高考数学(文)一本策略复习教案：第三讲平面向量Word含解析

1、第三讲平面向量考情分析明确方向V年份卷别考查角度及命题位置命题分析I卷向量的线性运算T71.平向向重是高考必考内谷，每年2018n卷数量积的运算于4每卷均有一个小题（选择题或填空出卷向量共线的坐标运算及应用于13题），一般出现在第37题或第1315题的位置上，难度较低.主要考I卷向量垂直的应用T 13查平面向量的模、数量积的运算、2017n卷向量加减法的几何意义于4线性运算等，数量积是其考查的热出卷向量垂直的应用T13与 八、I卷平向向量垂直求参数T 132.有时也会以平向向量为载体，与二2016n卷平向向量共线求参数T13角函数、解析几何等其他知识交汇出卷向量的夹角公式于3综合命题，难度中等

2、.讲练结合考点一平面向量的概念及线性运算授课提示：对应学生用书第 25页悟通 方法结论如图，A, B, C是平面内三个点，且 A与B不重合，P是平面内任意一点，若点 C在直线AB上，则存在实数 入，使得PC=疝A+ （1 APB.该结论比较典型，由此可知：若 A, B, C三点在直线l上，点P不在直线l上，则存在入C R,使得PC= 商+（1 - 2）PB.注意：这里RA,说的系数之和等于 1. 特殊情形：若点 C为线段AB的中点，则PC = 2（PA+PB）.全练一一快速解答1. （2018高考全国卷I ）在 ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB =a.3ab-4yaCB.

3、AB-AC443f 1 c.4AB+ 4ac13 一D.4AB+4AC解析：作出示意图如图所示. 口 1 -1 -EB= ED + DB=)AD +CB1 1 一 31 一 一=2 X 2(AB + AC) + 2 (AB AC)AED C=3Ab-1Ac.44故选A.答案：A2.如图，在直角梯形 ABCD中,DC = 1AB, Eb1 = |Ec,且AE=rAB + sAD,贝U 2r+3s 4=()B . 2A. 1C. 32(AD + iDc)=1Ab+ 33|(AD + 4>ab)=I>Ab + |AD.解析：根据图形，由题意可得 Ae = Ab+bE = Ab + 2bc

4、 = Ab+|(bA+>AD+dC)=>ab + 33310因为 AE=rAB + sAD,所以 r = 1, s=2,则 2r+3s= 1 + 2=3,故选 C. 23答案：C3. (2018西安三模)已知O是平面上的一定点，A, B, C是平面上不共线的三个点，动点p满足OP = OA+ xAb+Ac),代0, +oo),则动点p的轨迹一定经过 abc的()B.内心A.夕卜心C.重心解析：设 bc 的中点为 d,则由 OP=OA+xAfe+AC),可得AP= nAB + AC)= 2?aD, 所以点P在 ABC的中线AD所在的射线上，所以动点P的轨迹一定经过 ABC的重心.故选

5、C.答案：C4. (2018 高考全国卷出)已知向量 a=(1,2), b= (2, 2), c= (1 ,“ 若 c/(2a+b), 贝U七.1解析：2a+b=(4,2),因为c/ (2a+b),所以4壮2,得 上2.1答案：2【类题通法】1.记牢2个常用结论1(.ABC中，AD是BC边上的中线，则 AD=2(AB+AC).(2)AABC 中，。是4ABC 内一点，若 OA + OB + (OC= 0,则。是4ABC 的重心.2 .掌握用向量解决平面几何问题的方法(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题 转化为向量问题.(2)通过向量运算，研究几何元素之

6、间的关系，如平行、垂直和距离、夹角等问题.(3)把运算结果“翻译”成几何关系.考点二平面向量的数量积授课提示：对应学生用书第26页悟通一一方法结论3 .平面向量的数量积运算的两种形式(1)依据模和夹角计算，要注意确定这两个向量的夹角，如夹角不易求或者不可求，可 通过选择易求夹角和模的基底进行转化；(2)利用坐标来计算，向量的平行和垂直都可以转化为坐标满足的等式，从而应用方程 思想解决问题，化形为数，使向量问题数字化.4 .夹角公式a b _xx2 + y1y2cos 0=间同=2ry2 vxiryi.5 .模iai=va2= W+y2.6 .向量a与b垂直？ a b= 0.全练一一快速解答1.

7、 （2017高考全国卷n ）设非零向量a, b满足|a+b|=|ab|,则（）A. a±bB. a= |b|C. all bD. |a|>|b|解析：依题意得（a+b）2（ab）2=0,即 4 a b=0, a± b,选 A.答案：A ，一， 9 . 一一2. （2018西安八校联考）在4ABC中，已知AB AC=2，|AC|=3, |AB|= 3, M, N分别是BC边上的三等分点，则 AM AN的值是（）11 A.B.132C. 6解析：不妨设 Am = 2Ab+"Ao, AN = 1AB+ 2AC,所以 AM An= c|Ab + Ac) ("

8、;Ab+IAc)2 + |aB AC + |AC2=言晶2+AC2) + 9aB AC = |x (32 + 32) + 9x-2= 123,故选 B.答案：B3. （2018山西四校联考）已知|a|=1, |b|= 如 且a±（a-b）,则向量a与向量b的夹角 为（）兀A.67tB.47tC.- 3d 2-解析:-1 a±(a b), : a (ab)= a2a b= 1也cosa, b> =0, cosa, b=*,a, b>%4.答案:4. （2018合肥一模）已知平面向量 a, b满足|a|=1, |b|= 2, |a+b|=V3,则a在b方向上的投影等

9、于解析：. |a|=1, |b|=2, |a+b| = m，(a+b)2= |a|2+|b|2+2a b= 5+2a b= 3, a b=-1, a在b方向上的投影为 雪=-1.|b|2【类题通法】快审题1 .看到向量垂直，想到其数量积为零.2 .看到向量的模与夹角，想到向量数量积的有关性质和公式.避误区两个向重夹角的范围是0 , nt,在使用平向向重解决问题时要特别注息网个向量夹角可能是。或兀的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不仅要求 其数量积小于零，还要求不能反向共线.讲练结合考点三平面向量在几何中的应用授课提示：对应学生用书第26页悟通 方法结论破解平面向量与“解析几何”相交汇问题的

10、常用方法有两种：一是“转化法”，即把平面向量问题转化为解析几何问题，利用平面向量的数量积、 共线、垂直等的坐标表示进行转化，再利用解析几何的相关知识给予破解；二是“特值法”，若是选择题，常可用取特殊值的方法来快速破解.典例（2017高考全国卷H ）已知 ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA (PB+PC)的最小值是()3A. -2B.-C. qD . 13选择B.解析：如图，以等边三角形 ABC的底边BC所在直线为x轴，以 BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系， 则A(0, V3), B(-1,0), C(1,0),设 P(x, y),则 PA=( x, V3-y),

11、 PB=(-1-x, -y), PC = (1-x, y),所以 PA (PB+PC)=( x, V3 y) ( 2x, - 2y)=2x2 +三 f一一 -一 一PA （PB +PC）取得最小值，为答案：B（2）（2017高考全国卷出）在矩形ABCD中，AB=1, AD = 2,动点P在以点C为圆心且 与bd相切的圆上.若 Ap=入AB+科AD,则 正科的最大值为（）A. 3B. 2V2C.乖D. 2解析：以A为坐标原点，AB, AD所在直线分别为 x, y轴建立如图17-女所示的平面直角坐标系，叭!/ 则 A(0,0), B(1,0), C(1, 2), D(0,2),可得直线 BD 的方

12、程为 2x+y2=0,点 C 到直线 BD 的距离为1以 二尸飞,圆 C: (x 1)2 + (y 2)2=*, / W+22 V5543 工2 55 cos °= %2 .55 sin 9= 2 内因为 P 在圆 C 上，所以 P，1+255cos 2 2+ ¥sin Bi, AB=(1,0), AD=(0,2), AP= XAB +-1 +A AD = （A 2力，所以彳.2 +、 c 2 ；5 八 5 .计 尸2 + -5-cos。+ sin。= 2+ sin（ 0+（j） 3, tan（j）= 2,选 A.答案：A【类题通法】数量积的最值或范围问题的2种求解方法临界

13、分析法：结合图形，确定临界位置的动态分析求出范围.(2)目标函数法：将数量积表示为某一个变量或两个变量的函数，建立函数关系式，再利用三角函数有界性、二次函数或基本不等式求最值或范围.练通一一即学即用1. (2018南昌调研)如图，在直角梯形 ABCD中，DA = AB=1,BC= 2,点p在阴影区域(含边界)中运动，则PA命的取值范围是()C. -1,1D. -1,0解析：二.在直角梯形 ABCD中，DA = AB=1, BC= 2,BD =也.如图所示，过点 A作AOXBD,垂足为 O,则 PA=PO+OA, OA BD = 0, . PA BD = （PO + OA） BD = PO BD

14、.，当点P与点B重合时，PAbd取得最大值，即 PA BD =PO BD=1x或x&1；当点P与点D重合时，PA BD取得最小值,即 bD=- 2Xq 小一 i.，晶bD的取值范围是1,1.答案：C2. （2018辽宁五校联考）一条动直线l与抛物线C: x2 = 4y相交于A, B两点，。为坐标 原点，若AB=2AG,则（OAOB）授课提示：对应学生用书第117页一、选择题 (2018郑州一模)已知向量a, b均为单位向量，若它们的夹角为60?,则a+3 b|等于()A. . 7B. . 10C.V13D. 4解析：依题意得 a b= 2, |a+3b| = ：a2 + 9b2+6a

15、b =巾3,故选 C.答案：C 、71 、I 北北 - (2018石家庄模拟)在 ABC中，点D在边AB上，且BD = 2DA,设CB = a, CA= b,则CD=()A.1a + 2 bB.2a+1 b333 3C.3a +4bD.4 a+|b555 5 4OG2的最大值为（）A. 24B. 16C. 8D. - 16解析：由 AB=2AG 知 G 是线段 AB 的中点，.OG=-1（oA+OB）,（OA-OB）2-4C）G2 =（OAOB）2（OA+OB）2=4OAOB.由a, B是动直线l与抛物线C: x2=4y的交点，不妨 222 2设 A（x1，箕 B（X2，箕，一4oA OB =

16、 -4（x1X2+ 篝）=4（华 + 2）24= 16 -4（著 十2）16,即（OAOB）2 4OG2的最大值为16,故选B.答案：B端技巧：；鼻疔法提升能力解析：(5d = ca+/ad = ca+|ab = ca+|(/ac + cb)=ca+|cb=1 b+|a,故选 B. 333333答案：B3.设向量 a=(1, m), b=(m1,2),且 ab,若(a- b)±a,则实数 m=()1 1A.-B.-2 3C. 1D. 2解析：因为 a=(1, m), b= (m- 1,2),且 awb,所以 a-b= (1, m)- (m- 1,2)= (2-m, m 2),又(a

17、b)Xa,所以(a b) a = 0,可得(2 m)x 1 + m(m -2)= 0,解得 m= 1 或 m= 2. 当m = 2时，a=b,不符合题意，舍去，故选 C.答案：C .一.f ML HL _ f f _ i 4. (2018 南宁模拟)已知 O 是ABC 内一点，OA+OB+OC=0, AB AC=2 且/ BAC= 60?,则 OBC的面积为()A.-33B. . 332C.-D-23解析：.OA+Ob+Oc=0,O 是 4ABC 的重心，于是 Sa OBC = g& ABC.3一一 2 1 一 ，2,1 7 ABAC = 2, |AB| |AC|cos/BAC=2,

18、./BAC=602 |AB|AC|=4.又:abc = |AB| |AC|sin/BAC=/3,. OBC 的面积为 号,故选 A.答案：A5. (2018沈阳模拟)已知平面向量a=(-2, x), b= (1, 73),且(a- b)±b,则实数x的 值为()A. - 2-73B. 2V3C. 4mD. 6m解析：由(ab)，b,得(ab)b=0,即(一3, x-<3) (1 , 3)= - 3+<3x-3= 0,即J3x=6,解得x=2娟，故选B.答案：B6 . (2018洛阳模拟)已知向量a=(m,2), b=(3, 6),若|a+ b|= |a- b|,则实数 m

19、的值 是()A. - 4B. - 1C. 1D. 4解析：由|a+b|=|ab|,两边平方整理得 a b=0,即3m12=0,故m=4,故选D.答案：D7 .已知a, b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足（a- c） （b- c）= 0,则|c|的最大值是（）A. 1B. 2C.2D . -22解析：因为 |a|=|b|=1, a b= 0,（a-c） （b-c） = - c（a+ b）+ |c2 = - |c|a+ b| cos 0+ |c|2= 0,其中。为 c与 a+ b的夹角，所以 |c|= |a+b|cos e =串 cos （X42,所以|c|的最大值是，2.答案：C8.

20、 （2018抚州二模）已知a, b是两个互相垂直的单位向量，且ca=1, cb=1, |c|=正, 1则对任意的正实数 t, c+ ta+-b的最小值是（）A. 2B. 2V2C. 4D .4.21 99 99 1o _21 12_1斛析：c+ta + ,b =c+t a+E + 2ta c+ -c b+ 2ab=2+ t+/+2t+1>2+2t 不 + 2、J2"| = 8（t>0）,当且仅当t2=p, 2t = 2,即t = 1时等号成立，|c+ta+|b|的最小值 为 2 12.答案：B9. （2018广西五校联考）设D是4ABC所在平面内一点，AB=2DC,则（）

21、A.bD = AC 强B.BD =|aC->AB-Abc.bd =D.BD-Ac-1 蔡AC AB 2解析：Bd = bc+（5d = bc DC=ACAB 照=启一强.答案：A10. 在？ABCD 中，|AB|=8, |AB|=6, N 为 DC 的中点，BM = 2rMC,则疝谛=（）A. 48B . 36C. 24D . 12解析：AM inm =（Ab+bm）（inc +（cM）=（Ab+|yad）（2ab-3>ad）= '1Ab2-9;ad2=2><82-X 62=24.答案：C11. （2018渭南瑞泉中学五模）如图，点P在矩形ABCD内，且满足/

22、DAP = 30?,若 |AD|=1, |aB|=V3, AP=m/AD+ nAB（m, nC1A3C.r），则m等于（）B.3D. .3解析：如图，考虑特殊情况，假设点 P在矩形的对角线 BD上，由题意易知|DB|=2, /ADB = 60?,又 / DAP = 30?,所以/ DPA= 90?.由 |AD|=1,可得 |dP昌=4|dB|,从而可得京=海+1AB.又晶交好+门危所以m=； n = ：，则m=3.故选B.14答案：B .一 f 一 .、=it ,. _、二t 二±12. (2018 东北四市模拟)已知向重 OA= (3,1), OB=(1,3), OC= mOA n

23、OB(m>0, n >0),若m+n=1,则|OC|的最小值为(B.5AqC. 5解析：由OA=(3,1), Ob=(-1,3),得 OC=mOAnOB=(3m+n, m-3n),因为 m+n = 1(m>0, n>0),所以 n=1m 且 0V mv1,所以 OC= (1 + 2m,4m3),则 |OC|= M(1 + 2m2+(4m-3j = >/20m2-20m+ 10 = "j20( m2f+5(0vmv1),所以当m =；时，|OC|min=近.答案：C二、填空题13. （2017高考全国卷I ）已知向量a=（1,2）, b=（m,1）.若向量a+b与a垂直，则m解析：因为 a+b=（m1,3）, a+b与 a 垂直，所以（m1）x （ 1）+3X 2= 0,解得 m=7.答案：714. （2018惠州模拟）在四边形ABCD中，AB= DC, P为CD上一点，已知|AB|=8, |AD |=