第十二章无穷级数高等数学下册国家级精品课程教案

1、第十二章无穷级数【教学目标与要求】1理解常数项级数收敛、 发散以及收敛级数的和的概念， 掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。2掌握几何级数与P 级数的收敛与发散的条件。3掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。4掌握交错级数的莱布尼茨判别法。5了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。6了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。7理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。8了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分） ，会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和。

2、9了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。10掌握ex,sin x,cos x， ln(1x) 和 (1a)的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。11. 了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在 -l ， l 上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在 0， l 上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。【教学重点】1、级数的基本性质及收敛的必要条件。2、正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和根值判别；3、交错级数的莱布尼茨判别法；4、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域；5、 ex ,sin x,cos x ， ln(1x) 和

3、(1a) 的麦克劳林展开式；6、傅里叶级数。【教学难点】1、比较判别法的极限形式；2、莱布尼茨判别法；3、任意项级数的绝对收敛与条件收敛；4、函数项级数的收敛域及和函数；5、泰勒级数；6、傅里叶级数的狄利克雷定理。【教学课时分配】 (18学时 )第1次课§第2次课§2第3次课§ 3第4次课§4第 5次课§5第 6次课§ 6第 7次课§7第8次课§8第 9次课习题课【参考书】1 同济大学数学系 . 高等数学（下），第五版 . 高等教育出版社 .2 同济大学数学系 . 高等数学学习辅导与习题选解，第六版. 高等教育出版

4、社 .3 同济大学数学系 . 高等数学习题全解指南（下），第六版. 高等教育出版社§12 1 常数项级数的概念和性质一、常数项级数的概念常数项级数给定一个数列u1 u2 u3unun叫做常数项 )无穷级数简称常数项 )级数unu1u2u3unn 1其中第 n 项 u n 叫做级数的一般项级数的部分和作级数un 的前 n 项和n 1nsnuiu1u2u3i 1称为级数un 的部分和n 1级数敛散性定义如果级数un 的部分和数列n 1则由这数列构成的表达式u1u2u3记为un即n 1un sn 有极限 s 即 lim snsn则称无穷级数un 收敛这时极限s 叫做这级数的和n 1并写成s

5、unu1u2u3unn 1如果 sn 没有极限则称无穷级数un发散n 1余项当级数un 收敛时其部分和s n 是级数un 的和s 的近似值它们之间的差值n 1n 1rn s sn un 1 un 2叫做级数un 的余项n 1例 1 讨论等比级数 (几何级数 )aqnaaq aq2aqnn0的敛散性其中 a 0q 叫做级数的公比解 如果 q 1则部分和snaaqaq2aqn 1 aaqnaaqn1q1 q1 q当 |q| 1 时因为 lim sna所以此时级数aqn 收敛其和为an1 qn 01 q当 |q|>1 时 因为 lim sn所以此时级数aq n 发散nn 0如果 |q| 1则当

6、 q 1 时 sn na因此级数aqn 发散n 0当 q 1 时 级数aqn 成为n 0a a a a当 |q| 1 时 因为 sn 随着 n 为奇数或偶数而等于a 或零所以 sn 的极限不存在从而这时级数aqn 也发散n 0综上所述，级数aqna, | q |11qn 0| q |1例 2 证明级数1 2 3n是发散的证 此级数的部分和为s1 23nn(n 1)n2显然 lim sn因此所给级数是发散的n例 3判别无穷级数11111 22 33 4n(n 1)的收敛性提示un111n(n1) nn1二、收敛级数的基本性质性质1 如果级数un 收敛于和s则它的各项同乘以一个常数k 所得的级数k

7、un 也收敛n 1n 1且其和为ks性质2 如果级数un 收敛于和s则级数kun 也收敛且其和为ksn 1n 1性质 3 如果uns则kunksn 1n 1性质 4 如果级数un、v分别收敛于和s、则级数(uv ) 也收敛且其和为 sn 1nnnn 1n 1性质 5 如果 uns、v则 (u v ) snnnn 1n 1n 1性质 6在级数中去掉、加上或改变有限项不会改变级数的收敛性比如级数 1111是收敛的1 22 33 4n(n 1)级数 100001111也是收敛的1 22 33 4n(n1)级数 1111)也是收敛的3 44 5n(n性质 7如果级数un 收敛则对这级数的项任意加括号后

8、所成的级数仍收敛且其和不变n 1应注意的问题如果加括号后所成的级数收敛则不能断定去括号后原来的级数也收敛例如级数（1 1)+（11) +收敛于零但级数1111却是发散的推论如果加括号后所成的级数发散则原来级数也发散级数收敛的必要条件性质8如果u收敛则它的一般项un 趋于零即 lim u 0nn 0 nn 1应注意的问题 级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件例 4 证明调和级数11 111是发散的n 1 n23n证： 假若级数1收敛且其和为s s 是它的部分和nn 1n显然有 limss 及 limss于是 lim (ss )0nnn2nn2nn但另一方面s2nsn1111111n1n22

9、n2n2n2n2故 lim (ss ) 0矛盾这矛盾说明级数1 必定发散2nnn 1 nn小结1. 常数项级数的概念；2. 常数项级数的性质；教学方式及教学过程中应注意的问题在教学过程中要注意常数项级数的概念以及重要性质，要结合实例，反复讲解。师生活动设计讲课提纲、板书设计作业 P； 2(2), (3), (4)； 3(2)；255: 1(1), (3)4(1), (3), (5);§12 2 常数项级数的审敛法一、正项级数及其审敛法正项级数各项都是正数或零的级数称为正项级数定理 1 正项级数un 收敛的充分必要条件它的部分和数列s n 有界n 1定理 2(比较审敛法 )设un 和v

10、n 都是正项级数且 un vn(k 0n N)n 1n 1若vn 收敛则un 收敛n 1n 1若un 发散则vn 发散n 1n 1证设级数 vn收敛于和则级数un 的部分和n 1n 1sn u1 u2un v1 v2vn(n 1, 2, )即部分和数列 sn 有界由定理 1知级数u 收敛nn 1反之设级数un 发散则级数vn 必发散因为若级数n 1n 1vn 收敛由上已证明的结论将有级数un 也收敛与假设矛盾n 1n 1推论设un 和vn 都是正项级数如果级数vn 收敛且存在自然数N使当n N 时有n 1n 1n 1un kvn( k 0)成立则级数un 收敛如果级数vn 发散且当 n N 时

11、有 un kvn(k 0)成立则级n 1n 1数 un 发散n 1例 1 讨论 p 级数111111n 1 n p2 p3p4 pn p的收敛性其中常数 p 0提示级数11 的部分和为n 2 (n1) p 1n p 1s 1111 11 11n2 p 12p 13p 1n p 1(n 1) p 1(n 1) p 1因为 lim slim 11 1所以级数11 收敛nnn(n 1) p 1n 2 (n 1) p 1 n p 1p 级数的收敛性p 级数1当 p 1 时收敛当 p1 时发散n 1 n p1例 2 证明级数是发散的n 1n(n 1)证 因为111而级数1111是发散的n(n 1)(n

12、1)2n 1n 1 n 123n 1根据比较审敛法可知所给级数也是发散的定理 3(比较审敛法的极限形式)设un 和vn 都是正项级数n 1n 1(1) 如果 limunl (0 l)且级数v 收敛则级数un收敛nvnnn 1n 1(2) 如果 limunl 0或 limun且级数vn 发散则级数un 发散vnvnnnn 1n 1证明 由极限的定义可知对1 l存在自然数 N 当 nN 时有不等式2l1lunl1l132v2即2 lvnun 2 lvnn再根据比较审敛法的推论1即得所要证的结论例 3 判别级数sin 1 的收敛性n 1nsin 11 发散sin 1 发散解 因为 limn1而级数根

13、据比较审敛法的极限形式级数n1n 1nn 1nn例 4判别级数ln(11 ) 的收敛性n 1n2ln 1(1)1解 因 为 limn21而 级数收 敛根据比 较审 敛法的极限形式级 数1nn 1 n2n2ln 1(12)收敛n 1n定理 4(比值审敛法达朗贝尔判别法 )若正项级数un 的后项与前项之比值的极限等于n 1limun 1n un则当1 时级数收敛 当un 1)时级数发散当1 时级数可能收敛也可能发散1(或 limnun例 5证明级数 111111 12 1231 2 3 (n 1)是收敛的例 611 21 2 3n !的收敛性判别级数 1010210310n例 7判别级数1的收敛性

14、n(2n1) 2n提示un 1lim(2n1) 2n1比值审敛法失效limun(2n1) (2nnn2)因为11而级数1收敛 因此由比较审敛法可知所给级数收敛(2n1) 2nn2n 1 n2定理 5(根值审敛法柯西判别法 )设un 是正项级数如果它的一般项un 的 n 次根的极限等于n 1limn unn则当1 时级数收敛当1(或 lim n un)时级数发散当 1 时级数可能收敛也可能发散n例 8证明级数1111是收敛的并估计以级数的部分和sn 近似代替2233nn和 s 所产生的误差解 因为 limn ulim n1lim 10 所以根据根值审敛法可知所给级数收敛nnnnnnn以这级数的部

15、分和sn近似代替和 s 所产生的误差为|rn |1111)n 1(n 2) n2(n3) n 3(n111(n1)n 1(n1)n2(n1) n31n(n1)n例 9 判定级数2(1)nn 12n的收敛性定理 6(极限审敛法 )设 un 为正项级数n 1(1) 如果 lim nun l0(或 lim nun) 则级数un 发散nnn 1(2) 如果 p 1而 limn pun l (0l)则级数un 收敛nn 1例 10 判定级数ln(112 ) 的收敛性n 1n解 因为 ln(111(n)22ln(11lim n2112 ) 2故 lim n unlim n2 )2nnnnnnn根据极限审敛

16、法知所给级数收敛例 11 判定级数n1(1cos ) 的收敛性n 1n33lim n2n 1 1 ()2 12解 因为 lim n2 unlim n2n1(1cos)nnnnn2 n2根据极限审敛法知所给级数收敛二、交错级数及其审敛法交错级数交错级数是这样的级数它的各项是正负交错的交错级数的一般形式为( 1) n 1un其中un0n 1例如( 1)n 1 1 是交错级数但( 1)n 1 1cosn不是交错级数n 1nn 1n定理 7（莱布尼茨定理）如果交错级数( 1) n 1un 满足条件n 1(1)unun 1 (n1 2 3)(2) lim un0n则级数收敛且其和 su1 其余项 rn

17、的绝对值 |rn | un1简要证明设前 n 项部分和为 sn由 s2n (u1 u2) (u3 u4)( u2 n 1 u2n)及s2n u1 (u2 u3) (u4 u5)(u2n 2 u2n 1) u2n看出数列 s2n 单调增加且有界(s2n u1) 所以收敛设 s2ns(n)则也有s2n 1 s2n u2n1 s(n)所以 sn s(n) 从而级数是收敛的且sn u1因为 |rn | un 1un 2也是收敛的交错级数所以 |rn| un 1例 12 证明级数(1)n 1 1 收敛并估计和及余项n 1n三、绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛若级数|un |收敛则称级数un 绝对收敛

18、若级数unn 1n 1n 1收敛而级数|un |发散则称级un 条件收敛n 1n 1例 13级数 (1)n 1 1是绝对收敛的而级数( 1)n 1 1是条件收敛的n 1n2n 1n定理 8 如果级数un 绝对收敛则级数un 必定收敛n 1n 1值得注意的问题如果级数|un |发散我们不能断定级数un 也发散n 1n 1但是如果我们用比值法或根值法判定级数|un | 发散则我们可以断定级数un 必定发n 1n 1散这是因为此时 |un|不趋向于零从而 un 也不趋向于零因此级数un 也是发散的n 1例 14 判别级数sin na的收敛性n 1n2例 15判别级数 ( 1)n 1n (11 )n2

19、 的收敛性n 12n小结1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性；2. 利用正项级数审敛法；3. 任意项级数审敛法： Leibniz 判别法。教学方式及教学过程中应注意的问题在教学过程中要注意部分和数列的极限判别级数的敛散性，正项级数审敛法， 任意项级数审敛法： Leibniz判别法，要结合实例，反复讲解。师生活动设计1. 判别级数的敛散性： （ 1）1，（ 2）1n 1 ln( n 1)n 1 nn n2. 设 u n0(n 1,2,3, ) ，且 lim n1，则级数(1) n 1 (11) ：（）nunn 1unu n1（ A）发散；（ B）绝对收敛；（ C）条件收敛；（ D）收敛性根

20、据条件不能确定讲课提纲、板书设计作业P268:1 (1), (3), (5) ;2 (2), (3), (4) ;4 (1), (3), (5), (6) ;5 (2), (3), (5)§12 3幂级数一、函数项级数的概念函数项级数给定一个定义在区间I 上的函数列 un (x)由这函数列构成的表达式u1 (x) u2(x) u3(x)un(x)称为定义在区间I 上的 ( 函数项 )级数记为un( x)n 1收敛点与发散点对于区间I 内的一定点x0若常数项级数un (x0 ) 收敛则称点x0 是级数un (x) 的收敛点n 1n 1若常数项级数un(x0 ) 发散 n 1则称点x0

21、是级数un( x) n 1的发散点收敛域与发散域函数项级数un (x) 的所有收敛点的全体称为它的收敛域所有发散点的全体称为它的发散n 1域和函数在收敛域上函数项级数un(x) 的和是 x 的函数 s(x)s(x)称为函数项级数un (x) 的和函n 1n 1数并写成 s( x)un( x)un(x)是un( x) 的简便记法以下不再重述n 1n 1在收敛域上函数项级数 un(x)的和是 x 的函数 s(x)s(x)称为函数项级数un(x)的和函数并写成 s(x) un(x) 这函数的定义就是级数的收敛域部分和函数项级数un (x) 的前 n 项的部分和记作sn(x) 函数项级数 un(x)的

22、前 n 项的部分和记作n 1sn(x) 即sn (x)u1(x) u2(x) u3(x)un(x)在收敛域上有lim sn(x)s(x) 或 sn (x) s(x)(n)n余项函数项级数u ( x)的和函数 s( x)与部分和nnnns (x) 的差 r(x) s(x) s (x) 叫做函数项级数n 1un (x) 的余项函数项级数 un(x)的余项记为r n ( x) 它是和函数s(x) 与部分和 sn(x)的差 rnn 1( x)s(x) sn(x) 在收敛域上有lim rn( x)0n二、幂级数及其收敛性幂级数函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都幂函数的函数项级数这种形式的级数称为

23、幂级数它的形式是2na0 a1x a2xanx其中常数 a0 a1 a2an叫做幂级数的系数幂级数的例子1 x x2x3xn1x1 x21 xn2!n!注 幂级数的一般形式是a0 a1(x x0 ) a2 (x x0)2an(x x0) n经变换 t x x0 就得 a0 a1ta2t2antn幂级数1 x x2 x3xn可以看成是公比为 x 的几何级数当 |x|1 时它是收敛的当 |x| 1时 它是发散的因此它的收敛域为 ( 1 1) 在收敛域内有111xx2x3xnx定理 1 (阿贝尔定理 )如果级数a xn当 x x0 (x00)时收敛则适合不等式n 0n|x| |x0 |的一切 x 使

24、这幂级数绝对收敛反之如果级数a xn 当nn 0x x0 时发散 则适合不等式 |x| |x0|的一切 x 使这幂级数发散提示 anxn 是an xn 的简记形式n 0简要证明n在点 x0 收敛n)n即存在一个常设 anx则有 anx0 0(n于是数列 anx0 有界数 M 使 | anx0n |M(n 0, 1, 2,)n| |an x0n | |x |nM | x |n因为|an xn | |an x0n xnx0x0x0而当x| |x0|时M |xn 收敛所以级数 |anaxn绝对收敛等比级数|x |也就是级数|x0n收敛nn 0定理的第二部分可用反证法证明倘若幂级数当 xx0 时发散而

25、有一点 x1 适合 |x1|>|x0|使级数收敛则根据本定理的第一部分级数当 xx0 时应收敛这与所设矛盾定理得证推论如果级数anxn 不是仅在点x0 一点收敛也不是在整个数轴上都收敛则必有一n0个完全确定的正数R存在 使得当 |x| R 时 幂级数绝对收敛当 |x| R 时 幂级数发散当 x R 与 x R 时 幂级数可能收敛也可能发散收敛半径与收敛区间正数 R 通常叫做幂级数an xn 的收敛半径开区间( RR)叫做幂级n 0数anxn 的收敛区间再由幂级数在 xR 处的收敛性就可以决定它的收敛域幂级数 an xnn0n 0的收敛域是 (R, R)(或R, R)、 (R, R、R,

26、R之一规定 若幂级数a xn只在 x0 收敛 则规定收敛半径R 0 若幂级数a xn对一切 x 都nnn0n 0收敛则规定收敛半径R这时收敛域为 (,)定理 2 如果 lim | an 1 |其中 an、an1 是幂级数a xn 的相邻两项的系数则这幂级数nannn 0的收敛半径10R00简要证明lim | an 1xn 1|lim| an 1 | |x| x|na xnnann(1) 如果 0则只当|x| 1 时幂级数收敛故 R1(2) 如果0 则幂级数总是收敛的故 R(3) 如果则只当 x0 时幂级数收敛故 R 0例 1 求幂级数( 1)n 1 xnxx2x3(1)n 1 xnn23nn

27、1的收敛半径与收敛域lim | an 1 | lim n1解因为11nann1n所以收敛半径为 R 11当 x 1 时幂级数成为( 1)n 1 1是收敛的n 1n当 x1 时 幂级数成为(1 ) 是发散的因此收敛域为 ( 1, 1n 1n例 2求幂级数1 xn 的收敛域n 0 n!例 3 求幂级数n! xn 的收敛半径n 0例 4 求幂级数(2n)!2n的收敛半径0 (n!) 2xn解 级数缺少奇次幂的项定理 2 不能应用可根据比值审敛法来求收敛半径，(2n)!2nun 1( x)2幂级数的一般项记为un( x)x因为lim |(n!)24|x|nun( x)当 4|x|2 1即 | x|1 时级数收敛当 4|x|21 即 |x|1 时级数发散所以收敛半径为 R1222 2(n1)!x2(n1)un 1(x)( n1)!2(2n2)(2n1)2提示un(x)(2n)! x2n(n 1)2x(n!)2例 5求幂级数( x 1)n的收敛域2nnn 1解