第二篇-函数与基本初等函数Ⅰ第5讲-对数与对数函数

1、精品资料欢迎下载第 5 讲对数与对数函数【2013 年高考会这样考】1考查对数函数的定义域与值域2考查对数函数的图象与性质的应用3考查以对数函数为载体的复合函数的有关性质4考查对数函数与指数函数互为反函数的关系【复习指导】复习本讲首先要注意对数函数的定义域，这是研究对数函数性质判断与对数函数相关的复合函数图象的重要依据，同时熟练把握对数函数的有关性质，特别注意底数对函数单调性的影响基础梳理1对数的概念(1)对数的定义如果 axN(a0 且 a1)，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作x logaN，其中 a 叫做对数的底数， N 叫做真数(2)几种常见对数对数形式特点一般对数底数为

2、a(a 0 且 a1)常用对数底数为 10自然对数底数为 e2.对数的性质与运算法则(1)对数的性质 alogaNN； logaaNN(a0 且 a1)(2)对数的重要公式logaN换底公式： logbN logab(a，b 均大于零且不等于1)；1logablogba，推广 logab·logb c·logcd logad.记法logaNlg Nln_N精品资料欢迎下载(3)对数的运算法则如果 a 0 且 a1，M 0， N 0，那么Mloga(MN)logaM logaN； loga NlogaMlogaN； logaMnnlogaM(nR)； log amMnmnlo

3、gaM.3 对数函数的图象与性质a 10a1图象定义域： (0， )值域： R过点 (1,0)性质当 x1 时，y0 当 0当 x1 时， y 0 当 0xx1，y01 时， y 0是(0， )上的增函数是(0， )上的减函数4.反函数指数函数 yax 与对数函数 yloga互为反函数，它们的图象关于直线yx对称x一种思想对数源于指数，指数式和对数式可以互化，对数的性质和运算法则都可以通过对数式与指数式的互化进行证明两个防范解决与对数有关的问题时，(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围三个关键点精品资料欢迎下载1画对数函数的图象应抓住三个关键点：(a,1)，(1,0)， a

4、， 1 .四种方法对数值的大小比较方法(1)化同底后利用函数的单调性(2)作差或作商法 (3)利用中间量 (0 或 1)(4)化同真数后利用图象比较双基自测1 (2010 ·四川 )2 log510log50.25 ()A0B1C2D4解析原式 log555 100log 0.25log 25 2.答案C2 (人教 A 版教材习题改编 )已知 alog0.70.8，b log1.10.9，c1.10.9，则 a， b，c的大小关系是 ()A abcBacbCbacD c a b解析将三个数都和中间量1 相比较：0alog0.7 ，1.1 ，0.90.81b log0.90 c1.11

5、.答案C·黄冈中学月考)函数2x1)的值域为 ()3 (2012f(x) log (3A (0， )B0， )C(1， )D1， )解析设 yf(x)，t3x1.则 ylog2t，t 3x1，xR.由 ylog2t，t>1 知函数 f(x)的值域为 (0， )答案A4 (2012 ·汕尾模拟 )下列区间中，函数f(x)|ln(2 x)|在其上为增函数的是精品资料欢迎下载()A(， 1B. 1，43C. 0，3D 1,2)2解析法一当 2x1，即 x1 时，f(x)|ln(2x)| ln(2x)，此时函数 f(x)在(，1上单调递减当02x1，即 1x2 时， f(x)

6、|ln(2 x)| ln(2x)，此时函数 f(x)在1,2) 上单调递增，故选D.法二f(x) |ln(2 x)|的图象如图所示由图象可得，函数f(x)在区间 1,2)上为增函数，故选D.答案D25若 loga3>1，则 a 的取值范围是 _2答案 3，1考向一对数式的化简与求值【例 1】 ?求值： (1)log89；(2)(lg 5)2lg 50 lg·2； log231324(3)2lg 493lg8lg245.审题视点 运用对数运算法则及换底公式2log2332210(2)原式 (lg 5) lg(10×5)lg精品资料欢迎下载 (lg 5)2 (1lg 5)

7、(1 lg 5) (lg 5) 21(lg 5) 21.1431(3)法一原式2(5lg 22lg 7)3×2lg 22(2lg 7 lg 5)511112lg 2lg 72lg 2lg 7 2lg 52(lg 2lg 5)2lg 102.法二原式 lg472lg 4 lg(742×755)lg×471lg 102.对数源于指数， 对数与指数互为逆运算， 对数的运算可根据对数的定义、对数的运算性质、对数恒等式和对数的换底公式进行在解决对数的运算和与对数的相关问题时要注意化简过程中的等价性和对数式与指数式的互化【训练 1】 (1)若 2a5b 10，求 1a1b的值

8、(2)若 xlog3 4 1，求 4x 4 x 的值解 (1)由已知 alog210，blog510，则11lg 2lg 5 lg 10 1.a b(2)由已知 xlog43，x x110则 4 4 4log434log43 333 .考向二对数值的大小比较【例 2】 ?已知 f(x)是定义在 (， )上的偶函数，且在 (， 0上是增函数，设 af(log4， 1， 0.6，则， ，的大小关系是7)bf(log23)cf(0.2 )a b c()A cabB cbaCbc aD a b c审题视点 利用函数单调性或插入中间值比较大小解析log12 4 ， 144， 4 423log 3log

9、9 bf(log23)f(log 9)f(log 9)log 7log9,0.2 0.6 1 3 5 125 5 322log49， 5 5精品资料欢迎下载又 f(x)是定义在 (， )上的偶函数，且在 (， 0上是增函数，故 f(x)在0 ，)上是单调递减的，f(0.20.6) f(log123)f(log47)，即 cba，故选 B.答案B一般是同底问题利用单调性处理，不同底问题的处理，一般是利用中间值来比较大小，同指 (同真 )数问题有时也可借助指数函数、 对数函数的图象来解决【训练 2】(2010 ·全国 )设 a log32， 1，则()bln 2c52A abcBbcaC

10、cabDcba解析法一a log3 1， ln 21，而2 2，所以，2log23blog2elog 3log e1ab c51 1，而52log2 2 ，所以c ，综上c，故选C.254log 3aab法二a log32112elog111 ；， ， log232， log23loglog23bln 2log2e122e 1c 51 1 1 1，所以 cab，故选 C.2542答案C考向三对数函数性质的应用【例 3】?已知函数 f(x) loga(2ax)，是否存在实数 a，使函数 f(x)在 0,1 上是关于x 的减函数，若存在，求a 的取值范围a 1审题视点 a0 且 a 1，问题等价于

11、在 0,1上恒有.2 ax0解 a 0，且 a1，u2ax 在0,1上是关于 x 的减函数又 f(x)log a(2ax)在0,1 上是关于 x 的减函数，函数 ylogau 是关于 u 的增函数，且对x 0,1时， u 2 ax 恒为正数精品资料欢迎下载a1其充要条件是，即 1 a 2.2a0a 的取值范围是 (1,2)研究函数问题，首先考虑定义域，即定义域优先的原则研究复合函数的单调性，一定要注意内层与外层的单调性问题复合函数的单调性的法则是“同增异减 ” 本题的易错点为：易忽略2ax 0 在0,1 上恒成立，即2 a 0.实质上是忽略了真数大于0 的条件【训练 3】 已知 f(x) lo

12、g4(4x 1)(1)求 f(x)的定义域；(2)讨论 f(x)的单调性；1(3)求 f(x)在区间 2，2 上的值域解 (1)由 4x1>0 解得 x>0，因此 f(x)的定义域为 (0， )(2)设 0<x1<x2，则 0<4x11<4x21，因此 log4(4x1 1)<log4(4x2 1)，即 f(x1)<f(x2)，f(x)在(0， )上递增1(3)f(x)在区间 2， 2 上递增，1又 f 2 0， f(2)log415，1因此 f(x)在 2，2 上的值域为 0，log415 难点突破 4 与指数、对数函数求值问题有关的解题基本方法指数与对数函数问题，高考中除与导数有关的综合问题外，一般还出一道选择或填空题，考查其图象与性质，其中与求值或取值范围有关的问题是热点，难