计算方法实验报告

1、计算方法实验报告（四）方程和方程组的迭代解法一、实验问题利用简单迭代法，两种加速技术，牛顿法，改进牛顿法，弦割法求解习题5-1，5-2，5-3中的一题，并尽可能准确。选取5-3：求x3-x2-1=0在x=1.5附近的根。二、问题的分析（描述算法的步骤等）（1）简单迭代法算法：给定初始近似值p0,求p=p的解。Step 1 令i=0；Step 2 令pi+1=pi(计算pi+1)；Step 3 如果pi+1=pi,则迭代终止，否则重复Step 2。（2）Aitken加速法算法Step 1 令k=0，利用简单迭代算法xk+1=xk得到迭代序列xk；Step 2 令xk*=xk-xk-xk-12xk

2、-2xk-1+xk-2(计算xk*得到一个新的序列xk*，其中k=0,1,2)；Step 3 如果xk+1*=xk*,则迭代终止，否则重复Step 2。(3)插值加速法算法Step 1 令k=0，利用简单迭代算法xk+1=xk得到迭代序列xk；Step 2 令xk*=xk+xk-xk-1xk-xk+1xk-1-2xk+xk+1(计算xk*得到一个新的序列xk*，其中k=1,2,3)；Step 3 如果xk+1*=xk*,则迭代终止，否则重复Step 2。(4)牛顿法算法Step 1给定初始近似值x0；Step 2令xk+1=xk-fxkf'xk,其中kN,计算得到xk的 序列；Step

3、 3如果xk+1=xk,则迭代终止，否则重复Step 2。（5）改进牛顿法的算法Step 1给定初始近似值x0；Step 2令xk+1=xk-2fxkf'xk+sgnf'xkf'2xk-2f"xkfxk ,其中kN,迭代计算得到xk的 序列；Step 3如果xk+1=xk,则迭代终止，否则重复Step 2。（6）弦割法算法（双点弦割法）Step 1给定初始近似值x0，x1；Step 2令xk+1=xk-fxkxk-xk-1fxk-fxk-1其中kN,计算得到xk的 序列；Step 3如果xk+1=xk,则迭代终止，否则重复Step 2。三、程序设计(1)简单迭

4、代法利用迭代公式x=31+x2进行迭代运算。#include <iostream.h>#include <math.h>#include<stdio.h>double fun(double x)double c=1+x*x;return pow(c,1/3.0);void main()double x=1.5;double y=0;double D=1;double e=0.001;while(D>e)D=0; y=fun(x);if(fabs(y-x)>=D) D=fabs(y-x);x=y;cout<<x<<endl;

5、（2）牛顿法：利用公式xk+1=xk-fxkf'xk 进行迭代运算程序设计如下：#include <iostream.h>#include <math.h>double fun(double x)double a=2*pow(x,3.0)-pow(x,2.0)+1;double b=3*pow(x,2.0)-2*x;return a/b;void main() double x=1.5;double y=0;double D=1;double e=0.001;double f=0;while(D>e)D=0; y=fun(x);if(fabs(y-x)&g

6、t;=D) D=fabs(y-x);x=y;f+;cout<<x<<endl;cout<<"f="<<f<<endl;（3）运用改进牛顿法：迭代公式：xk+1=xk-fxkf'xk -f''(xk)2f'3(xk)f2(xk)程序代码如下：#include <iostream.h>#include <math.h>double fun(double x)double a=2*pow(x,3.0)-pow(x,2.0)+1;double b=3*pow(x,2.

7、0)-2*x;double c=pow(pow(x,3.0)-pow(x,2.0)-1),2.0);double d=(6*x-2)/12;return a/b-c*d;void main() double x=1.5;double y=0;double D=1;double e=0.001;double f=0;while(D>e)D=0; y=fun(x);if(fabs(y-x)>=D) D=fabs(y-x);x=y;f+;cout<<x<<endl;cout<<"f="<<f<<endl;（4

8、）利用弦割法利用公式xk+1=xk-f(xk)(xk-x0)fxk-f(x0)程序代码：#include "stdafx.h"#include <iostream>using namespace std;#include <math.h>double fua(double l)return pow(l,3.0)-pow(l,2.0)-1;int _tmain(int argc, _TCHAR* argv)double x=1.4;double y=0;double D=1;double e=0.001;double f=0;while(D>e)

9、D=0; y=x-fua(x)*(x-1.5)/(fua(x)-0.125);if(fabs(y-x)>=D) D=fabs(y-x);x=y;f+;cout<<x<<endl;cout<<"f="<<f<<endl;return 0;四、计算结果(1)简单迭代法的运行结果：x=1.46624(2)牛顿迭代法的运行结果如下（3）改进牛顿迭代法运行结果：（4）弦割法的运行结果五、结果分析通过实验很容易发现在相同的准确数字时，加速迭代法的迭代次数明显少于简单的迭代法。但仅仅就实验结果而言，牛顿迭代法和改进的牛顿迭

10、代法与弦割法所得运行结果相同，但是改进的迭代法速度比牛顿迭代法要快速。六、实验的总结与体会迭代法是一种逐次逼近的方法，且都是局部收敛的，具有原理简单，编写程序方便等优点，但还存在是否收敛与收敛速度快慢的问题，不能盲目使用。当迭代过程只有线性收敛速度时，可采用埃特金加速法实现加速。牛顿法是一种特殊的迭代法，用于求方程单根时具有二阶收敛速度。但牛顿法对初值的要求苛刻，而且需要求函数的导数，遇到求导数复杂的情形，常用弦割法求解。弦割法是对牛顿法的变形，不需要求函数的导数，但收敛阶不高，而且需要提供两个较好的初值。一、实验问题利用雅可比迭代法，赛德尔迭代法求解如下方程组-8x1+x2+x3=1x1-5

11、x2+x3=16x1+x2-4x3=7一、 问题的分析（描述算法的步骤等）雅克比迭代法算法如下：（1） 对i=1n 令xi0（2） 令D0（3） 对i=1n做令yi=bi对j=1n但ji令yiyi-aijxj令yiyi/aij若xi-xj>D则令D|xi-xj|（4） 对i=1n令xiyi（5） 若D则转到（2）（6） 输出xii=1n并停止计算赛德尔迭代法算法如下 （1）对i=1n 令xi0（2）令D0（3）对i=1n做令yi=bi对j=1n但ji令yiyi-aijxj令yiyi/aij若xi-xj>D则令Dxi-xj令xiy（4）若D则转到（2）（5）输出xii=1n并停止计算

12、二、 程序设计(1)运用雅可比迭代法进行迭代：代码如下：#include <iostream.h>#include <math.h>void main()double x3=0,0,0;double a33=-8,1,1,1,-5,1,1,1,-4;double b3=1,16,7;double y3; double e=0.04;double D=1;int f=0;while(D>e)D=0;for(int c=0;c<5;c+) for(int i=0;i<3;i+) yi=bi;for(int j=0;j<3;j+)if(j!=i)yi=

13、yi-aij*xj; yi=yi/aii;if(fabs(xi-yi)>=D)D=fabs(xi-yi); for(int l=0;l<3;l+) xl=yl; f+;for(int k=0;k<3;k+)cout<<xk<<endl;cout<<f<<endl;(2)赛德尔迭代法源代码如下：2运用赛德尔迭代法进行迭代程序代码：#include <iostream.h>#include <math.h>#include<stdio.h>void main()double x3=0,0,0;do

14、uble a33=-8,1,1,1,-5,1,1,1,-4;double b3=1,16,7;double y; double e=0.0001;double D=1;double f=0;while(D>e)D=0;for(int c=0;c<5;c+) for(int i=0;i<3;i+) y=bi;for(int j=0;j<3;j+)if(j!=i)y=y-aij*xj; y=y/aii;if(fabs(xi-y)>=D)D=fabs(xi-y); for(int l=0;l<3;l+) xl=yl; f+;for(int k=0;k<3;k+)cout<<xk<<endl;cout<<f<<endl;三、 计算结果（1）雅克比迭代法运行结果如下：（2）赛德尔迭代法运行结果如下：五、结果分析通过观察运行结果很容