第四章 非稳态导热

1、1v稳态导热是一种稳态导热是一种理想化的情况。理想化的情况。v受环境温度变化的影响，生活和工程中真正意义上的稳态导热是不存在的。v只是对工程中的某些问题，忽略温度随时间变化所造成的影响、误差不大，而将其简化为稳态导热。2第三节第三节 非稳态导热非稳态导热v非稳态导热的例子：非稳态导热的例子：v生活中：生活中：v 冷冻食品的解冻过程；微波炉、烘箱对物体的加热过程；冷冻食品的解冻过程；微波炉、烘箱对物体的加热过程；v 突然来了寒流，物体内的导热过程等等。突然来了寒流，物体内的导热过程等等。v工程中：工程中：v 机器启动、停机、变工况时部件的导热过程；机器启动、停机、变工况时部件的导热过程；v 冶金

2、、热加工、热处理工艺中工件的加热及冷却过程等；冶金、热加工、热处理工艺中工件的加热及冷却过程等；v 石油工程中钻井、焖井、采油等过程中热量在地层内的扩散过程。石油工程中钻井、焖井、采油等过程中热量在地层内的扩散过程。v具有实际意义。具有实际意义。0t3v本节讨论本节讨论: :v基本概念和特点基本概念和特点v非稳态导热问题的求解及诺模图非稳态导热问题的求解及诺模图v集总参数法集总参数法第三节第三节 非稳态导热非稳态导热4周期性的非稳态导热周期性的非稳态导热 periodic unsteady heat conductionvv通常称为通常称为准稳态。准稳态。v如如非周期性的非稳态导热非周期性的非

3、稳态导热v当边界条件或内热源不变时，当边界条件或内热源不变时，过程过程将最终逐渐趋于某个新的稳定温度场。将最终逐渐趋于某个新的稳定温度场。v前讲例子都属于此类。前讲例子都属于此类。一、一、 概概述述第四章第四章 / 第三节第三节 非稳态导热非稳态导热5举例：举例：v设有一物体具有均匀的初始温度设有一物体具有均匀的初始温度t t0 0，周围流，周围流体温度亦为体温度亦为t t0 0。v现在左侧表面温度突然升高到现在左侧表面温度突然升高到t t1 1，并保持不，并保持不变，而右侧仍与温度为变，而右侧仍与温度为t t0 0的流体相接触。的流体相接触。温度场的变化过程：温度场的变化过程：v 首先，曲线

4、首先，曲线HBD；v 随着时间推移，曲线随着时间推移，曲线HCD、HF；v 最终稳态，温度保持恒定，最终稳态，温度保持恒定，曲线曲线HG。v 若热导率为常数，若热导率为常数，HG为一直线段。为一直线段。第四章第四章 / 第三节第三节 非稳态导热非稳态导热2、非稳态导热的特点、非稳态导热的特点HB+BD6非稳态导热的特点非稳态导热的特点（1 1）物体内各点的温度随时间而变。）物体内各点的温度随时间而变。对于瞬态导热，对于瞬态导热，明显分为两个不同阶段：明显分为两个不同阶段： A 非正规状况阶段非正规状况阶段 部分物体不参与变化部分物体不参与变化 物体内的温度分布受初始温度的影响很大，温度分布呈现

5、部物体内的温度分布受初始温度的影响很大，温度分布呈现部分为非稳态导热规律和部分为初始温度区的混合分布。分为非稳态导热规律和部分为初始温度区的混合分布。 B 正规状况阶段正规状况阶段整个物体参与变化整个物体参与变化 物体内的温度分布不再受初始温度的影响，而只受控于非物体内的温度分布不再受初始温度的影响，而只受控于非稳态导热的规律（边界条件、物性和几何因素的影响）。稳态导热的规律（边界条件、物性和几何因素的影响）。（2 2）在非稳态导热热量传递的路径中，每一个与热流）在非稳态导热热量传递的路径中，每一个与热流方向垂直的截面上的热流量是处处不等的。方向垂直的截面上的热流量是处处不等的。 原因：各处本

6、身温度变化要积蓄原因：各处本身温度变化要积蓄(或放出或放出)热量。热量。第四章第四章 / 第三节第三节 非稳态导热非稳态导热壁面温差引起壁面温差引起热应力，会致热应力，会致热变形热变形！7（1）确定非稳态过程中的温度场）确定非稳态过程中的温度场物体中某个部位到达某个预定温度所需的时间；物体中某个部位到达某个预定温度所需的时间；在预定时间内物体可以达到的温度；在预定时间内物体可以达到的温度；物体的温度对时间的变化速率。物体的温度对时间的变化速率。（2）确定非稳态过程的热流量）确定非稳态过程的热流量物体在某一瞬间每一位置处的热流密度；物体在某一瞬间每一位置处的热流密度；物体经过一段时间后的总传热量

7、。物体经过一段时间后的总传热量。关键：关键：确定温度场确定温度场 t =f（x,y,z, ） 更复杂更复杂 第四章第四章 / 第三节第三节 非稳态导热非稳态导热84、研究方法与过程研究方法与过程v（1）假设简化，给出）假设简化，给出物理模型物理模型v（2）给出）给出数学模型数学模型（方程定解条件）（方程定解条件）v（3）采用适当的）采用适当的数学方法求解数学方法求解v（4）分析讨论）分析讨论 第四章第四章 / 第三节第三节 非稳态导热非稳态导热9数学描述：数学描述： 导热微分方程式导热微分方程式 定解条件：定解条件： 初始条件初始条件 边界条件边界条件 常用的三类常用的三类 最常见最常见求解方

8、法：求解方法： 分析解法分析解法、数值解法、实验模拟法、图解法等、数值解法、实验模拟法、图解法等 各点的瞬时热流量。然后由傅里叶定律算出；首先求出温度分布),(zyxft cztytxtat)(222222常常数数00ttww()fhtntt第四章第四章 / 第三节第三节 非稳态导热非稳态导热 1011以第三类边界条件下的以第三类边界条件下的无限大平壁的非稳态导热为例无限大平壁的非稳态导热为例二、非稳态导热问题的求解及诺模图二、非稳态导热问题的求解及诺模图第四章第四章 / 第三节第三节 非稳态导热非稳态导热12（一）无限大平壁的分析解及诺模图（一）无限大平壁的分析解及诺模图 设有一块厚度为设有

9、一块厚度为2 的无限大平壁，的无限大平壁，初始温度为初始温度为t0。 现突然将它置于温度为现突然将它置于温度为tf的流体的流体中并保持不变，且中并保持不变，且tf t0，流体与壁，流体与壁面间的表面传热系数面间的表面传热系数h为常数。为常数。 1、t a无无内内热热源源第四章第四章 / 第三节第三节 非稳态导热非稳态导热第三类边界条件第三类边界条件13（一）无限大平壁的分析解及诺模图（一）无限大平壁的分析解及诺模图v数学模型：v两侧受流体对称加热，两侧受流体对称加热，中心面为对称面，中心面为对称面，只需只需研究半厚研究半厚 的平壁。的平壁。 v将将坐标原点置于平壁中心面坐标原点置于平壁中心面，

10、建立如图，建立如图直角坐标系。直角坐标系。22xtat第四章第四章 / 第三节第三节 非稳态导热非稳态导热v物理模型：v常物性、无内热源、一维平壁0,0 x1、平壁内温度分布的求解、平壁内温度分布的求解定解条件定解条件14（一）无限大平壁的分析解及诺模图（一）无限大平壁的分析解及诺模图0|0 xxt|xxfth ttx00|tt x0 22xtat0,0 x 初始条件： 边界条件： （对称性）（对称性）第四章第四章 / 第三节第三节 非稳态导热非稳态导热1 1、平壁内温度分布的求解、平壁内温度分布的求解非齐次方程非齐次方程15（一）无限大平壁的分析解及诺模图（一）无限大平壁的分析解及诺模图22

11、xa0,0 x 000|ftt0|0 xxxxhx|求解是纯数学问题，方法求解是纯数学问题，方法很多。典型的很多。典型的分离变量法分离变量法、Laplace变换方法变换方法等。等。第四章第四章 / 第三节第三节 非稳态导热非稳态导热1、平壁内温度分布的求解、平壁内温度分布的求解过余温度过余温度 =t-tf 0(, , , , , , )fhax 齐次齐次方程方程齐次化齐次化16（一）无限大平壁的分析解及诺模图（一）无限大平壁的分析解及诺模图v分析解：分析解： 1022,expcosnnnnaxxC式中式中 n称为称为特征值特征值，超越方程的根。超越方程的根。 2sinsincosnnnnnC1

12、tannnh第四章第四章 / 第三节第三节 非稳态导热非稳态导热1 1、平壁内温度分布的求解、平壁内温度分布的求解v解的形式很复杂。解的形式很复杂。v分析发现：分析发现：v平壁内的平壁内的过余温度比值过余温度比值 只与三个无量纲量有关只与三个无量纲量有关。172aFohBi 式中，式中，Fo称为称为傅里叶数傅里叶数，Bi称为称为毕渥数。毕渥数。 0,xxfFo BitannnBi超越方程第四章第四章 / 第三节第三节 非稳态导热非稳态导热（一）无限大平壁的分析解及诺模图（一）无限大平壁的分析解及诺模图v计算表明：计算表明：式中的指数项衰减很快。式中的指数项衰减很快。所得结果的误差小于所得结果的

13、误差小于1。1 1、平壁内温度分布的求解、平壁内温度分布的求解计算工作量很大计算工作量很大21expo cosnnnnxCF18（一）无限大平壁的分析解及诺模图（一）无限大平壁的分析解及诺模图) (), 0(),(2xBifxm，10(0, )()mf FoBi，21110111,2sinexpo cossincosxxF第四章第四章 / 第三节第三节 非稳态导热非稳态导热Fo0.2时，时，1 1、平壁内温度分布的求解、平壁内温度分布的求解00),(),(mmxx意味着意味着初始条件的影响已经消失初始条件的影响已经消失，这是这是正规状况阶段。正规状况阶段。v工程上常采用两种简化的计算方法：工程

14、上常采用两种简化的计算方法：v 诺模图方法诺模图方法由海斯勒由海斯勒(Heisler)提出；提出；v 近似拟合公式近似拟合公式由由Campo提出。提出。1920（一）无限大平壁的分析解及诺模图（一）无限大平壁的分析解及诺模图v特征数或准则数特征数或准则数用来表征某一物理现象或物理过程特征的用来表征某一物理现象或物理过程特征的量纲一的量量纲一的量；v特征长度特征长度l 出现在特征数中的几何尺度出现在特征数中的几何尺度不同情况下，不同形状的物体特征长度是不同的。不同情况下，不同形状的物体特征长度是不同的。第四章第四章 / 第三节第三节 非稳态导热非稳态导热2、Fo数和数和Bi数的物理意义以及对非稳

15、态过程的影响数的物理意义以及对非稳态过程的影响) (),( 0 xBiFofx，无量纲化形式：21（一）无限大平壁的分析解及诺模图（一）无限大平壁的分析解及诺模图 2、Fo数和数和Bi数的物理意数的物理意义以及对非稳态过程的影响义以及对非稳态过程的影响1） Fo22aFoa分子分子 表示表示边界上发生热扰动时刻算起到计算时刻边界上发生热扰动时刻算起到计算时刻为止的时间；为止的时间；分母分母2/a表示表示热扰动经过一定厚度的固体层传播到热扰动经过一定厚度的固体层传播到面积面积2上所需要的时间。上所需要的时间。第四章第四章 / 第三节第三节 非稳态导热非稳态导热Fo数看成是数看成是反映非稳态进程的

16、无量纲时间反映非稳态进程的无量纲时间。Fo数越大，数越大，边界上的热扰动就能更深入地传播到边界上的热扰动就能更深入地传播到物体内部，非稳态过程进行得越充分。物体内部，非稳态过程进行得越充分。 2Fo从过程开始到 时刻的时间温度变化波及到面积所需的时间22当当Fo 0.2时，时，进入正规状况阶段！进入正规状况阶段！当当Fo1/h，可，可忽略表面的对流热阻忽略表面的对流热阻v即即 v从平壁放入流体中的那一刻起，从平壁放入流体中的那一刻起，壁面壁面就具有和流体相同的温度。就具有和流体相同的温度。v随时间的推移，平壁内各点的温度逐随时间的推移，平壁内各点的温度逐渐升高而最终趋于渐升高而最终趋于tf。1

17、hBih 第四章第四章 / 第三节第三节 非稳态导热非稳态导热v第三类边界条件转化为第一类边界条件。第三类边界条件转化为第一类边界条件。 tf25v（2）Bi0时时v / 1/h ，可忽略物体内部导热热阻可忽略物体内部导热热阻v即即 。v物体内部各点在同一时刻的温度趋于一物体内部各点在同一时刻的温度趋于一致，致，温度场与空间位置无关，只是时间温度场与空间位置无关，只是时间的单值函数。的单值函数。（一）无限大平壁的分析解及诺模图（一）无限大平壁的分析解及诺模图 2、Fo数和数和Bi数的物理意数的物理意义以及对非稳态过程的影响义以及对非稳态过程的影响1hBih 第四章第四章 / 第三节第三节 非稳

18、态导热非稳态导热这样的物体称为这样的物体称为集总热容系统。集总热容系统。tf26（一）无限大平壁的分析解及诺模图（一）无限大平壁的分析解及诺模图 2、Fo数和数和Bi数的物理意数的物理意义以及对非稳态过程的影响义以及对非稳态过程的影响v(c) Bi为有限大小为有限大小 / 1/h，数值相当数值相当1hBih 第四章第四章 / 第三节第三节 非稳态导热非稳态导热tftf27毕渥数 Bi 对温度分布的影响第四章第四章 / 第三节第三节 非稳态导热非稳态导热(c) Bi为有限大小为有限大小2829（一）无限大平壁的分析解及诺模图（一）无限大平壁的分析解及诺模图 19-4 )(), 0( 10图无限大

19、平壁：，BiFofm20-4 ) (), 0(),(2图，xBifxm00),(),(mmxx?0ftt？已知?mmt？第四章第四章 / 第三节第三节 非稳态导热非稳态导热30（一）无限大平壁的分析解及诺模图（一）无限大平壁的分析解及诺模图 kJJ )(000或cVttcVQf),(30BiFofQQ )()(00dVcVdttcQVV?00QQQQ第四章第四章 / 第三节第三节 非稳态导热非稳态导热31图图4-1901mFoBi；再查图求出和先求出)(), 0(10BiFofm，第四章第四章 / 第三节第三节 非稳态导热非稳态导热32) (), 0(),(2xBifxm，mxBi再查图求出；

20、和先求出1图图4-20第四章第四章 / 第三节第三节 非稳态导热非稳态导热33图图4-21),(30BiFofQQ02QQFoBiBi再查图求出；和先求出第四章第四章 / 第三节第三节 非稳态导热非稳态导热34第四章第四章 / 第三节第三节 非稳态导热非稳态导热350,rfBiFoR2,hRaBiFoR第四章第四章 / 第三节第三节 非稳态导热非稳态导热（二）无限长圆柱体的诺模图（二）无限长圆柱体的诺模图36（二）无限长圆柱体的诺模图（二）无限长圆柱体的诺模图v第三类边界条件下第三类边界条件下) (0RrBiFof，hRBi 2RaFo为特征长度。为任意半径；为圆柱体的半径；RrR 22-4

21、)( 0图无限长圆柱体：，BiFofm23-4 ) (图，RrBifm00mm24-4 ),(0图BiFofQQ第四章第四章 / 第三节第三节 非稳态导热非稳态导热37诺模图的应用诺模图的应用-1求某一位置在求某一位置在 时刻的温度时刻的温度 t (x或或r, ) = ?mmt？；，查图得到和先求出01mFoBi；），查图得到（或和再求出mRrxBi100mm?ftt？平壁：图平壁：图4-19圆柱：图圆柱：图4-22平壁：图平壁：图4-20圆柱：图圆柱：图4-23第四章第四章 / 第三节第三节 非稳态导热非稳态导热38诺模图的应用诺模图的应用-2求某一位置温度达到求某一位置温度达到 t时所需的时所需的时间时间 = ?？已知mftt；，查图得到和再求出FoBim10；），查图得到（或和先求出mRrxBi1?22aFoaFo平壁：平壁：图平壁：图4-19圆柱：图圆柱：图4-22平壁：图平壁：图4-20圆柱：图圆柱：图4-23? 22aRFoRaFo圆柱：第四章第四章 / 第三节第三节 非稳态导热非稳态导热3940（三）（三）二维及三维非稳态导热问题的求解二维及三维非稳态导热问题的求解 第四章第四章 / 第三节第三节 非稳态导热非稳态导热41v仔细阅读：仔细阅读：例题例题4-7、例题、例题4-8v作业：作业：v