圆锥曲线光学性质解析证明PPT精品文档

1、.1运算的魅力圆锥曲线光学性质证明By QQ762038575.2作者想说 高中圆锥曲线是我的最爱，爱运算，没错，总是给我一种苦尽甘来的感觉，用一大堆的计算最后得到美妙的结果，这种感觉棒棒哒。 关于圆锥曲线光学性质的证明，已有很多前辈给出，不乏巧妙简便的方法，我的方法最大的不同也许就是:最少比例的数形结合，尽可能多的用到数字计算。这很繁琐，但这也正体现运算的魅力。.3首先给出圆锥曲线的光学性质 椭圆：由一个焦点发出的光线，经过椭圆的反射后，反射光线在下一次到达椭圆前会经过另一个焦点。 双曲线：由一个焦点发出的光线，经过双曲线的反射后，反射光线的反向延长线会经过另一个焦点。 抛物线：由焦点发出的

2、光线，经过抛物线反射后，反射光线与抛物线对称轴平行。.4在给出证明之前，先说明一下物理上的反射规律1 入射光线射到曲面上与射到曲面在此点的切线反射光线相同；2 反射光线的反向延长线，会经过光源关于反射面的对称点；因此，要证明圆锤曲线焦点F发出的光线，在点 经过圆锤曲线处反射后的反射光线的性质，我们可以先求出点 处的切线方程，然后求出F点关于切线的对称点H,在研究HE直线的性质。),(00yxE),(00yxE.5第0节 对称点的求法已知设点P(px,py),直线Ax+By+C=0,点P关于直线Ax+By+C的对称点为Q(px,py).60.1求直线的法向量),(),(NNMMyxNyxM的两点

3、取直线上为避免分类讨论，我们0, 0CBxAxCBxAxNNMM则0)()(NMNMyyBxxA作差得的法向量，为直线及可以知道计MNBAABBA),(0),(.7 0.2 求对称点 yxyxyyxxyyxxyyxxyyxxApBpAqBqpqApqBpqApqBBpqApqBApqpqPQPQ)()(0)()(,),(),(因此一般地线，也就是共与首先，我们知道 yxyxApBpAqBq.82 xyyxApBpCBqAqyxyxyyxxyyxxyyxxyxyxBqAqCBpApCBqBpAqApCqpBqpACqpBqpACqqBppACByAxPQ222)()(220220也就是上直线中点

4、在然后，我们知道.9我们得到两个方程 yxyxApBpAqBq2 xyyxApBpCBqAqxyyxyxyxpAABpACABppBABqqAABqqBAB22222得xyxxxpAABpACpBqAqB222222xyxxxpAABpACpApBqAB22222222)(.10)(2)()(2222CBpApApABqAByxxx)(222CBpApABApqyxxx)(2)(2222yxxyyxyxpAABpABppBBCqAABqqBABqAB得yxyyypAABppBBCqAqB222222yyxyypBpAABppBBCqAB22222222)()(222CBpApABBpqyxyy

5、.11第1节 椭圆的光学性质1.1切线方程处反射在椭圆上的点标为光源的坐方程为轴上，不妨设椭圆的焦点在),(),0 ,(, 1002222yxEcFbyaxx.12)0 ,(, 0) 1 (0cyy过轴平行，此时反射光经也就是与易知切线斜率不存在，当联立与方程为切线斜率存在，设切线当1, 0)2(22220byaxmkxyy0)(222222bamkxaxb.1302)(222222222bamamkxaxkab0)( 4)2(222222222bamakabmka0)( 4442224224222224bakbakmamabkma044442224222bakbamab0)(4222222m

6、bkaba02222mbka.1422220022,kabmkaxx由韦达定理为方程的解mkammkakabmkax22222220mbmmkaymmkakmkxy22220200)(.1502022002,yaxbamxkybm0:220202020202bayyaxxbybxyaxby即切线方程.161.2 左焦点关于切线的对称点)(2)(22222CBpApABBpqCBpApABApqyxyyyxxx由对称点坐标结论0:220202bayyaxxb以及切线方程为关于切线的对称点GcF)0 ,(.17)0)(222020220420402bayacxbyaxbxbcxG)(2220220

7、420402bacxbyaxbxbcxG2042042004)(2yaxbacxxbcxG)0)(2022020220420402bayacxbyaxbyayG)(2220220420402bacxbyaxbyayG.1820420420022)(2yaxbacxybayG)(2,)(2(204204200222042042004yaxbacxybayaxbacxxbcG),(00yxE)0 ,(hHxGE轴交于与设直线)(2,)(2(204204200222042042004yaxbacxybayaxbacxxbhcHG),(00yhxHE.19HEHG204204200220)(2yaxb

8、acxybay2042042022)(2yaxbacxba20420420040)(2)(yaxbacxxbhchx0220)(xabhchx.200220 xabhchxhcabx)1()1(220hcacx)1(220)1(12220220acacxcacxh.21)1)(2()(2204204202222202042042022yaxbacxbaacacxyaxbacxbah)()(2()()(2204204202222042042202022yaxbacxbaayaxbcacxacxbahcyaxbacxbayaxbcxacxbh)()(2)()(2204204202220420402

9、02.22cyaxbacxbayaxbyaxbcxacxbh)()(2)()( 2)(220420420222042042042040202cyaxbacxbayaxbxbbaaxbcxacxbh)()(2)()( 2)(220420420222042042022222040202cyaxbacxbayaxbxbabaxbcxbacxbh)()(2)(2222220420420222042042022242040222202cyaxbacxbayaxbbacxbaabcxbh)()(2)(22)(2204204202220420424022222202cyaxbacxbayaxbbacxbah

10、)()(2)(22204204202220420424022.23ccyaxbacxbayaxbacxbah)()(2)()(220420420222042042022即反射光线经过右焦点.24第2节 双曲线的光学性质2.1切线方程处反射在双曲线上的点标为光源的坐方程轴上，不妨设双曲线的焦点在),(), 0(, 1002222yxEcFbyaxy.25联立与方程为切线斜率存在，设切线1, 022220byaxmkxyy0)(222222bamkxaxb.2602)(222222222bamamkxaxkab0)( 4)2(222222222bamakabmka0)( 4442224224222

11、224bakbakmamabkma044442224222bakbamab0)(4222222mbkaba02222mbka.2722220022,kabmkaxx由韦达定理为方程的解mkammkakabmkax22222220mbmmkaymmkakmkxy22220200)(.2802022002,yaxbamxkybm0:220202020202bayyaxxbybxyaxby即切线方程.292.2 下焦点关于切线的对称点)(2)(22222CBpApABBpqCBpApABApqyxyyyxxx由对称点坐标结论0:220202bayyaxxb以及切线方程为关于切线的对称点GcF), 0

12、( .30)(0()(222020220420402bacyaxbyaxbxbxG)(2220220420402bacyayaxbxbxG20420420022)(2yaxbbcyxbaxG)(0(222020220420402bacyaxbyaxbyacyG)(2220220420402bacyayaxbyacyG.312042042004)(2yaxbbcyyacyG)(2,)(2(204204200420420420022yaxbbcyyacyaxbbcyxbaG),(00yxE), 0(hHyGE轴交于与设直线)(2,)(2(204204200420420420022hyaxbbcyy

13、acyaxbbcyxbaHG),(00hyxHE.32HEHG204204200220)(2yaxbbcyxbax2042042022)(2yaxbbcybahyaxbbcyyachy20420420040)(2)(0220)(ybahchy.330220ybahchyhcbay)1()1(220hcbcy)1(220)1(12220220bcbcycbcyh.34)1)(2()(2204204202222202042042022yaxbbcybabcbcyyaxbbcybah)(2()()(2204204202222042042202022yaxbbcybabyaxbcbcybcybahcy

14、axbbcybayaxbcybcyah20420420222042040202)(2)()(2.35cyaxbbcybayaxbyaxbcybcyah20420420222042042042040202)(222)(2cyaxbbcybayaxbyabayabcybcyah20420420222042042042220220202)(22)(2)(2cyaxbbcybayaxbyabayabcbacyah2042042022204204204422022222202)(222222cyaxbbcybayaxbbacybaabcyah204204202220420442022222202)(22

15、2)(2cyaxbbcybayaxbbacybah204204202220420442022)(222.36ccyaxbbcybayaxbbcybah20420420222042042022)(2)(2即反射光线经过上焦点.37第3节 抛物线的光学性质3.1切线方程处反射在抛物线上的点标为光源的坐方程轴上，不妨设抛物线的焦点在),(),2, 0(,2002yxEpFpyxy.38联立与方程为切线斜率存在，设切线pyxmkxy2,20222pmpkxx0)2(4)2(2pmpk0)2(42 mpkp022 mpk.39pxkpkx00,mxpxmkxy00000200000ypxyxpxym00yxpxy切线方程.40000pypy