高考数学二轮复习专题检测：算法初步、复数、推理与证明(含)解读

1、2015届高考数学二轮复习专题检测：算法初步、复数、推理与证明本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.第I卷（选择题 共50分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的）1 .（2015武汉市武昌区调研）已知i是虚数单位，则£=（）7 1j2 21答案C. _ 2 + i2 + i解析 7-7=-7-73 -3 -I2 .（文）（2014济南模拟）复数z=±在复平而上对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D.第四象限 答案Ai i 11 + i

2、1 i解析z=r=¥3=5+1 1所以复数Z对应的点为（5, 5）,在第一象限.（理）（2014,郑州六校质量检测）设复数z = a + bib£R）,若卷=2 i成立，则点时七）在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案A解析因为卷=2 i,所以z=（2 i）（l + i） = 3 + i,所以点P（a, b）在第一象限.3 .（文）（2014福建高考）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4答案B解析本题考查了程序框图的相关概念.SI： n = l,21>12好是，S2： n=2,22>22玲

3、否，愉出n = 2.关键是理解赋值语句n + 1及条件2n>n2.（理乂2014,福建高考）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于（）/输手s/ 。结束JA. 18 B. 20C. 21 D. 40答案B解析本题考查程序框图，当n = l时，S=3,当n = 2时，S=3 + 22 + 2=9,当n = 3时，S = 9 + 23+3 = 2015,故输出 S=20.4.若下边的程序框图输出的S是126,则条件可为（）A. n<15 B. n<6C. n<7 D. n<8答案B解析由程序框图可知这是计算2 1-2n-S=0+2 + 22 + 2n

4、=：一：=2n + l 2 的程序，1 2当 S=2n + 1-2 = 126 时，即 2n + l = 128,解得 n = 6,此时n=n + l=7,不满足条件，所以选B.5.（文）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文玲密文（加密），接收方由密文玲明文 （解密），已知加密规则为：明文a, b, c, d对应密文a +2b,2b + c,2c+3d,4d,例如，明文1,234对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14923,28时，则解密得到的明文为（）A. 4,64,7B. 7,6,1,4C. 6,4,17D. 1,6,47答案C7 +2b = 142b + c=9解析因加

5、密规则可得2c 十 3d 234d = 28'a = 6 b=4/ .故明文为64L7. c = l、d = 7111（理）设M = （;1应一 1）仁一1）,且a + b+c = l（a, b, c均为正数），由综合法得M的取值范围 a oc是（）1 1A.0, g B. g, 1）C. 1,8 D. 8, +）答案D解析由a + b + c=l, M = g+*q+/g+B）28（当且仅当a = b = c时取等号.）6. （2015济南模拟）下而有四个命题：集合N中最小的数是1；若一a不属于N,则a属于N；若a6N, b£N,则a + b的最小值为2：x2 + l=2x

6、的解集可表示为1,1.其中真命题的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3答案A解析假命题，集合N中最小的数是0；假命题，如a=时，命题不成立；假命题，如a=0, b=l,则a + b=l；假命题，1,1卜与集合中元素的互异性矛盾，其解集应为1. 27.（文）设z = l-i（i是虚数单位），则复数+i2的虚部是（）A. 1 B. -1C. iD-i答案A22解析因为z=l-i（i是虚数单位），所以复数？+i2=n+i2 = l + i l = i,2所以复数？+i2的虚部是1.（理）设复数z=l + bi（b£R）且|z|=2,则复数z的虚部为（）A.下 B.C. ±1

7、 D. 土4答案B解析z = l + bi,且|z|=2,即 l+b2=4,解得 b = ±Vi8.（文）已知M是ex + e-x的最小值，裳|三，则下图所示程序框图输出的S为（） （尹始）/输入m,n/I S=N | I S=M I-10-,/输出s/ ,i、A. 2 B. 11C. - D. 0答案A2tan22 5。解析 Vex + e-x>2/ex-e-x=2,，M = 2, N = 1 222 5；=tan450= 1J 所以 M>N,又框 图的功能是求M, N中的较大值，故输出的值为2.4a C C U。（理）已知函数y=I与x=1, x轴和x=e所围成的图形

8、的面积为M,忏1_；累222 5。，则程序 框图输出的S为（）r/输Y，纥/SN | | S=M |/输出s/ i （2*3A. 1 B. 21C. - D. 0答案C解析2tan22.5°“一 1因为 2N=tan222 5；=tan450 = 1 * 所以 N=5，M=Je-dx = lnx|i = l,所以 M>N,又框图的功能是求M, N中的较小值，故输出的值为去9.(2014新课标II)执行下图程序框图,如果输入的x, t均为2,则输出的S=()A. 4B. 5C. 6D. 7答案D解析本题考查程序框图的基础知识. x=2, t=2,变量变化情况如下：MSk13125

9、2273故选D.2 110.(文)设 x, y£R, a>l, b>l,若 ax=by=2, a2 + b=4,则：+)的最大值为()x yA. 1B. 2C. 3D. 4答案B2 1解析因为 ax = by = 2 ,所以 x = Ioga2 < y = Iogb2 ,所以一 + - = 2log2a + Iog2b = x ya2 I bIog2(a2b)<log2()2 = 2> 当且仅当 a2 = b = 2 时取等号.3(理)定义在 R 上的函数 y=f(x),满足 f(3x) = f(x),仅一/' (x)<0,若 xl<

10、x2,且 xl + x2>3, 则有()A. f(xl)<f(x2) B. f(xl)>f(x2)C. f(xl)=f(x2) D.不确定答案B33解析因为函数y=f(x),满足f(3-x)=f(x),所以函数y=f(x)的对称轴为x=/,又因为仅一寸(x)<0,所以 x<3时，f' (x)>0, x>|时，f' (x)<0,所以函数 y=f(x)在(一8, 1上单调递增：在|,3+8）上单调递减.又因为xl<x2,且xl+x2>3,所以3 x2vxl<x2,且x2£（5，观察图像，得 f（xl）>

11、;f（x2）.第II卷（非选择题 共100分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上）11 .（文）（2014北京高考）若（x+i）i=-l + 2i（x£R）,则乂=.答案2解析本题考查了复数乘法、复数相等的知识.（x+i）i=-l + xi = -l+2i, x=2.（理乂2014北京高考）复数（屋）2=.答案T解析本题考查了复数的运算.复数F=_I：$，故（挣 2 = i2=T312 .在复平面上，复数）. ）对应的点到原点的距离为2 - 23答案5333解析复平而上复数z对应的点到原点的距离就是它的模，而I丁口 1=西仙=彳 本 题不需要

12、把复数化简为a + bi（a, b£R）形式.13 .程序框图如下：/除出_钻束如果上述程序运行的结果为S = 132,那么判断框中横线上应填入的数字是.答案）10解析由题设条件可以看出，此程序是一个求几个数的连乘积的问题，第一次乘人的数是12, 以后所乘的数依次减少1，由于132 = 11x12,故循环两次，故判断框中应填k410.3 113 14113 1415114观察下列等式：L5x2 = 1-22* 1x2 + 23x22 = 1-32> 12x2 + 23x22+34x23 = 1-10-一了篇由以上等式推测到一4一般的结论：对于n£N*,京竦+.+式1x

13、2n=,小生1C 案1 n + 1 -2n3 11解析由已知中的等式：77PS=i一分3 14 J_ _ 112X2 + 23X22-1-3x22,3 14 15 工_ _ 11X2 + 2X22+X23-1 423* ，3 14 1n + 211所以对于 n£N*,+ 0 n + 1 x-=l- n + 1 2n.15. （2015温州适应性测试）已知遥今ri 2nlCOS5COST=4，ti 2n 3Tlicos7cos-cos=",根据以上等式，可猜想出的一般结论是：,必.nn 2r712Tl 3Tl. r 1023(2)若数列an中，al = cosy, a2 =

14、coscoa3 = cosy-cos-ycosy ，前 n 项和 Sn=jj, 贝 lj n=.H 2Tlnn 1答案cos而,cos彳不p.3 赤=冰£加)10解析(1)从题中所给的几个等式可知，第n个等式的左边应有n个余弦相乘，且分母均为2n + l,分子分别为Ji, 2k,rm,右边应为玄，故可以猜想出结论为n 2nnn 1cos 赤 cos彳不丁.cos 赤=彳(n £ N*).1 1.1 u 于 1 5 n i 2n-l 1023由可知an=彳，故Sn=1一五=一一=砺，n = 10.1一5三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算

15、步骤)16.(本小题满分12分)实数m分别取什么数值时，复数z = (m2 + 5m + 6) + (m2 2m 15)i； 与复2 12i相等？与复数12+16i互为共聊复数？对应的点在x轴上方？解析(1)根据复数相等的充要条件得解得m = -l.m2+5m + 6=2,um2 2m 15 = -12.根据共轨复数的定义得，m2+5m + 6=12, 、m2 2m 15 = -16.解得m = l.根据复数z对应的点在x轴上方可得m2-2m-15>0,解得m<-3或m>5.17.（本小题满分12分）一企业生产的某产品在不做电视广告的前提下， 每天销售量为b件.经市场调查得到

16、如下规律：若对产品进行电视广告 的宣传，每天的销售量S（件）与电视广告每天的播放量n（次）的关系可用 如图所示的程序框图来体现.试写出该产品每天的销售量S（件）关于电视广告每天的播放量n（次）的 函数关系式：要使该产品每天的销售量比不做电视广告时的销售量至少增加90%, 则每天电视广告的播放量至少需多少次？解析设电视广告播放量为每天i次时，该产品的销售量为Si（0<i<n, iGN）.b» i = 0.由题意，Si=<l<i<n, iGN*.于是当 i = n 时,Sn = b + g+枭=乂2-枭(n£N).所以，该产品每天销售量S（件）与电

17、视广告播放量n（次/天）的函数关系式为S=b（2-）, nG N.由题意，有 b（2-）>1.9b=>2n>10=>4（nGN*）.所以，要使该产品的销售量比不做电视广告时的销售量至少增加90%,则每天广告的播放量至 少需4次.18.（本小题满分12分）求证关于x的方程ax2 + 2x+l=0至少有一个负根的充要条件是a<l.分析需证明充分性和必要性.证充分性时，可分a = 0, a<0和0<a4l三种情况证明：证必 要性，就是寻找方程有一个负根和两个负根的条件.证明充分性：当a = 0时，方程为2x+l=0, 其根为x =，方程有一个负根，符合题意.

18、当a<0时，A=4-4a>0,方程ax2 + 2x + l = 0有两个不相等的实根，且:<0,方程有一正一负 根，符合题意.当 0<a41 时,A=4-4a>0,方程ax2 + 2x + l = 0有实根， 2-a<0且1 1,故方程有两个负根，符合题意.->0 la综上知：当时，方程ax2 + 2x+l=0至少有一个负根.必要性：若方程ax2 + 2x+l = 0至少有一个负根.当a=0时，方程为2x+l = 0符合题意.当aM时，方程ax2 + 2x + l=0应有一正一负或两个负根."=44a202 -<0则一<0或

19、71; a,解得a<0或0<a<l.a1了。综上知：若方程ax2 + 2x+l = 0至少有一负根则a41.故关于x的方程ax2 + 2x+l = 0至少有一个负根的充要条件是a<l.19.(本小题满分12分)设复数z = lg(m2 - 2m 2) + (m2 + 3m + 2)i,当实数m取何值时.(l)z是纯虚数.(2)z是实数.(3)z对应的点位于复平面的第二象限.fig m2 _2m 2 =0,解析由题意知0 QLm2 + 3m -2*0.解得m = 3.所以当m = 3时，z是纯虚数.(2)由 m2 + 3m + 2 = 0,得 m = -1 或 m = -

20、2,又 m = -1 或 m= -2 时，m2 2m -2>0t所以当m = -l或m = -2时，z是实数.1g m2 -2m 2 <0, 由.m2 + 3m + 2>0.m2 -2m -2>0即 m2 2m 3<0.m2 + 3m + 2>0解得：一小或所以当一或l+/<m<3时，z对应的点位于复平面的第二象限.1 120.体小题满分13分)在AABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若不+定3=在不，试问A, B, C是否成等差数列，若不成等差数列，请说明理由若成等差数列， 请给出证明.解析A、B、C成等差数列.证明如下：113* a + b+b+c a + b + c'a + b + c a + b+c'a + b + b+c =3. c a* *a + bb + c 1':.c(b + c) + a(a + b) = (a + bnb+c), ，b2 = a2+c2 - aC.在AABC中，由余弦定理，得a2 + c2b2 ac 1COS B = Z = T,zac zac 2V00<B<180%，B=600./. A+C=2B = 120°.:A、B、C成等差数列.21.(本小题满分14分)已知数列an中，Sn是它的前n项和,并且本