利用导数研究函数的零点

1、利用与数研究函数的零点(求导求出极值，画出函数的草图分析)1.已知曲线c: y1 2-x 2x 1 ,直线 l : y a2(1)若直线l与曲线c有唯个交点，求 a的取值范围；(a若直线l与曲线c有两个不同的交点，求a的取值范围；(a7t 一或a 37t a313一)613一)6(3)若直线l与曲线c有三个不同的交点，求a的取值范围.(13解：令yx 2 (x 1)(x2)0 得 x11,或 x227 (-1,o)2时,y' 0；当 xx 2 时，y' 0.所以g(x)在(1,2)为减函数，在(1), (2,)为增函数.当x 1时，取得极大值ymax ；当x 2时,6取得极大值

2、ymin3 ；713(1)当a 或a 一时，直线l与曲线c有唯个交点；36.713(2)当a 或a 时，直线l与曲线c有两个不同的交点; 36,713(3)当 一a 时，直线l与曲线c有三个不同的交点. 36f(x) = 3/3 :?(2 2?( + 13.2.已知函数 f(x) x 3ax 1, a 1(1)函数y f x的单调区间;(2)若f (x)在x 1处取得极值，直线 y m与y f (x)的图象有三个不同的交点，求 m的取值范围(-3,1)解：(1)f' (x)=3x2-3a=3(x2-a),当 a<0 时,对 xc r,有 f' (x)>0,当a<

3、;0时，f(x)的单调增区间为(一8,+8).当a>0时，由f 由f' (x)<0,解得一g<x<g, .当a>0时，f(x)的单调增区间为 (8,一金)，(/，+°°),单调减区间为(一,，出).(2) -.f(x)在 x=1 处取得极值，. f (-1)=3x(-1)2-3a=0, ,-.a= 1.f(x)=x3-3x- 1, f' (x)= 3x2-3,由 f' (x) = 0 ,解得 x1 = 1 , x2= 1.由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x=- 1处取得极大值f( 1) = 1,在x=1处取得极

4、小值 f(1) = 3；直线y=m与函数y=f(x)的图象有三个不同的交点，结合如图所示f(x)的图象可知：实数 m的取值范围是(一3,1).3.已知函数f(x)1 3-x31 2一 ax22x (a r).(1)当a 3时，求函数y f的单调区间;1 一，一，(2)若过点(0, §)可作函数yx图像的三条不同切线，求实数a的取值范围.(a 2)解：(1)当 a = 3 时，函数 f(x)=-1x3+-2x,得 f'(x)=x2+3x 2 = - (x-1)(x-2). 32f'(x)v0,函数f(x)单调递减.所以当1vxv2时，f'(x)>0,函数f

5、(x)单调递增；当xv 1或x>2时,所以函数f(x)的单调递增区间为(1,2),单调递减区间为(一8, 1)和(2, +oo).,.1 3 a 2(2)设点p(t, t t 2t)是函数y=f(x)图象上的切点，则过点p的切线的斜率k=f'(t)=t2+at 2,32所以过点p的切线方程为y+1t3 -t2 2t=(-t2+at-2)(x-t),32,1,、， 一 11 3 a 222 3 12 1因为点(0,-)在该切线上，所以t3 -t2 2t =( t2+at2)(0 t),即一t3 -at2 0.33 323231211若过点(0,-)可作函数y= f(x)图象的三条不

6、同切线，则函数 g(t)=-t3 -at2 一有三个不同的零点.3323即函数y=g(t)的图象与坐标轴横轴有三个不同的交点.令g'(t)=2t2 at=0,解得t=0或t=821a因为 g(0)=- >0, g(-) 32131a 131ra所以必须 g(l)a 0,即 a>2.2432243所以实数a的取值范围为(2, +oo).则称x0为函数y f(x)的极值点，已知a,b是实数，1和-1是函数f(x) x32ax bx的两个极值点4.(2012江苏)若函数y f (x)在x x0处取得极大值或极小值,(1)求 a和 b 的值；(a 0,b3)(2)设函数g(x)的导

7、函数g'(x)f (x) 2,求g(x)的极值点；(-2是1不是)(3)设h(x) f(f(x) c,其中c 2,2,求函数y h(x)的零点的个数(当c 2时，函数y h(x)有5个零点；当 2 c 2时，函数y h(x)有9个零点)解：(1)由题设知 f' (x)=3x2+2ax+b,且 f' (- 1)=3-2a+b=0, f' (1) = 3+2a+b = 0, 解得 a= 0, b= - 3.(2)由(1)知 f(x) = x33x.因为 f(x)+2=(x 1)2(x+2),所以g' (x)=0的根为x1 = x2=1, x3= 2,于是函数

8、g(x)的极值点只可能是1或一2.当 x< 2 时，g' (x)<0;当一2<x<1 时，g' (x)>0,故一2 是 g(x)的极值点.当一2<x<1或x>1时，g' (x)>0 ,故1不是g(x)的极值点.所以g(x)的极值点为一2.(3)令f(x) = t,则h(x) = f(t)c.先讨论关于x的方程f(x)=d根的情况，dc 2,2.当|d|=2时，由(2)可知，f(x)=2的两个不同的根为1和一2,注意到f(x)是奇函数，所以f(x) = 2的两个不同的根为一1和2.当|d|<2 时，因为 f(-1

9、)-d=f(2)-d=2-d>0, f(1)d = f(2) d= 2 d<0 ,所以一2, 1,1,2 都不是 f(x) = d 的根.由(1)知 f' (x)=3(x+ 1)(x-1).当xc (2, +8)时，f，(x)>0,于是f(x)是单调增函数，从而 f(x)>f(2) = 2,此时可刈=无实根.同理，f(x)=d在(8, 2)上无实根.当x”2)时,f' (x)>0,于是f(x)是单调增函数.又 f(1)-d<0, f(2)-d>0, y = f(x)d的图象不间断， 所以f(x)=d在(1,2)内有唯一实根.同理，f(x

10、) = d在(一2, 1)内有唯一实根.当xc(1,1)时，f (x)<0,故f(x)是单调减函数.又 f(-1)-d>0, f(1)-d<0, y = f(x)d的图象不间 断，所以f(x) = d在( 1,1)内有唯一实根.由上可知：当|d|=2时，f(x) = d有两个不同的根 x1, x2满足|x1|= 1, |x2|= 2;当d|<2时，出*) = 有三个不 同的根x3, x4, x5满足|xi|<2, i = 3,4,5.现考虑函数y= h(x)的零点.当 |c|=2 时，f(t)=c有两个根 t1, t2 满足 |t1|=1, |t2|=2,而f(x

11、)=t1有三个不同的根，f(x)=t2有两个不同的根，故y= h(x)有5个零点.(ii)当冏<2时,f(t)=c有三个不同的根t3, t4, t5满足|ti|<2, i = 3,4,5,而f(x)= ti(i= 3,4,5)有三个不同的根，故y=h(x)有9个零点.综上可知，当|c|=2时，函数y=h(x)有5个零点；当|c|<2时，函数y=h(x)有9个零点. _1 3 1 a 2_._5.已知函数 f(x) -x x ax a, x r,其中 a 0.32(1)求函数y f x的单调区间；1(2)若函数y f x在区间(-2,0)内恰有两个零点，求实数 a的取值范围.(

12、0 a -)3解析：(1)f'(x) =x2+(1 a)xa= (x+ 1)(x- a).由 f'(x)=0,得 x1 = 1, x2= a>0.当x变化时，f'(x), f(x)的变化如下表:x(oo, 1)1(-1, a)a(a, +0°)f'(x)十0一0十f(x)z极大值极小值z故函数f(x)的单调递增区间是(一8, 1), (a, 十°°)；单调递减区间是(一1, a).(2)由(1)知f(x)在区间(2, 1)内单调递增，在区间(一1,0)内单调递减，从而函数f(x)在区间(2,0)内恰有两f( 2) 0人工 ，1

13、一1个零点.当且仅当 f( 1) 0 解得0<a<-.所以，a的取值范围是(0,-)33f(0) 06.已知函数f(x) x2 aln x在(1,2是增函数，g(x) x ajx在(0,1)为减函数(1)求函数f x、g x的解析式；(求得a 2)(2)求证：当x 0时，方程f(x) g(x) 2有唯一解.解：(1)f' (x)=2x a,依题意 f' (x)>0, xc (1,2,即 aw2x2, xc(1,2.x又g;上式恒成立，a<2xc (0,1),(x)= 1尸,依题意 g' (x) w 0,2 , x即 a>2qx, xc (0

14、,1).丁上式恒成立，a>2.由得 a= 2. ,. f(x)= x2- 2ln x, g(x) = x 2声.(2)证明由(1)可知，方程 f(x)=g(x) + 2,即 x22ln x-x+2-2=0.设 h(x)=x22ln xx+ 24一2,则 h' (x) = 2x x1+$当 h' (x)=0 时，(浜一1)(2xx+ 2x +4x+ 2) = 0,解得 x= 1.令 h' (x)>0 ,并由 x>0, 解得x>1.令h' (x)<0,由x>0 ,解得0vx<1.列表分析:x(0,1)1(1 , 十00)h&

15、#39; (x)一0十h(x)递减极小值递增可知h(x)在x=1处有一个最小值 0,当x>0且xw1时，h(x)>0, h(x)= 0在(0, + 8 )上只有一个解.即当x>0时，方程f(x)=g(x)+2有唯一解.27 .已知函数 f(x) ax (a r) , g(x) 2ln x(1)讨论函数f (x) f x g(x)的单调性;(2)若方程f(x) g(x)在区间j2,e上有两个不等的实数解，求实数a的取值范围.(代工a -)2 e2 2 ax2 1解：(1)f(x)=ax221n x,其定义域为(0, ),f' (x) = 2ax- = (x>0).

16、x x当a>0时，由ax21>0,得x>士 由 ax2 1<0,得 0<x<-. ,a. a故当a>0时，f(x)的递增区间为16+ 8 ,递减区间为当aw。时，l (x)<0 (x>0)恒成立.故当aw。时，f(x)在(0, + 8)上单调递减.(2)a<1 2 e一一一 x 28 .已知函数f(x) ke x (其中k r , e是自然对数的底数)(1)若k 2,判断函数f(x)在区间(0,)上的单调性;x2),求k的取值范围;(2)若函数f(x)有两个极值点x1,x2 (x)在(2)的条件下，试证明：0 f(x) 1.解：(1)

17、当k2 时,f'(x)2ex 2x2(ex 1) 0 .所以f(x)在(0,)为减函数令 f '(x) kex 2x 0,得 kex,设火)2xt，令 g'(x) e2(1 x)xe显然g(x)在(,1)为减函数,在(1,)为增函数，g(x)在x 1取得最大值为当x 时，g(x)(3)由(2)可知 0x11 x2,由 k2时，g(x) 0 , 0 k 2 e2x1 ,得 f(x1) ke玉 x2 2x1 x2e 10,得 x 1，、，,、2g(x)maxg(1) 一e2(x1 1)1 x1(0,1)0f(x1) 19.(2013湖北卷)已知a为常数，函数f (x) =

18、x(ln x- ax)有两个极值点 x1，x2 (x1 < x?),则一，1(a) f(x1)> 0, f (x2)> - 一2,1f(x,)< 0,f(x2)> -2一、，、1一、，、f (x)< 0, f d) < - (c) f (x1)> 0, f (x2) <2解：令 f '(x) = 1- 2ax + in x = 0 得 a =1+ ln x1+ ln x令 g(x) = , g'(x) =2x2x2- 2(1+ ln x)4x2ln x 2x2 - _ 1一，-1g(x)在(0,1)为增函数，在(1,+ ?)

19、为减函数，在x= 1取得最大值g(1)= 一，一 故选(d) .1当 x? ?时，g(x) ? 0 ,且当 x> 1 时 g(x)> 0.，0< a< -2法一消去参数化为确定的一元函数：函数f (x)的两个极值点为 为，x2 (0 < x1 < 1< x2).1+ ln x _一x一axi = (i = 1,2), f (x-)= x(ln x- - ax1)= 一(ln x - 1)< 022一、八、x2 八，、，、 x 八，、f (x2) = x2 (ln x2 - ax2) = 一 (ln x2 - 1),记 h(x) = (ln x-

20、1) (x > 1)22、1，、1 . 八h'(x) =(1- 1+ ln x) = ln x > 022,、x11 h(x)= x(ln x- 1)在(1,+ ?)为增函数,h(x)> h(1)=-即 f (x2)> 一选(d)222法二消去超越式，化为代数函数式：111- f'()=ln 一 = - ln 2a > 0 ,，函数 f (x)的两个极值点满足：0 v x1 < 1< 一 < x2.2a2a2a222由 1nxi=2axi- 1 (i = 1,2)得 f(x1)x11nxiax1x1(2 axi1)ax1ax1x1

21、x1(ax11) 0210.设函数 f (x) = 2ln( x- 1)- (x- 1).(1)求函数f(x)的单调递增区间;a的取值范围.(2)若关于x的方程f(x)+ x2- 3x- a= 0在区间f(x)内恰有两个相异的实根，求实数2x(x 2) 01解：(1)函数f(x)的定义域为(1,)，令f'(x) 2 (x 1) x 1得1 x 2.，函数f(x)的单调递增区间为(1,2)(2)法一:由 f (x) + x2- 3x- a = 0得 a f (x) x2 3x ln(x1)1.令 g(x)ln(x 1) x 123 x,g'(x)1 (x 1).当2 x 3 时,

22、 x 1x 1g '(x) 0 ;当4 时，g'(x)0.所以g(x)在2,3为增函数，在3,4为减函数.g(2)3,g(3) 2ln4,g(4) 2ln3 g(2) g(4) 2 2ln3 2(1 ln3) 0 - g(2)g(4)故实数a的取值范围为21n3 5 a 2ln2 4.法二f(x)= 2ln(x1)(x1)2, . f(x) + x23x a= 0? x+ a+ 1 -2ln(x- 1 )= 0.2x一 3令 g(x) = x+a+ 1 2ln(x 1). / g z (x) = 1 "= 且 x>1,由g' (x)>0,得x>

23、;3;由g' (x)<0,得1<x<3.，g(x)在区间2,3上单调递减，在区间3,4上单调递增.g 2 >0a+3>0,故f(x)+ x2- 3x-a= 0在区间2, 4内恰有两个相异实根 ？ g 3 <0,a + 42ln 2<0,a+52ln 3>0,解得 21n 3 -5< a<2ln 24.211. (2013惠州一模改编)已知函数f (x) = ax + bx+ 1在x = 3处的切线方程为 y = 5x- 8(1)求函数f(x)的解析式;(2)若关于x的方程f (x)= kex恰有两个不同的实数根，求实数 k的值

24、.解：(1) f '(x) 2ax bx ,f '(3) 6ab 5令 x 3代入 y 5x 8 得切点(3, 7) . 9a 6b 1 7由解得a 1,b1.故所求函数f(x)的解析式为f(x) xyi 2(2)由 f (x) = kex得 kf(x)xe22x x 1x x 1x-.令 g(x) xee令 g'(x) 3 ex 1)(x 1)(x 2)一口彳1l 0 得 1,x2e2当 1 x 2时，g'(x) 0；当 x 1或x 2时，g'(x) 0.1g(x)在(1,2)为增函数；在(，1)、(2,)为增函数.当x 1时，取得极小值g ；当x 2

25、时，取e3得极大值g(2)1；e，当x 1或x 2时，关于x的方程f (x) = kex恰有两个不同的实数根.12.已知函数 f(x)=x3-ax2-bx+a2, x r , a, b 为常数。(1)若函数f(x)在x=1处有极值10,求实数a, b的值；(2)若函数f(x)是奇函数,方程f(x) = 2在xc 2,4上恰有3个不相等的实数解，求实数 b的取值范围；不等式f(x)+2b>0对 xc1, 4恒成立，求实数 b的取值范围。(1) f'(x)= 3x22ax b,由 f(x)在 x=1 处有极值 10,得 f'(1) = 0, f(1)=10。即 32ab=0,

26、 1ab + a-2= 10,解得 a = 3, b=3或 a=4, b=11。经检验，a= 3, b=-3不合题意，舍去。 a = 4, b= 11。(2)由于函数f(x)的定义域为r,由函数f(x)是奇函数，得f(0)= 0,a= 0。由 f(x)=2,得 f(x)-2=0,令 g(x)=f(x)-2 = x3-bx-2,则方程 g(x)=0 在 xc 2,4上恰有 3 个不相等的实数解。g'(x)=3x2b,(i)若b< 0,则g'(x)>0恒成立，且函数g(x)不为常函数，g(x)在区间 2,4上为增函数，g(0)=0,所以，g(x) = 0在区间2,4上有

27、且只有一个实数解。不合题意，舍去。(ii)若b>0,则函数g(x)在区间(-8,yjb上为增函数，在区间(一寸|，、他)上为减函数，在区间(、/3, +丐上为增函数，由方程 g(x)=0在xc 2,4上恰有3个不相等的实数解，可得f( 2) 0,f(占 0,f(4) 0,b解得b5,3,.be (3,531万，0,2 ,总存在x20,2 ,使由不等式 f(x) + 2b>0,得 x3bx+2b>0,即(x2)bwx3,(i )若 x-2=0 即 x=2 时，bc r；33 -2x2(x- 3)(ii)若 x-2v0 即 xc 1,2)时，b>在区间1,2)上恒成立，令

28、h(x)=，则 b> h(x)max。; h'(x) = (3),，/ x 2x- 2(x-2)2，h'(x)v0 在 xc 1,2)上恒成立，所以 h(x)在区间1,2)上是减函数，h(x)max= h(1) = - 1, /. b>-1ox3(111)若x 2>0即xc (2,4时,bw二在区间(2,4上恒成立,则(x)min。由(11)可知，函数所以h(x)在区间(2,3)上是减函数，在区间(3,4上是增函数，h(x)min=h(3) = 27, bw27。综上所述，b -1, 27。0,2., (i)求 f(x)的值域;132一ax a x,x q2。

29、右对任息x134x13.已知函数 f(x) 2,x3x2 3(n)设 a 0,函数 g(x)f(xi) g(x2) 0,求实数a的取值范围.解：方法一：对函数 f(x)求导，f (x)4 1 x2223(x2 1)2,令 f (x) =0,得 x 1 或 x 1当 x0,1 时，f (x) >0,2f(0) 0,f(1) 3, f(2)f(x)在0,1上单调递增；当 x (1,2)时，f (x) <0, f (x)在(1,2)上单调递减。又815,当x (0,2)时f (x)的值域是方法二：当x 0时f (x)=0；当x(0,2时 f(x)1i ,x 一 ,即x 1 时 f (x)

30、 x43-2的值域是0 2 ；，3(2)设函数g(x)在0,2的值域是a, 对任意xi0,2，总存在x20,2 ,使 f(xi) g(x2)0。0,3当xa,对函数g(x)求导,g (x) a x2(0,2),a 0时，函数g(x)在(0,2)上单调递减,g(0)0,g(2) 3a_ 2_ _ .一2a0, 当x 0,2时，不满足0时，gx 0,2 :(x)0a (x ja)(x 洞，令 g(x)0,230,得xa；ja或xa a (舍去)，g (x)g(x)2时，列表(0, a)02 2 a a3(.a,2)+g(0)0,g( a)0,3a,，g(2)2a22,解得38 a31一 a32 a

31、21.(ii)当 x(0,2),福 2 时,g (x)0,.函数g(x)在(0,2)上单调递减,g(0)0,g(2) 3a 2 a20,，当*0,2时，不满足2 a10- a.综上，实数a的取值范围是一,1 .3314.已知函数f (x)1 2-x aln x (a r), 2(i)若函数f (x)在(1,)为增函数，求a的取值范围；(n)讨论方程 f(x) 0解的个数，并说明理由解：(1)若函数f (x)在(1,)上恒成立。则f (x)a0在(1,)上恒成立, x即：当a2 .a x在(1,)上恒成立。所以有a0时，f(x)在定义域(0,)上恒大于10,此时方程无解;当a 0时,一，、 af

32、 (x) x - 0在(0,)上恒成立，所以x121 二一 、一.一,0, f(ea) -ea 1 0,所以方程有惟一解。2f(x)在定义域(0,)上为增函数。(x a)(x a)2 a x a 当 a 0 时，f (x) x x x因为当x (o,ja)时，f(x) 0, f(x)在(o,ja)内为减函数;当x (ja,)时，f(x)在(ja,)内为增函数。11所以当x 瓶时，有极小值即为最小值f“a) -a alnja -a(1 lna)。22当 a (0,e)时，f(j) -a(1 in a) 0,此方程无解； 21当a e时，f (ja) -a(1 in a) 0.此万程有惟一解 x

33、ja。21当 a (e,)时，f(va)-a(1 ina) 0因为f(1) 1 0且1ja,所以方程f(x) 0在区间(0, ji)上有惟一解,2因为当x 1时，(x in x) 0,所以x in x 1122-(2a)2 2a2)上有惟两解。0,1 21 2所以 x in x, f (x) -x ain x -x ax,因为 2a va 1,所以 f(x) 22所以方程f(x) 0在区间(石，)上有惟一解。所以方程 f(x) 0在区间(e,综上所述：当a 0,e)时，方程无解；当a 0或a e时，方程有惟一解; 当a e时方程有两解15、已知函数f (x) x4 4x3 ax2 1在区间0,

34、1单调递增，在区间1,2单调递减,(i)求a的值；(ii)是否存在实数b,使得函数g(x) bx2 1的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点，若存在，请 求出实数b的值；若不存在，试说明理由。解：(i)由函数f (x) x4 4x3 ax2 1在区间0,1单调递增，在区间1,2单调递减。知 x 1 时,取得极大值，f (1) 0 f (x) 4x3 12x 2ax 4 12 2a 0 a 4(ii)函数g(x) bx2 1的图象与函数f(x)的图象恰好有3个交点，等价于方程x4 4x3 4x2 1 bx2 1恰有3个不等实根.4322432x 4x 4x 1 bx1x 4x(4 b)x 0 x

35、 0 是其中一个根，方程x2 4x (4 b) 0有两个非零不等实根16 4(4 b) 0口b 0且 b 44 b 0故存在实数：b 0且b 4 12分216.已知x 3是函数f x ain 1 x x 10x的一个极值点。(i)求 a；(n)求函数f x的单调区间;(m)若直线yb与函数yx的图象有3个交点，求b的取值范围。解析:(i)因为f2x10.所以f10 0.因此 a 16(n)由(i)知,22 x2 4x 3161n 110x,x1,1,1 u 3,时,1,3 时,所以f x的单调增区间是1,1 , 3,x的单调减区间是1,3(出)由(h)知,1,1内单调增加，在1,3内单调减少，

36、在3,上单调增加，且当x 1或x 3 时，f0.所以fx的极大值为161n 29,极小值为321n 2 21因此f 1616210 16161n 2 9 fe2 132 1121所以在f x的三个单调区间1,1 , 1,3 ,3,直线y的图象各有一个交点,当且仅当f17. f(x)=x 1n(x+a)在 x=1 处取得极值.(1)求实数1a的值；(2)若关于x的方程f(x) + 2x = x2+b在22上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围;(3)证明:r 1 3n2n 2 kfik-f(k)> n(n + 1) (n'n, n或).参考数据：ln2前.6931.一 -1解

37、：(1)f'(x)=1 +,由题息，得x+ af '(1)=0a= 02'(2)由知 f(x) = x 1nx. .f(x) + 2x = x2+bx 1nx+ 2x= x2+ bx2 3x+1nx + b= 09'、几 /、 2 oil . . zmh i/ c o 1 2x2 3x+ 万程f(x)+2x=x2+b在1, 2上恰有两个不相等的实数根 (2x 1)(x 1)4'设 g(x) = x2-3x+ lnx + b(x> 0). 贝"g'(x) = 2x- 3 + - = lx(0,2)12(2，1)1(1, 2)2g'(x)十0一0十g(x)/极大值极小值/b2+ ln2g(x)的变化情况如下表当x变化时,g'(x)6'当 x=1 时，g(x)最小值= g(1)=b 2,g(2)=b-5-ln2, g(2) = b-2+ln21g(2)冷由b-5- ln2冷b 4g(1)<0 g(2)冷b 2v 0b 2+ ln2 冷(3)k- f(k)=lnk工+工+工+ln2 ln3 ln4n 1 3n2n 2'2k-f(k