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文档简介
1、高一数学函数一、知识结构二、重点难点重点:有关映射与函数的概念,要求会求函数的定义域和一些简单函数的值域;幂函数的图象和性质;单调性的概念;反函数的概念;要掌握函数的图象和性质;对数运算与指数运算的关系,对数式与指数式的互化;对数性质和运算法则;难点:映射的概念;幂函数的应用;用定义判定函数的单调性与确定函数的单调区间;反函数的求法;利用指数函数的性质,结合有关幂函数以及函数的单调性、奇偶性和有关复合函数的知识解决函数值的比较与求值域问题;对数概念与各名称的意义的理解;注意法则应用的条件和推导。三、知识点解析1、函数:(1)定义:1)传统定义:如果在某变化过程中有两个变量,并且对于在某个范围内
2、的每一个确定的值,按照某个对应法则,都有惟一确定的值和它对应,那么就是的函数,记为;2)近代定义:函数是由一个非空数集到另一个非空数集的映射。 ;上述两个定义实质上是一致的,只不过传统定义是从运动变化的观点出发,而近代定义是从集合、映射的观点出发,侧重点不同,函数实质上是从集合A到集合B的一个特殊的映射,其特殊性在于集合A、B都是非空数集。自变量的取值集合叫做函数的定义域,函数值的集合C叫做函数的值域。这里应该注意的是,值域C并不一定等于集合B,而只能说C是B的一个子集;(2)三要素:函数是由定义域、值域以及从定义域到值域的对应法则三部分组成的特殊的映射。2、函数的单调性:(1)定义
3、:对于给定区间上的函数,1)如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值,当时,都有,那么就说在这个区间上是增函数;2)如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值,当,都有,那么就说在这个区间上是减函数;(2)证明函数单调性的方法:1)用定义;2)利用已知函数的单调性;3)利用函数的图像;4)依据符合函数单调性有关结论;5)为增函数,为减函数; (3)函数的周期性:对于函数,如果存在一个不为零的常数,使得当取定义域内的每一个值时,都成立,那么就把函数叫做周期函数,不为零的常数叫做这个函数的周期;对于一个周期函数,如果在所有的周期中存在着一个最小的正数,就把这个最小的正数叫做最小正周期:1)式子对定义
4、域中的每一个值都成立,即对定义域中的任何,式子都成立,而不能是“一个”或“某些”;2)一个函数是周期函数,它并不一定就有最小正周期,如:(是常数),显然,对任何一个正数T,都有;这就是说,任何一个正数都是的周期,由于正数中不存在最小的数,所以周期函数不存在最小正周期。设是的周期,那么且)也一定是的周期。3、反函数(1)反函数的意义:一般地,式子表示是自变量的函数,设它的定义域为A,值域为B、我们从式子中解出,得到式子。如果对于在中的任何一个值,通过式子,在A中都有唯一确定的值和它对应,那么式子就表示是自变量的函数,这样的函数,叫做函数的反函数,记作,即,在函数式中,表示自变量,表示函数。习惯上
5、,一般用表示自变量,用表示函数.为此对调函数式中的字母,把它改写成。1)与具有四性:A、互换性;B、对称性;C、奇偶性;D、单调性;2)和互为反函数,即或;3)求反函数的步骤:A、解出 ;B、交换,得;C、解出反函数的定义域(即原函数值域);4)互为反函数的两个函数图像关于直线对称;(2)反函数存在的条件:并不是所有函数都存在反函数.根据反函数的定义,只有原象具有唯一性的函数,即对任意的,能推断出成立的函数才具有反函数;(3)反函数与原函数的关系:1)原函数的定义域是反函数的值域,原函数的值域是反函数的定义域;2)与互为反函数,设的定义域为A,值域为C,则有,;(4)反函数的求法:可以根据反函
6、数的定义求出已知函数的反函数,其步骤为:1)由解出;2)交换,得;3)根据的值域,写出的定义域。4、幂函数、指数函数、对数函数(1)幂、指数、对数式1)同底数幂的运算性质:,;2)根式的运算性质:,当是偶数时,当是奇数时;3)分数指数幂与根式的关系规定:正分数指数幂,正分数指数幂;4)对数及对数的运算性质:定义:如果且),则数叫做以为底N的对数,记作,对数恒等式:(a0且a1,N0),对数的性质:()负数和零没有对数,(),();对数的运算法则:(),(),(),(); 换底公式:(),(),();(2)幂函数1)定义:形如(是常数)的函数叫幂函数;2)幂函数的图像见图:3)幂函数的性质:都过
7、点(1,1);除原点外,任何幂函数图像与坐标轴都不相交,任何幂函数都不过第四象限;时,幂函数图像过(0,0)且在(0,+)上是增函数;时,幂函数图像不过(0,0)且在(0,+)上是减函数;任何两个幂函数图像最多有三个公共点,除(1,1),(0,0),(-1,1)外,其它任何一点都不是两个幂函数的公共点;(3)指数函数1)定义:形如(且)的函数叫指数函数;2)指数函数的图像见图:3)指数函数的性质都过(0,1)点;定义域为,值域为;时,在(-,+)上是增函数;时,在(-,+)上是减函数;时,;时,。(4)对数函数1)定义:形如(且)的函数叫对数函数;2)对数函数图像见图。对数函数图像和指数函数图
8、像关于直线对称(互为反函数);3)对数函数的性质:都过(1,0)点;定义域为,值域为;时,在(0,+)上是增函数;时,在(0,+)上是减函数;时,;时,。四、例题1、函数例1 审查下面四个命题:()是函数;()函数是其定义域到值域的映射;()和表示同一函数;()和表示同一函数;其中正确的有 A、1个 B、2个 C、3个 &
9、#160; D、4个解 B注 高中数学中的函数是通过映射来定义的。例2 函数的图像是 解 D 函数可化为。例3 设ak0,bc0,在同一坐标系中y=ax2+c与y=kx+b的图象应是 解 B 由同号排除D;由b,c异号排除A,C。例4 已知函数满足,则c的
10、60; A、3 B、-3 C、3或-3 D、不存在解 B 。对任何成立,所以,即。而,故所求。例5 函数的定义域是 A、 B、 C、 D、无法确定解 B 解不等式组得,此即所求定义域。例6 已知函数,则的值
11、; A、2 B、-15 C、12 D、以上都不对 解 A 因为,所以,所以。注 求分段函数的函数值时,首先应清楚自变量的值在定义域的哪一段上。例7 如果函数的定义域是,那么函数的定义域是_。解 0解不等式,得,所以所求函数定义域为。例8 已知,则等于
12、 。解 15 令,解得。代入得。例9 若,则满足等式的的值是_。解 -2 因为,所以。由题设的。 例10 设。若的值域也为A,则b的值为_。解 3 函数的对称轴为,而,故可令,即,解得,舍去。例11 已知是的函数,求函数的解析式及其定义域。解 。因为,所以,即。所以所求函数为;其定义域为。例12 设的值域为,求的值。解 设,则。因为,所以,即。易知是不等式,即的解。比较系数,得。例13 求下列函数的值域:(1) (2) (3) (4) 解 (1)因为,所以值域为。 (2)因为,所以值域为。注 此题容易误解为。 (3)因为,所以,所以值
13、域为。 (4)令,则,从而。因为,所以。于是,故值域为。例14 已知是的二次函数,且,求。解 设,则有,。所以 。又,比较系数,得,所以所求函数为。例15 已知,且,求。解 令,代入,得。又,所以。2、函数单调性例1 下列函数中,属于增函数的是 A、 B、 C、 D、解 D例2 若一次函数在上是单调递减函数,则点在直角坐标平面的 A、上半平面 &
14、#160; B、下半平面 C、左半平面 D、右半平面解 C 因为。例3 函数在区间上是减函数,则实数a的取值范围是 A、 B、 C、 D、解 B 因抛物线开口向上,对称轴
15、方程为,所以,即。例4 已知,如果,那么 A、在区间(-1,0)内是减函数 B、在区间(0,1)内是减函数C、在区间(-2,0)内是增函数 D、在区间(0,2)内是增函数解 A 。画出草图可知在(-1,0)上是减函数。例5 若在上都是减函数,则在(0,+)上是_函数(选填“增”或“减”)。解 减函数 由条件知,所以。例6 函数的单调递增区间是 。解 -2,1已知函数的定义域是。设,可知当时,随增大时,也增大但值减小;当时,随增大时,减小,但值增大,此时是的单调增函数,即时,是增函数。注 在求函数单
16、调区间时,应先求函数的定义域。例7 在定义域上是单调递增函数,且,那么在同一定义域上,是单调 函数;是单调 函数;y=f(x)2是单调_函数。解 递减;递减;递增。例8 已知,证明是定义域上的减函数,且满足等式的实数值至多只有一个。解 设,且,则,所以。所以是上的减函数。假设使成立的的值有两个,设为,且,则。但因为上的减数,故有。矛盾。所以使成立的的值至多有一个。例9 定义域为的函数,对任意,都有,其中为常数。又知时,该函数为减函数,判断当时,函数的单调状况,证明自己的结论。解 当时,函数是增函数。设,则。因为函数在上是减
17、函数,所以,注意到对任意,都有,可见对于实数,也有,即。同理。所以,所以函数在上是增函数。例10 是定义在上的递增函数,且。(1)求证;(2)若,且,求的取值范围。解(1)因为,所以。(2)因为,于是。由题设有,解得。3、反函数例1 求下列函数的反函数(1) (2) (3)解 (1)由得,。原函数的反函数为。(2)由,得。,。 又 ,即,所求函数的反函数为。 (3)由,得。,。 ,故。又当时,故。,所求函数的反函数为。评注 对于用解析法表示的函数,求其反函数,实际上只要做三件事:把给出的函数解析式中的自变量当作未知数,因变量当作系数的方程而解之;求给出函数的值域,把中的
18、互换。例2 如果点既在函数的图像上,又在函数的反函数的图象上,那么_ _。分析 确定,只要列出关于的两个方程,而由可得一方程,但直接用则需先求出反函数,应注意。解 依题意可有:且,即,解得。例3 给定实数,设函数,求证:这个函数的图象关于成轴对称图形。分析 本题证明可有两种思路:证明任何一点在这个函数图象上,则点关于直线的对称点也在这个函数的图象上。证明此函数与反函数是同一个函数,下面只写出一种。证明:先求所给出函数的反函数:由得: 若,由,故得,此时又由可有,于是得,即,这与已知矛盾,故。即函数的反函数是。由
19、于函数与的图像关于直线对称,故函数的图像关于直线成轴对称图像。4、幂函数、指数函数、对数函数()幂函数例1 函数的大致图像是 分析 当函数中,当n1时,在第一象限的图象特征是上升上凸的,因而可排除A、C,而当取x的两个互为相反数自变量时,经计算结果y值也互为相反数,从而可排除B,故应选D。例2 若上述函数中是幂函数的个数为 A、1个 B、2个 C、3个 D、4个分析 幂函数是形如的函数,其结构特征是:函数右边为单项式
20、,幂指数为常数,底数为自变量,前面的系数为1。从这四个特点,我们可以判数:中,前的系数为4,故不为幂函数,为二项式,底数为,而中自变量x在指数位置,故只有,为幂函数,应选B。例3 下列函数中,以作为定义域的函数是 A、 B、 C、 D、解 ,定义域为:;,定义域为:;,定义域为:;,定义域为:。故应选D。评注 幂函数定义
21、域求法分两步,首先化为根式或分式形式,然后考虑分式中分母不为零,开偶次根时被开方数不能为负两个方面求出函数的定义域。例4 设,且,则整数的值应为 A、 B、 C、 D、不能确定解 考察,当时,即在第一象限内,值随值增大而减小,而,即,而,。,故,选C。例5 试比较的大小。解 。评注 多个数的大小比较问题是要观察数与数之间异同点,将它们进行分类(与1和0比)粗比,然后在每一类中利用有关结论进
22、行细比,最后得出大小关系。()指数函数例1 函数的图像是
23、 解 A例2 ,则的定义域是 A、 B、 C、 D、解 B 因为,即的值域为,故的定义域为。例3 下列函数中,值域是(0,+)的一个
24、函数是 A、 B、 C、 D、解 B。例4 函数在上是减函数,则的取值范围是 A、 B、 C、 D、解 D。 由题设,有,所以。例5 已知,审查下列不等式。() () () () ()其中恒成立的
25、160; A、1个 B、2个 C、
26、3个 D、4个解 C。例5 使函数递减的的取值范围是_。解 因为的递增区间,而为增函数,故所求范围是。例7 根据不等式确定正数a的取值范围:(1),则_;(2),_;(3) 。解 (1) (2) (3) 。例8 已知(1)指出函数的奇偶数,并予以证明;(2)求证:对任何(且),都有。解 (1)的定义域为,关于原点对称。又,所以是偶函数。(2))当时,所以。当时,由为偶函数,有,所以对一切,
27、恒有。注 利用函数的奇偶性常可使解法简化。如本例(2),当时,证明较繁。若注意到为偶函数,则只须证明,当时,而这是显然的。例11 比较与的大小。解 ,。因为,所以。由指数函数单调性,知当时, ;当时,。()对数函数例1 函数的定义域是 A、 B、 C、 D、解 A。 解不等式,得或。例2 函数的值域是 A、 B、
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