/ MCN为MC与平面BBCC所成的角.设正方体的棱长为 2a,则 MN= a, NC= ：5a,；5所以tan / MGM=号. 55. 60°解析 取BC的中点Q连接SO AO因为AB= AC O是BC的中点，所以AOL BC同理可证 SCL BC, 所以/ SOA二面角S- BC- A的平面角.在AOBK / AOB= 90 ,

8、 / ABO= 60 , AB= 1, 所以 AO= 1 x sin 60 ° =胆3'3同理可求SO=.13又SA= 2",所以 SOA1等边三角形，所以/ SOA= 60° ,所以二面角S- BC- A的大小为60° .6. 4解析 对于，因为在棱长为 1的正方体ABCDABGD中，点P在线段AD上运动，在正方体中有 BC，平面ABGD,而GP?平面ABCD,所以BC± GP,所以这两个异面直线所成的角为定值90。，故正确；对于，因为二面角 P- BCD的实质为平面 ABGD与平面BDC所成的二面角, 而这两个平面为固定不变的平面，

9、所以夹角也为定值，故正确；对于，三棱锥 D- BPC的体积还等于三棱锥 P- DBC的体积，而 DBC®积一定，又因为PC AD,而AD/平面BDC,所以点A到平面DBC的距离即为点P到该平面的距离，所以三棱锥的体积为定值，故正确；对于，因为直线 AP和BC分别位于平面 ADHAi,平面BCCB中，且这两个平面平行，由异面直线间的距离定义及求法，知这两个平面间的距离即为所求的异面直线间的距离，所以这两个异面直线间的距离为定值，故正确.7. (1)证明 因为PQL平面ABC AD/ PQ AB?平面ABC所以 POL AR DAL AB1又 DA= A0= PQ 所以/ AOD= 45

10、 .一、，_ 2 _因为 0B= -AB,311所以 0A= AB,所以 0A= -OB 321 ,又 A0= 2PO 所以 0B= OP所以/ OBP= 45° ,即 OD/ PB又PB平面COD OD?平面COD所以PB/平面COD(2)解 如图，过 A作AML DO垂足为 M过 M作 MINL CD N,连接AN则/AN® 二面角 0- CD- A的平面角.设 AD= a,在等腰直角三角形 A0加，得AM= -t2a,在直角三角形 CODK 得 MN= 鼻, 23在直角三角形AM曲，得AN=年a所以 cos/ANM=1058. (1)证明设AC交BD于O,. S- A

11、BCD;正四棱锥，. SOL底面 ABCD BDL AC又AC?平面ABCD SOL AC B Bm SO Q二ACL平面 SBD . E, F, G分别为BC SC CD的中点，FG/ SD, BD/ EG又 FS EG= G, Sm BD= D,平面EFG/平面BSD，ACL平面 GEF又. PE?平面 GEF PEL AC(2)解过B作BHHL G盯H,连接PH. BDL AC, BD/ GHBH/ AC,由(1)知ACL平面GEF则BHL平面GEF/BPHt是直线BP与平面EF的成的角.在 RtABHF, BH=#,PH=亭,PB=呼,故 cos/BPH= PH=曙. PB 159.解

12、 (1) Q为PC的中点.证明如下：因为AD/ BC AD?平面PBC BC?平面PBC故AD/平面PBC又由于平面 a n平面PBC= EQ故AD/ EQ所以BC/ EQ又E为PB的中点，故Q为PC的中点.(2)如图，连接EQ DQ因为PAL底面ABCD所以PB与底面ABC而成的角为/ PBA= 45故 PA= AB又因为E为PB的中点，所以PEL AE因为四边形 ABCD1矩形，所以ADL AB又PAL底面 ABCD AD?底面 ABCD所以 ADL PA又PAO AB= A,所以AD，平面PAB又PE?平面PAB所以 ADL PE又 AEA AD= A, AE?平面 a , AD?平面

13、a ,故PE1平面a .设 PA= h, AD= 2a,设四棱锥P- ABC破平面a所分成的上下两部分的体积分别为V和%,则EQ= a.又因为ADL平面PAB A巴平面PAB所以ADLAES梯形AEQD1V ±=-PE-3l.Nh321- 2(a+2a) -2h ah22 =4'1V 下=-p/-3S底面ABCD- V上.2. 21ah 5ah3 h 2 a彳=12，ah2白=1.12过E作EF，DQ连接PF,因为PEL平面a ,所以PE± DF又由于EFA PE= E,所以DF1平面PEF贝U DF! PF所以/ PFE是平面a和平面PC所成的二面角.因为PA=