高考文科数学(北师大)一轮复习课件：选修4系列选修4-4

1、知识梳理选修4 一 4坐标系与参数方程必备知识预案自诊关键能力学案突破1 平面直角坐标系中的伸缩变换 设点P(x,y)是平面直角坐标系 中的任意一点，在变换7:M »畅作用下，点叫)对应到点叫必称口为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.必备知识预案自诊 关犍能力学案突破-3知识梳理2 极坐标系与极坐标（1）极坐标系:如图所示，在平面内取一个 定点0叫做极点， 自极点0引一条射线因叫做极轴;再选定一个2度单位，一个鱼 度 单位（通常取 弧度）及其正方向（通常取 逆时针 方向）， 这样就建立了一个极坐标系.极坐标：设M是平面内一点，极点。与点M的离ICML叫做点M的极径，记为尸

2、：以极轴Ox为始边射线0M为终边的角叫做点M的极角.记为0 有序数对（叫做点M的极坐标.i己为M (p®必备知识预率自诊关键能力学案突破知识梳理3 极坐标与直角坐标的互化设点P的直角坐标为(心)，它的极坐标为小0)互化的前提条件互化公式(1)极点与原点重合；(2)极轴与x轴非负半轴重合；(3)取相同的长度单位X = PCOS,（V = DSH16.VA/ /7d2 _b2 . -2（cy0）把直角坐标转化为极坐标时，通常有不同的表示法(极角相差2 兀的整数倍)一般取“20,0日0,2兀)知识梳理4 直线的极坐标方程(1)若直线过点飕粉且从极轴到此直线的角为血则它的方程为:psin(O

3、 a)= (2)几个特殊位置的直线的极坐标方程：直线过极点:&二%和6二兀+弘直线过点M(a , 0),且垂直于极轴:qcos 直线过M(b ,分且平行于极轴：psin 0=b .5 .的极坐标方程若圆心为MS。，%),半径顺则呈为伏2Popcos(&-&o)+尿於二0(2)几个特殊位置的的极坐标方程：H1心位于极点，半径为r. p-r :圆心位于M(a , 0),半径为u:p= 圆心位于M(a,芋)半径为:Q= 2asin 0.知识梳理6 曲线的参数方程定义:在平面直角坐标系丸中，如果曲线上任意一点的坐标兀y都是某 个变数/的函数$二产”、并且对于r的每一个允许值,上

4、式所 (y = 9(0确定的点M(xD都在这条曲线上，则称上式为该曲线 的参数方程, 其中变数力称为参数过点Podo,yo),且倾斜角为的直线的参数方程为£二；仃；B;乞为参数浪的几何意义是直线上的点尸到点Po(xo,yo) 的数量，即"I 二出方可正，可负.使用该式时直线上任意两点 尸1中2对应的参数分别为nd则阅尸川="77%的中点对应的参 数1为尹1+-知识梳理数）数）.x = a rcosO,y+ rsin3 （。为参。为参数）.(&为必备知识预案自诊关键能力学案突破考点自诊1 判断下列结论是否正确，正确的画“*错误的画“X,(1)在伸缩变换下，直

5、线仍然变成直线，圆仍然变成圆.(X)(2)点P在曲线C上，则点尸的极坐标一定满足曲线C的极坐标方程.(X)(3)如果点尸的直角坐标为匹)，那么它的极坐标可表示为R9(4)参数方程为参数)所表示的图形是直线.(V ) (5)圆心在极轴上的点,0)处，且过极点0的圆的极坐标方程为p=2asin 0.( X )考点自诊2直线/的参数方程为 蕉瞪获为参数），则/的倾斜角大小为（C）D.=6A- 62KCT解析就二舄可以得到直线的方程为尸E所以直线/的斜率为一箱, 倾斜角为罟，故选C知识梳理考点自诊3在极坐标系S中，方程二2sin&表示的圆D)TO-ABC解析：由题意得，方程”2sin0表示以（

6、令圆心，半径为1的圆，故选D.4在极坐标系中，直线唯方程为9sin*3,则点（2,劄直线伯勺距离 为2 解析：sin 0=3, /.它的直角坐标方程为尸3 又点8?）的直角 坐标为（馅，1），由点到直线的距离公式得d=134=2,故答案为2.-13-必备知识预案自诊关键能力学案突破考点自诊5.(2018全国1,文22)在直角坐标系xOy中，曲线的方程为y=kx+2.以坐标原点为极点丸轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为/?2+2pcos 0-3=0.(1)求C2的直角坐标方程；(2)若G与有且仅有三个公共点，求G的方程.解 由X=QCOS 6, y=psm0得C?的直角坐标方程为(八

7、+l)2+y2=4.由知C2是圆心为A(-l,0),半径为2的圆.由题设知,G是过点3(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边 的 射线为心轴左边的射线为4由于在圆C?的外面，故Ci与C?有且 仅有 三个公共点等价于么与C2只有一个公共点且2与C2有两个公共 点, 或小与C2只有一个公共点且么与C2有两个公共点.必备知识预案自诊关键能力学案突破考点自诊当h与C2只有一个公共点时4到Zi所在直线的距离为2,所以 4 分=2,故身或比二0经检验，当时Ji与C2没有公共点；当E3 3 时1与C2只有一个公共点2与C2有两个公共点., 当与C2只有一个公共点时4到所在直线的距离为2,所以-故4=

8、0或经检验，当时Ji与C2没有公共点；当月 一 时血与C2没有公共点.综上，所求Ci的方程为尸以“2-#-必备知识预案自诊I关犍能力学案突破考点1参数方程与极坐标方程间的互化例八(2016全国1,文23)在直角坐标系xOy中，曲线C】的参数方程为； =(/为参数,a>0).在以坐标原点为极点轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：/)=4cos a(1)说明G是哪一种曲线，并将G的方程化为极坐标方程；(2)直线C3的极坐标方程为扫他，其中他满足伽他二2,若曲线G与C? 的公共点都在C3上，求-15-必备知识预案自诊I关键能力,学案突破考点1解消去参数r得至U G的普通方程以+少1 ) 2二

9、0心是以(0,1)为圆心心为半径的圆.x=pcos 3, y=psin &代入C的普通方程中，得到C的极坐标方 程为 p2-2psin O+1-a =0.2(2)曲线GC的公共点的极坐标满足方程组pPpsinO+7-=0,p =4cos0若/)盘0,由方程组得16cos2A-8sin Ocos0+1 -a=0,由已知 tan &二 2,可得 16cos2八-8sin Ocos 0 二 0,从而二0,解得a二 1 (舍去)©二1.-#-当“二1时，极点也为CbC2的公共点，在C3上，所以d二1.考点1解题心得1无论是参数方程化为极坐标方程，还是极坐标方程化 为参数方程，

10、都要先化为直角坐标方程，再由直角坐标方程化为需 要的方程.2.将参数方程化为直角坐标方程的过程就是消去参数的过程，常 用的消参方法有代入消参、加减消参和三角恒等式消参等,往往需 要对参数方程进行变形，为消去参数创造条件.-17-必备知识预案自诊I关犍能力学案突破考点1对点训练1(2019届广东六校第一次联考,22)在平面直角坐标系中，将 曲线G向左平移2个单位，再将得到的曲线上的每一个点的横坐 标保持 不变，纵坐标缩短为原来的，得到曲线以坐标原点O为极点丸轴的正半 轴为极轴，建立极坐标系,C 的极坐标方程为p=4cos(1)求曲线C2的参数方程；(2)已知点M在第一象限，四边形腕也是曲线的内接

11、矩形，求内接矩 形周长的最大值，并求周长最大时点M的坐标.T7-关键能力学案突破、考点1考点2考点3考点4考点5解（1）由 p=4cos a 得 p2=4pcosa.将.以+代代入，Vpcosa - %,_ , 整理得曲线Ci的普通方程为（x-由题可知坐标变换为X2, 2） 2?=4,设曲线Ci上的点为（玖1 1 y二尹，代入曲线Ci的普通方时,变换后的点为（知）.程，整理得y2曲线C2的普通方程为丹2丸 即v = 2y:曲线C2的参数方程为 某崎为参数）考点1考点2考点3考点4考点5设四边形 仞俨。的周长为公设点M(2cos Asin 6»)(0<6><A), Z

12、=8cos&+4sin &二 4 岳(南午 os 0+A : sin &)=4VAsin(&+0), 1 2且 cosO iWj, smO 一 局，求距离的最值例2 （2017全国1,文22）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为, ：舄为参数），直线/的参数方程为; = 4f，（?为参 数）若求C与1的交点坐标；若。上的点到了的距离的最大值为VI7求a.考点1 考点2考点3考点4考点5y2解曲线C的普通方程为吕+尸二，当a=-1时，直线/的普通方 程为 x+4y-3=0.21 %=-25924x+ 4y-3 = 0, 忆?解得(2)直线/的普通方程为x+4y

13、 4=0,故C上的点(3cos <9,sin 0)到/的 距离为二更管心.当时。的最大值为需.由题设得酹二VIZ所以*8;当时0的最大值为需.由题设得需二VTZ所以a=-16.综上皿二8 或 a=-16-必备知识预案自诊I关键能力,学案突破-#-考点2解题心得1 求点到直线距离的最大值，一般利用曲线的参数方程 及 点到直线的距离公式把距离最值转化为三角函数求最大值.2 求三角形面积最值时，若其中一边的长为定值，三角形面积最值 可转化为距离最值.必备知识预案自诊I关键能力学菜突破-23-考点2对点训练2（2018广东东莞考前冲刺,22）在平面直角坐标系中，圆C 的参数方程为：二2sinfo

14、sa,（ct为参数）以坐标原点为极点仇 轴的正半 轴为极轴建立极坐标系，直线I的极坐标方程为psin。）-止1 2-（1）求圆C的普通方程和直线/的直角坐标方程；（2）若直线/与圆C交于40两点，M是圆C上不同于40两点 的动 点，求加仿面积的最大值.-24 -关键能力学案突破、考点1考点2考点3考点4考点5解 圆C的普通方程为(x-l)2+y2=4,直线/的方程可化为psin& pcos a=a/2- 1,即直线/的直角坐标方程为x-y+V2-l=0.(2)圆心C到/的距离为民竺押=1,所以 IABI =2/4-1-1=273,又因为圆C上的点到直线/的距离的最大值为r+J=2+l=

15、3,所以(SAM4B)max 今 x |题 x3 =Ix2a/3 x3 = 3a/3,即aMAB面积的最大值为3V3.考点3求平面图形面积的最值例3 （2017全国2,文22）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点丸轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线G的极坐标方程为夕cos0=4.（1） M为曲线C上的动点，点P在线段OM上,且满足|的8| 二16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程；设点A的极坐标为（2,善），点B在曲线上，求ZSOAB面积的最 大 值.必备知识预案自诊关键能力学案突破-27-考点3解 设P的极坐标为s , &)s>o),M的极坐标为sj ) (Q>0)-由 题

16、设知 OP=p, OM=pi=.由IOMI IOPI = 16得C2的极坐标方程p=4cos &(/?>0) 因此C2的直角坐标方程为02)2+尸=4(君0)设点8的极坐标为血皿)血>0)由题设知IOAI二2妙二4cos a ,于是OAB面积S=-0A-ps" 7ZA0B 二 4cos Sn(弓乙=2lsin(2a-y)-yl<2+V3.当十二时,S取得最大值2+V3.所以Q4B面积的最大值为2+V3.必备知识预案自诊关犍能力学案突破必备知识预案自诊I关键能力学菜突破27解题心得1 对于极坐标和参数方程的问题,既可以通过极坐标和 参数方程来解决，也可以通过直

17、角坐标解决，但大多数情况下，把 极 坐标问题转化为直角坐标问题，把参数方程转化为普通方程更有 利 于在一个熟悉的环境下解决问题这样可以减少由于对极坐标和 参数方程理解不到位造成的错误.2 解决与夹角有关的问题（如三角形面积），有时利用极坐标更 方便.考点3对点训练3在直角坐标系兀Oy中，直线C“=2圆C2 : (r 1)2+© 2)2=1,以坐标原点为极点丸轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求Cl , C2的极坐标方程；若直线C3的极坐标方程为(peR),设C2与C3的交点为MJ求 ZkCzM”的面积.解(1)因为 x=pcos 0. y=psin 0,所以Ci的极坐标方程为pco

18、s 0=2,C2的极坐标方程为p2-2pcos 6»-4psin 0+4=0.将 0 二牛代入 p2-2pcos 0-4psin &+4 二 0,得 p2-3V2p+4=0,解 得 p 二2迈,p2二返故 p-p2=y/2, MN = a/2.-31-因为C2的半径为1,所以“咖的面积为扎考点42_1_/-(X = -2 +111.7, %为参求动点轨迹的方程例4（2017全国3,文22）在直角坐标系x分中，直线川的参数方程为（：数）设Zi与方的交点为P,当A变化时的轨迹为曲线C.数），直线h的参数方程为m （m为参”（y = t写出C的普通方程；（2）以坐标原点为极点，兀轴

19、正半轴为极轴建立极坐标系，设z3 : p(cos O+sin gUM为L与C的交点，求的极径关键能力学案突破、考点4-29 -解 消去参数方得力的普通方程川：y=k(x-2) 消去参数加得Z2 的普通方程?2 : T=扣+2).(y =fc(x-2),设弘必由题设得r一小(y =、+ 2).消去k得戈一二4。八0).所以C的普通方程为-=4(y0). (2)C的极坐标方程为p2(cos20- sin20)=4(0v0v2 兀毋兀).联立 W2(cos2 0-sin2 0) = 4,lp(cos0 + sinO)-V2 = 0,得 cos &-sin 0=2(cos &+sin

20、&) 1Q1故 tan &二号从而 cos2/9=一sin2(9=一.代入 p2(cos2A-sin2A)=4 得 p=5, 所以交点M的极径为岳.考点4解题心得在求动点轨迹方程时，如果题目有明确要求，求轨迹的 参数方程或求轨迹的极坐标方程或求轨迹的直角坐标方程,那么就 按要求做;如果没有明确的要求，那么三种形式的方程写出哪种都 可，哪种形式的容易求就写哪种.-#-必备知识预案自诊关键能力学案突破考点4对点训练4（2018全国3,文22）在平面直角坐标系xOy中QO的 参数方程为点-；篇（。为参数），过点Q-V2）且倾斜角为a的直线/ 与oo交于A0两点.（1）求Q的取值范围；

21、（2）求中点P的轨迹的参数方程.必备知识,预案自诊|关键能力,学案突破考点4解（1） 00的直角坐标方程为4+六L当二寸时J与00交于两点.当佑可时，记tan 则/的方程为y=kx-y/2,/与oo交于两点当且仅当L旦VI ,解得AG7或£>1 ,即 （讨）或综上,a的取值范围是必备知识预案自诊I关犍能力学案突破考点1 考点2考点3考点4考点5(2”的参数方程为；二舅为参数知令设4用尸对应的参数分别为tAf密 切则 环火且以m满足f2-2V2fsin a+i=于是 tA+tB=2y/2sin a/p=V2sin a.（% = tpcosa, y =-V2+ tpsina.又点尸

22、的坐标（羽y）满足（V2.o所以点夕的轨迹的参数方程是sin2a, V2 V2 qcos2a(a为参数考点5直线参数方程的应用(X = 2+斗匚例5在直角坐标系攻中，直线/的参数方程为 站(r厂丁为参数)，若以该直角坐标系的原点。为极点丸轴的正半轴为极轴建 立 极坐标系，曲线C的极坐标方程为psin26>-4cos 0=0.(1)求直线/的普通方程与曲线。的直角坐标方程；11(2)已知直线/与曲线C交于46两点，设M(2,0),求T :的值.考点540解题心得过定点M(xojo),倾斜角为a的直线/的参数方程为£二：舅%为参数)此时力具有几何意义，代表定点到一动点之间 忒距禺但

23、是需要注意有正负之分.必备知识预案自诊I关键能力学案突破-41 -考点5对点训练5(2018山东日照5月联考，22)在平面直角坐标系兀Oy 中，以坐标原点为极点丸轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 。的极坐标方程为“4cos(&W),直线/过点P(0<a/3)且倾斜角为#(1)求曲线。的直角坐标方程和直线/的参数方程；(2)设直线/与曲线C交于4夕两点，求IPAI + IPB阴值.38-关键能力学案突破、考点5解(1)曲线 C:p 二 4cos(&f 所以 p=4cos &cos l+4sin (9sinl, Jp)t 以 p2=2pcos A+2V3/)si

24、n flip2V3y,得曲线 C 的直角坐标方程为(x-l)2+(y-V3)2=4, x 直线I的参数方程为/o (r为参数).人人y =+ tx =将 2比（/为参数）代入圆的方程，y = -V3 + yt得（|门） 2+ （分2轮）2=4,整理得几7/+9二0,得门+/2=7力口2=9,所以 /1>0 血0 所以 IPAI + IPBI 二 fi+血二 7.要点归纳小结1 .在对坐标系与参数方程的考查中，最能体现坐标法的解题优势，灵 活 地利用坐标法可以使问题得到简捷的解答.例如，将题设条件中涉及的 极坐标方程和参数方程等价转化为直角坐标方程，然后在直角坐标系下 对问题进行求解就是一种常见的解题方法，对应数学问题求解的“