考研数学高数真题分类—级数

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2、幂级数的收敛半径与收敛域，幂级数逐项求导定理与逐项积分定理，傅里叶级数。从总体上讲，本章主要可以分为常数项级数与幂级数两部分。其中考查的重点在幂级数上，但幂级数的基础是常数项级数。对于常数项级数，考生需要重点把握它的收敛性的定义以及各种常见的判别法。考试在级数中的大题一般出在幂级数上，这一部分的内容可以概括为三个问题:幂级数的收敛域的计算，幂级数求和，幂级数展开。其中，计算幂级数的收敛域最关键的是掌握幂级数的收敛半径的求法与相关的性质。而幂级数求和与展开，则主要是结合常见函数的幂级数展开，再运用幂级数的逐项求导和逐项积分定理即可。最后，关于傅里叶级数，考生主要需要掌握傅里叶系数的求法，再了解狄

3、利克雷定理的内容即可。本章常考的题型有：1.对常数项收敛性的考查，2.幂级数的收敛半径和收敛域，3.幂级数展开，4.幂级数求和，5.常数项级数求和，6.傅里叶级数。常考题型一：常数项级数的收敛性1.【19963 3分】下述各选项正确的是（ ）若和都收敛，则收敛.若收敛，则与都收敛.若正项级数发散，则.若级数收敛，且，则级数也收敛.【小结】：正项级数的判别法最基本的思想是比较判别法，它有很多种具体的表现形式，其中之一是极限审敛法，其内容是设是正项级数：如果，则级数发散；如果，则级数收敛。其中我们用得最多的形式是，假设与为同阶无穷小，则当时收敛，当时发散。2.【20033 4分】设，则下列命题正确

4、的是（ ）若条件收敛，则与都收敛.若绝对收敛，则与都收敛.若条件收敛，则与敛散性都不定.若绝对收敛，则与敛散性都不定. 3.【20043 4分】设有下列命题：（ ）(1) 若收敛，则收敛.(2) 若收敛，则收敛.(3) 若，则发散.(4) 若收敛，则，都收敛.则以上命题中正确的是 (1) (2).(2) (3). (3) (4).(1) (4).4.【20053 4分】设若发散，收敛，则下列结论正确的是（ ）收敛，发散 . 收敛，发散.收敛. 收敛. 5.【20063 4分】若级数收敛，则级数（ ）收敛 . 收敛.收敛. 收敛. 6.【2011-3 4分】设是数列，则下列命题正确的是( )(A

5、) 若收敛，则收敛. (B) 若收敛，则收敛.(C) 若收敛，则收敛. (D) 若收敛，则收敛.7【1995-1 3分】设，则级数（ ）和都收敛 和都发散收敛而发散 发散而收敛8【1992-1 3分】级数（常数）（ ）发散 条件收敛 绝对收敛 收敛性与有关9【1996-1 3分】设，且收敛，常数，则级数（ ）绝对收敛 条件收敛发散 敛散性与有关10【1994-1 3分】设常数，且收敛，则级数（ ）发散 条件收敛 绝对收敛 收敛性与有关11【2009-1 4分】设有两个数列，若，则（ ）当收敛时，收敛.当发散时，发散. 当收敛时，收敛.当发散时，发散.12【2004-1 4分】设为正项级数，下列

6、结论中正确的是（ ）若，则级数收敛. 若存在非零常数，使得，则级数发散. 若级数收敛，则. 若级数发散，则存在非零常数，使得.13【2002-1 3分】设，且，则级数( ) 发散 绝对收敛 条件收敛 收敛性根据所给的条件不能确定14【2000-1 3分】设级数收敛，则必收敛的级数为（ ）15【2013-3 4分】设为正项数列，下列选项正确的是（ ）（A）若收敛（B）收敛，则（C）收敛，则存在常数,使存在（D）若存在常数，使存在，则收敛16.【2015-3 4分】下列级数中发散的是（ ）17.【2012-3 4分】已知级数绝对收敛，条件收敛，则范围为（ ）（A）（B）（C） （D）18【1998

7、-1 5分】设正项数列单调减少，且发散，试问级数是否收敛？并说明理由.19【1994-1 8分】设在点的某一邻域内具有二阶连续导数，且，证明：级数绝对收敛.20【2004-1 11分】设有方程，其中为正整数. 证明此方程存在惟一正实根，并证明当时，级数收敛.21【1999-1 7分】设.（1）求的值；（2）试证：对任意的常数，级数收敛.22【1997-1 8分】设，证明：（1）存在；（2）级数收敛.23【2014-1 10分】设数列，满足，且级数收敛（1）证明；（2）证明级数收敛常考题型二：幂级数的收敛半径与收敛域24【2008-1 4分】已知幂级数在处收敛，在处发散，则幂级数的收敛域为_.2

8、5【1997-1 3分】设幂级数的收敛半径为，则幂级数的收敛区间为_.26【2000-1 6分】求幂级数的收敛区间，并讨论该区间端点处的敛散性.27【1995-1 3分】幂级数的收敛半径_.28【20023 4分】设幂级数和的收敛半径分别为，则幂级数的收敛半径为（）29.【2011-1 4分】设数列单调减少，无界，则幂级数的收敛域为( )30.【2011-1 4分】若级数条件收敛，则 与依次为幂级数的 ( )收敛点，收敛点收敛点，发散点发散点，收敛点发散点，发散点31【20093 4分】幂级数的收敛半径为【小结】：1. 幂级数的收敛半径的性质：当时，幂级数绝对收敛；当时，幂级数发散；，级数可能

9、收敛也可能发散。2. 计算幂级数收敛半径的方法：如果幂级数的系数满足或，则该幂级数的收敛半径：。3. 确定了收敛半径，只需再确定端点处的收敛性就可以知道收敛域了。此时，只需将端点处的函数值代入，再判断相应的常数项级数的收敛性即可。4. 对于缺项的级数的收敛半径，不能用比值计算，只能用根值计算。也可以利用正项级数的比值和根值判别法直接对整个函数项级数进行分析，计算极限或，求出的范围即可得到收敛区间。常考题型三：幂级数展开32【2006-1 12分】将函数展开成的幂级数.33【1994-1 5分】将函数展开成的幂级数.34【2001-1 8分】设试将展开成的幂级数，并求级数的和.35【2003-1

10、 12分】将函数展开成的幂级数，并求级数的和.36【19953 6分】将函数展成的幂级数，并指出其收敛区间.37【20073 10分】将函数展开成的幂级数，并指出其收敛区间.【小结】：计算函数幂级数展开的基础是如下这6个常见函数的泰勒级数：，常考题型四：幂级数求和38【2010-1 10分】求幂级数的收敛域及和函数.39.【2003-3 9分】求幂级数的和函数及其极值.40.【2005-3 9分】求幂级数在区间(-1,1)内的和函数.41【2005-1 12分】求幂级数的收敛区间与和函数.42【2007-1 10分】设幂级数在内收敛，其和函数满足：.（1）证明；（2）求的表达式.43【2001

11、3 8分】已知满足（为正整数）且，求函数项级数之和.44【20063 10分】求幂级数的收敛域及和函数.45.【20121 10分】求幂级数的收敛域及和函数46.【20131 10分】设数列满足条件：是幂级数的和函数，（1） 证明：,（2） 求的表达式.47.【20143 10分】求幂级数的收敛域及和函数。【小结】：1.幂级数求和的一般思路是利用逐项求导或是逐项积分定理将需要求和的级数化简，利用常见函数的泰勒级数求出化简之后级数的和函数，最后再将求导或求积分的过程逆过来就可以得到所求级数的和函数了。2.幂级数求和时用得最多的是几何级数，该公式可以扩展到所有通项为等比数列的级数，其和可以统一记为

12、。例如，对级数利用该公式就可以得到。48【1993-1 7分】求级数的和.49【1996-1 7分】求级数的和.50【2009-1 9分】设为曲线与所围成区域的面积，记，求与的值.51【19993 3分】_.52.【2000-3 6分】设求常考题型五：傅里叶级数*（数一）53【1993-1 3分】设函数的傅里叶级数展开式为，则其中系数的值为_.54【2003-1 4分】设，则_.55【1995-1 6分】将函数展开成周期为的余弦级数.56【1992-1 3分】设，则其以为周期的傅里叶级数在点处收敛于_.57【1999-1 3分】设，其中，则等于（ ）58【2008-1 9分】将函数展开成余弦级

13、数，并求级数的和.59.【2013-1 4分】设，令，则（ ）（A） （B） （C） （D）【小结】：1.计算傅里叶系数是傅里叶级数对考生最基本也是最重要的要求，考生记住公式即可：如果，则有，。2.当为奇函数时，的傅里叶级数为，其中。当为偶函数时，的傅里叶级数为，其中。即便本身并不既有奇偶性，我们也可以先对该函数进行奇延拓（）或偶延拓（）后再将其展开为正弦级数或余弦级数。系数的计算公式仍为或。关于傅里叶级数的收敛性，考生需要记住如下的狄利克雷定理如果在上满足如下的狄利克雷条件：）连续或只有有限个第一类间断点；）只有有限个极值点。则的傅里叶级数在上收敛，且常考题型六：综合应用60【20023 9

14、分】（1）验证函数满足微分方程；（2）利用（1）的结果求幂级数61【20043 9分】设级数的和函数为. 求：(I) 所满足的一阶微分方程；(II) 的表达式.62.【1997-3 7分】从点作轴的垂线,交抛物线于点；再从作这条抛物线的切线与轴交于,然后又从作轴的垂线,交抛物线于点,依次重复上述过程得到一系列的点.(1) 求；(2) 求级数的和.其中为自然数,而表示点与之间的距离.63.【1998-3 6分】设有两条抛物线和,记它们交点的横坐标的绝对值为(1) 求这两条抛物线所围成的平面图形的面积；(2) 求级数的和.64.【2008-3 10分】设银行存款的年利率为，并依年复利计算. 某基金

15、会希望通过存款万元实现第一年提取19万元，第二年提取28万元，第年取出(10+9)万元，并能按此规律一直提取下去，问至少应为多少万元？参考答案1.【19963 3分】【答案】2.【20033 4分】【答案】3.【20043 4分】【答案】4.【20053 4分】【答案】5.【20063 4分】【答案】6.【2011-3 4分】【答案】7【1995-1 3分】【答案】8【1992-1 3分】【答案】9【1996-1 3分】【答案】10【1994-1 3分】【答案】11【2009-1 4分】【答案】12【2004-1 4分】【答案】13【2002-1 3分】【答案】14【2000-1 3分】【答案

16、】15【2013-3 4分】【答案】16.【2015-3 4分】【答案】17.【2012-3 4分】【答案】：18【1998-1 5分】【答案】根据比较审敛法可知级数收敛19【1994-1 8分】【答案】略20【2004-1 11分】【答案】略21【1999-1 7分】【答案】 （1）22【1997-1 8分】【答案】略23【2014-1 10分】【答案】略24【2008-1 4分】【答案】25【1997 -1 3分】【答案】26【2000-1 6分】【答案】收敛区间为；级数在点处发散;在点处收敛.27【1995-1 3分】【答案】28【20023 4分】【答案】29.【2011-1 4分】【

17、答案】30.【2011-1 4分】【答案】31【20093 4分】【答案】32【2006-1 12分】【答案】.33【1994-1 5分】【答案】.34【2001-1 8分】【答案】，35【2003-1 12分】【答案】，.36【19953 6分】【答案】.37【20073 10分】【答案】，收敛区间为 .38【2010-1 10分】【答案】和函数为，收敛域为39.【2003-3 9分】【答案】，处取极大值，40.【2005-3 9分】【答案】41【2005-1 12分】【答案】收敛区间为，42【2007-1 10分】【答案】 （2）43【20013 8分】【答案】44【20053 9分】【答案】45.【20121 10分】【答案】：.和函数：46.【20131 10分】【答案】：（I）略；（II）.47.【20143 10分】【答案】：收敛域为，和函数为.48【20063 10分】【答案】49【1993-1 7分】【答案】50【1996-1 7分】【答案】51【2009-1 9分】【答案】52.【2000-3 6分】【答案】53【19993 3分】【答案】54【1993-1 3分】【答案】55【2003-1 4分】【答案】，.56【