造桥选址问题的拓展

1、_造桥选址问题的拓展利用平移变换进行造桥选址，是平移变换的一个重要应用。下面就课本中一道习题，加以拓展探究，我们可发现其一般规律。一、原题再现如图 1， A 和 B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN 。桥造在何处才能使从 A 到 B 的路径 AMNB 最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）。（人教课标七年级下册2007 年第二版 37 页第 7 题）分析：由于河岸宽度是固定的，造的桥要与河垂直，因此路径AMNB 中的MN 的长度是固定的。我们可以将点 A 沿与河垂直的方向平移MN 的距离到 A1，那么为了使 AMNB最短，只需 A1 B 最短。根据两点之间距离最短，连接A1

2、B，交河岸于点 N，在此处造桥 MN ，所得路径 AMNB 就是最短路径。如图2。精品资料_证明：如图 3，如果在不同于MN 的位置造桥 M1 N1 。由于 M1 N1=MN=AA 1；又根据“两点之间，线段最短”。可知，AN 1+N 1B A 1N+NB 。所以，路径 AMNB 要短于 AM 1N1 B。二、拓展应用拓展 1：如图 4，如果 A、 B 两地之间有两条平行的河，我们要建的桥都是与河岸垂直的。我们如何找到这个最短的距离呢？方法 1：仿照上例，可以将点A 沿与河垂直的方向平移两个河宽分别到到A1、A2，路径中两座桥的长度是固定的。为了使路径最短，只要A2B 最短。连接 A2B，交河

3、流 2 河岸于 N，在此处造桥 MN；连接 A1M，交河流 1 河岸于 P，在此处造桥 PQ 。所得路径 AQPMNB 最短。方法 2：此题还可以用以下方法来确定建桥位置。精品资料_如图 6，将点 A 沿与第一条河流垂直的方向平移一个河宽到A1，将 B 沿与第二条河垂直的方向平移一个河宽到B1 ，连接 A1B1 与两条河分别相交于N、P，在 N、P 两处，分别建桥 MN 、PQ ，所得路径 AQPMNB 最短。拓展 2：如图 7，如果 A、 B 之间有三条平行的河流呢？方法 1：仿照拓展二方法1 ，将点 A 沿与河垂直的方向平移S 三个河宽分别到到 A1 、A2、 A 3，路径中三座桥的长度是

4、固定的。为了使路径最短，只要A3B最短。连接 A3B ，交河流 3 于 N，在此处造桥 MN ；连接 A2N ，交河流 2 于 P，在此处造桥 PQ ；连接 A1Q ，交河流 1 于 R，在此处造桥 RS 。所得路径 ASRQPMNB最短。精品资料_方法 2：此处还可以先将A 沿与河流 1 河岸垂直的方向平移两个单位到A1 、A2，再将 B 沿与河流 3 河岸垂直的方向平移一个河宽到B1 ；或先将 A 沿与河岸垂直的方向平移1 个单位到 A1 ，再将 B 沿与河岸平移 2 一个河宽到 B1 、B2，来选择修桥位置。（请同学们自己画出图形。）拓展 3：如图 9，如果在上述条件不变的情况下，两条河

5、不平行，又该如何建桥？方法 1：如图 10 ，先将点 A 沿与河流 1 河岸垂直的方向平移一个河宽到A1，再沿与河流 2 河岸垂直的方向平移一河宽到A2 ，连接 A2B，交河流 2 河岸于 N，此处建桥 MN ；连接 A1M，交河流 1 于 P，在此处建桥 PQ 。所得路径 AQPMNB最短。方法 2：也可以将 A 沿与河流 1 垂直的方向平移1 个河宽，得到 A1 ，再将 B沿与河流 2 河岸垂直的方向平移1 个河宽得到 B1，连接 A 1B1 与河流 1、河流 2分别相交于 N、P，分别作桥 MN、PQ 。所得路径 AQPNMB 最短。精品资料_由以上拓展，我们不难体会到，造桥选址问题，要使所得到的路径最短，