标量的卡尔曼滤波器

1、 标量的卡尔曼滤波器原理及结构7.5.1 标量的卡尔曼滤波器1信号产生模型与观测模型 卡尔曼滤波与预测是一种模型化的参数估计方法。其基础是信号产生过程的自回归（AR）模型。由白噪声激励的一阶AR信号产生模型（可认为是理论计算模型）如图7-12（a）所示，其数学表示为： （7-136）式中w(k-1)为零均值白噪声，其方差； 即：Ew(k) =0Ew(k) w(j) =0 kj （7-137）Ew(k) w(j) = k = j数据测量模型如图7-12（b）所示，其数学表示为：y(k) = cx(k) + v(k) （7-138）a白噪声+z-1w(k-1)+ax(k-1)系统参数单位延迟x(k

2、)x(k)a测量参数+v(k)测量噪声y(k)(a) 信号产生模型(b)数据测量模型图7-12 一阶AR信号模型与观测模型2. 标量信号的卡尔曼滤波 基于（7-136）和式（7-138）的模型，对x(k) 进行估计的递推算法如下： （7-139）上式右边第1项表示对上次估计结果的加权，加权系数为a(k) ；第2项表示对当前测量结果的加权，加权系数为b(k) 。下面推演a(k)和b(k)的关系： 为实现最优估计，就需要求出能够使估计值达到最小均方误差的a(k)和b(k)。定义误差为： （7-140）则均方误差定义为： （7-141）为求出均方误差达到最小时的a(k)和b(k)，令 （7-142）

3、将式（7-141）代入，可得：a(k)为微分变量，其余为常量，得： 即： （7-143）同理：b(k)为微分变量，其余为常量，得： 即： （7-144）由式（7-143）得： （7-145）式（7-145）左边加减 得：（7-146） 将（7-138）：y(k) = cx(k) + v(k) 和（7-140）：代入（7-146） ： 得：（7-147） 对于最优估计，存在下列正交方程：， （7-148） （7-149） （7-150）由式（7-148）和（7-149）可将式（7-147）化简为： （7-151）将式（7-136）代入（7-151）可得： （7-152） 将式（138）y(k)

4、= cx(k) + v(k) 代入（7-139）得： （7-153）将式（136）代入（7-153）： （7-154）即有：（7-155） 式（7-155）右边项均与w(k-1) 不相关，故（7-155）左右两端均乘以w(k-1)，各项与w(k-1) 乘积的均值均为零，可得： （7-156）将（7-156）代入（7-152）得： （7-157）由（7-157）可得： （7-158）这就是使均方误差达到最小的a(k) 和b(k) 的关系。将式（7-158）代入（7-139）： 得： （7-159）式（7-159）表示标量信号的卡尔曼滤波递推算法。它不仅消除了a(k) ，而且具有明显的物理意义。式

5、中右边第一项是根据先前的测量数据对 x(k) 的预测，第二项是修正项，它取决于新的测量值y(k)与预测值之差。b(k) 称为卡尔曼增益。x(k)实现（7-159）算法的方框图如图7-13时变增益y(k)+估计值测量值_b(k)+caz-1单位延迟系统参数测量参数图7-133. 均方误差和卡尔曼增益的推演 式（7-159）所示的卡尔曼滤波算法需要每次计算b(k)。 为推演b(k)可由式（7-141）可得均方误差为： （7-160） 将式（7-139） 代入（7-160）得： （7-161）将正交方程（7-148）和式（7-150）代入（7-161） （7-162） 将测量模型式（7-138）代入

6、（7-162），并考虑正交方程 得： （7-163）将代入（7-163）得： 用式（7-139） 的右边代替中的 （7-164）式（7-164）右边三项中，考虑到 和 ，故只剩一项： （7-165）故有： （7-166） y(k)为测量值，v(k)为测量噪声。下面再讨论均方误差；将式（7-159）代入均方误差公式，得： （7-167）在利用式（7-138）和式（7-136），由式（7-167）可推演出 （7-168）由于e(k-1)、w(k-1)和v(k)互不相关，所以（7-168）中的交叉乘积项的均值为零，故有： （7-169）式中： 。将（7-165） 代入（7-169） 得： （7-170）得： （7-171）注意：首先根据p(k-1)由式（7-171）计算出b(k)，再由式（7-165） （7-172）计算方差！为便于推广到向量情况，定义： （7-173）代入（7-171）得： （7-174） 将（7-174）中的表达式代入（7-172）得： （7-175）卡尔曼滤波器的4个方程 （1） 习题：对理论计算恒定电压