三角函数的诱导公式【六公式】

1、用公式折叠 诱导公式三角函数的诱导公式（六公式）公式一：sin(+k*2)=sin （k为整数）cos(+k*2)=cos（k为整数）tan(+k*2)=tan（k为整数）公式二：sin(+) = -sincos(+) = -costan(+）=tan公式三：sin(-) = -sincos(-) = costan (-)=-tan公式四：sin(-) = sincos(-) = -costan(-) =-tan公式五：sin(/2-) = coscos(/2-) =sin由于/2+=-（/2-），由公式四和公式五可得公式六：sin(/2+) = coscos(/2+) = -sin诱导公式

2、记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限。2或者也可以这样记：分变整不变，符号看象限。折叠 和（差）角公式三角和公式sin（+）=sin·cos·cos+cos·sin·cos+cos·cos·sin-sin·sin·sincos（+）=cos·cos·cos-cos·sin·sin-sin·cos·sin-sin·sin·costan（+）=（tan+tan+tan-tan·tan·tan）/（1-tan·tan

3、-tan·tan-tan·tan）（+/2+2k，、/2+2k）积化和差的四个公式sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2和差化积的四个公式：sinx+siny=2sin(x+y)/2)*cos(x-y)/2)sinx-siny=2cos(x+y)/2)*sin(x-y)/2)cosx+cosy=2cos(x+y)/2)*cos(x-y)/2)cosx-cosy=-2sin(

4、x+y)/2)*sin(x-y)/2)折叠 倍角公式sin（3a)3sina-4sin3a=sin(a+2a)=sin2acosa+cos2asina=2sina（1-sin2a)+（1-2sin2a)sina=3sina-4sin3acos3a（2cos2a-1）cosa-2（1-cos2a)cosa=cos（2a+a)=cos2acosa-sin2asina=（2cos2a-1）cosa-2（1-cos2a)cosa=4cos3a-3cosasin3a4sinasin（60°+a)sin（60°-a)=3sina-4sin3a=4sina（3/4-sin2a)=4sin

5、a（3/2）-sina（3/2）+sina=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)=4sina*2sin（60+a)/2cos（60°-a)/2*2sin（60°-a)/2cos（60°+a)/2=4sinasin（60°+a)sin（60°-a)cos3a4cosacos（60°-a)cos（60°+a)=4cos3a-3cosa=4cosa(cos2a-3/4）=4cosacos2a-（3/2）2=4cosa(cosa-cos30°）(cosa+cos30°

6、）=4cosa*2cos(a+30°）/2cos(a-30°）/2*-2sin(a+30°）/2sin(a-30°）/2=-4cosasin(a+30°）sin(a-30°）=-4cosasin90°-（60°-a)sin-90°+（60°+a)=-4cosacos（60°-a)-cos（60°+a)=4cosacos（60°-a)cos（60°+a)tan3atanatan（60°-a)tan（60°+a)上述两式相比可得tan3a=

7、tanatan（60°-a)tan（60°+a)三倍角sin3=3sin-4sin3 =4sin·sin（/3+）sin（/3-）cos3=4cos3 -3cos=4cos·cos（/3+）cos（/3-）tan3=tan（）*(-3+tan（）2）/(-1+3*tan（）2）=tan a · tan（/3+a）· tan（/3-a)其他多倍角四倍角sin4A=-4*(cosA*sinA*（2*sinA2-1）cos4A=1+(-8*cosA2+8*cosA4）tan4A=（4*tanA-4*tanA3）/（1-6*tanA2+tan

8、A4）五倍角sin5A=16sinA5-20sinA3+5sinAcos5A=16cosA5-20cosA3+5cosAtan5A=tanA*（5-10*tanA2+tanA4）/（1-10*tanA2+5*tanA4）六倍角sin6A=2*(cosA*sinA*（2*sinA+1）*（2*sinA-1）*(-3+4*sinA2）cos6A=(-1+2*cosA)*（16*cosA4-16*cosA2+1）tan6A=(-6*tanA+20*tanA3-6*tanA5）/(-1+15*tanA-15*tanA4+tanA6）七倍角sin7A=-(sinA*（56*sinA2-112*sinA4

9、-7+64*sinA6）cos7A=(cosA*（56*cosA2-112*cosA4+64*cosA6-7）tan7A=tanA*(-7+35*tanA2-21*tanA4+tanA6）/(-1+21*tanA2-35*tanA4+7*tanA6）八倍角sin8A=-8*(cosA*sinA*（2*sinA2-1）*(-8*sinA2+8*sinA4+1）cos8A=1+（160*cosA4-256*cosA6+128*cosA8-32*cosA2）tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanA2-7*tanA4+tanA6）/（1-28*tanA2+70*tanA4-28*tanA6+t

10、anA8）九倍角sin9A=(sinA*(-3+4*sinA2）*（64*sinA6-96*sinA4+36*sinA2-3）cos9A=(cosA*(-3+4*cosA2）*（64*cosA6-96*cosA4+36*cosA2-3）tan9A=tanA*（9-84*tanA2+126*tanA4-36*tanA6+tanA8）/（1-36*tanA2+126*tanA4-84*tanA6+9*tanA8）十倍角sin10A = 2*(cosA*sinA*（4*sinA2+2*sinA-1）*（4*sinA2-2*sinA-1）*(-20*sinA2+5+16*sinA4）cos10A =

11、(-1+2*cosA2）*（256*cosA8-512*cosA6+304*cosA4-48*cosA2+1）tan10A = -2*tanA*（5-60*tanA2+126*tanA4-60*tanA6+5*tanA8）/(-1+45*tanA2-210*tanA4+210*tanA6-45*tanA8+tanA10）N倍角根据棣莫弗定理，（cos+ i sin）n = cos(n）+ i sin(n）为方便描述，令sin=s，cos=c考虑n为正整数的情形：cos(n）+ i sin(n） = (c+ i s)n = C(n,0)*cn + C(n,2）*c(n-2）*(i s)2 + C

12、(n,4）*c(n- 4）*(i s)4 + . +C(n,1）*c(n-1）*(i s)1 + C(n,3）*c(n-3）*(i s)3 + C(n,5）*c(n-5）*(i s)5 + . =>；比较两边的实部与虚部实部：cos(n）=C(n,0)*cn + C(n,2）*c(n-2）*(i s)2 + C(n,4）*c(n-4）*(i s)4 + . i*虚部：i*sin(n）=C(n,1）*c(n-1）*(i s)1 + C(n,3）*c(n-3）*(i s)3 + C(n,5）*c(n-5）*(i s)5 + . 对所有的自然数n：cos(n）：公式中出现的s都是偶次方，而s2

13、=1-c2（平方关系），因此全部都可以改成以c（也就是cos）表示。sin(n）：当n是奇数时：公式中出现的c都是偶次方，而c2=1-s2（平方关系），因此全部都可以改成以s（也 就是sin）表示。当n是偶数时：公式中出现的c都是奇次方，而c2=1-s2（平方关系），因此即使再怎么换成s，都至少会剩c（也就是 cos）的一次方无法消掉。例. c3=c*c2=c*（1-s2），c5=c*(c2）2=c*（1-s2）2）特殊公式（sina+sin）*（sina-sin）=sin（a+）*sin（a-）证明：（sina+sin）*（sina-sin）=2 sin（+a)/2 cos(a-)/2 *2

14、 cos（+a)/2 sin(a-）/2=sin（a+）*sin（a-）折叠 坡度公式我们通常把坡面的垂直高度h与水平宽度l的比叫做坡度（也叫坡比）， 用字母i表示，即i=h / l,坡度的一般形式写成l : m形式，如i=1:5.如果把坡面与水平面的夹角记作a（叫做坡角），那么i=h/l=tan a.半角公式万能公式6辅助角公式注：该公式又称收缩公式 / 强提公式 / 化一公式 等asin +bcos =(a2+b2)sin(+)，其中tan =b/aasinA+bcosB=根号下a方+b方×（根号下a方+b方分之a×sinA+根号下a方+b方分之b×cosB)

15、 令根号下a方+b方分之a=cosC 则根号下a方+b方分之b=sinC asinA+bcosB=根号下a方+b方（sinAcosC+cosBsinC)=根号下a方+b方×sin(A+C)折叠 双曲函数h a = ea-e(-a)/2ch a = ea+e(-a)/2th a = sin h(a)/cos h(a)公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2k+）= sincos（2k+）= costan（2k+）= tancot（2k+）= cot公式二：设为任意角，+的三角函数值与的三角函数值之间的关系：sin（+）= -sincos（+）= -costan

16、（+）= tancot（+）= cot公式三：任意角与 -的三角函数值之间的关系：sin（-）= -sincos（-）= costan（-）= -tancot（-）= -cot公式四：利用公式二和公式三可以得到-与的三角函数值之间的关系：sin（-）= sincos（-）= -costan（-）= -tancot（-）= -cot公式五：利用公式-和公式三可以得到2-与的三角函数值之间的关系：sin（2-）= -sincos（2-）= costan（2-）= -tancot（2-）= -cot公式六：/2±及3/2±与的三角函数值之间的关系：sin（/2+）= coscos

17、（/2+）= -sintan（/2+）= -cotcot（/2+）= -tansin（/2-）= coscos（/2-）= sintan（/2-）= cotcot（/2-）= tansin（3/2+）= -coscos（3/2+）= sintan（3/2+）= -cotcot（3/2+）= -tansin（3/2-）= -coscos（3/2-）= -sintan（3/2-）= cotcot（3/2-）= tan（以上kZ)A·sin（t+）+ B·sin（t+） =(A+2ABcos（-） · sint + arcsin (A·sin+B·s

18、in） / A2 +B2 +2ABcos（-）表示根号，包括中的内容折叠 反三角函数公式arcsin(-x)= -arcsinxarccos(-x)=-arccosxarctan(-x)= -arctanxarccot(-x)=-arccotxarcsinx+arccosx=arctanx+arccotx=/21折叠 编辑本段 函数应用在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在海岛北偏东30，俯角为30的B处。到11时10分又测得该船在岛北偏西60，俯角为60的C处。（1）该船的航行速度是每小时多少千米？（2）又经过一段时间后，船到达海岛正西方向的D处，此时船距岛A有多远？解（1）在RtPAB中，APB=60° PA=1，AB= 3（千米） 在RtPAC中，APC=30°，AC= 3/3（千米）在ACB中，CAB=30°+60