可用函数导数及其应用练习题

1、【感悟高考真题】1、（2011·福建卷文科·6）若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）（A）. (-1,1) （B）. (-2,2) （C）. (-，-2) （2，+） （D）.（-，-1）（1，+）【思路点拨】方程x2+mx+1=0若有两个不相等的实数根，需满足其判别式，由此即可解得的取值范围.【精讲精析】选C. 方程有两个不相等的实数根，需判别式，解得或.2、（2011·新课标全国高考文科·10）在下列区间中，函数的零点所在的区间为（ ）A. B. C. D. 【思路点拨】结合函数的单调性，将4个选项中涉及的

2、端点值代入函数的解析式，零点所在的区间必在使得端点函数值异号的区间内.【精讲精析】选C 是上的增函数且图象是连续的，又，定在内存在唯一零点.3、（2011·陕西高考理科·T6）函数在内 （ ）（A）没有零点 （B）有且仅有一个零点（C）有且仅有两个零点 （D）有无穷多个零点【思路点拨】利用数形结合法进行直观判断，或根据函数的性质（值域、单调性等）进行判断。【精讲精析】选B （方法一）数形结合法，令，则，设函数和，它们在的图象如图所示，显然两函数的图象的交点有且只有一个，所以函数在内有且仅有一个零点；（方法二）在上，所以；在，所以函数是增函数，又因为，所以在上有且只有一个零点

3、4、（2011·山东高考文科·16）已知函数=当2a3b4时，函数的零点 .【思路点拨】由条件易知函数f(x)在（0,+）上为增函数，然后利用函数的零点存在定理求出函数的零点所在区间.【精讲精析】因为函数在（0，上是增函数，即.5、（2010湖北理数）17（本小题满分12分） 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元。该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元。设f（x）为隔热层建造费用与

4、20年的能源消耗费用之和。（）求k的值及f(x)的表达式。（）隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值。思路解析：本小题主要考查函数、函数等基础知识,同时考查运用数学知识解决实际问题的能力.解答:(I)设隔热层厚度为xcm,由题设,每年能源消耗费用为.再由C(0)=8,得k=40,因此,而建造费用为.最后得隔热层建造费用与20年能源消耗费用之和为(II)【考点精题精练】一、选择题1、若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：f(1)=-2f(1.5)=0.625f(1.25)=-0.984f(1.375)=-0.260f(1.4

5、38)=0.165f(1.4065)=-0.052那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根（精确到0.1）为（ C ） A、1.2 B、1.3 C、1.4 D、1.52、若函数在区间a,b上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（ D ）A若，不存在实数使得；B若，存在且只存在一个实数使得；C若，有可能存在实数使得； D若，有可能不存在实数使得；解析：由零点存在性定理可知选项D不正确；对于选项B，可通过反例“在区间上满足，但其存在三个解”推翻；同时选项A可通过反例“在区间上满足，但其存在两个解”；选项D正确，见实例“在区间上满足，但其不存在实数解”3、关于“二分法”求方程的近似解，

6、说法正确的是（D）A“二分法”求方程的近似解一定可将在a,b内的所有零点得到；B“二分法”求方程的近似解有可能得不到在a,b内的零点；C应用“二分法”求方程的近似解，在a,b内有可能无零点；D“二分法”求方程的近似解可能得到在a,b内的精确解；解析：如果函数在某区间满足二分法题设，且在区间内存在两个及以上的实根，二分法只可能求出其中的一个，只要限定了近似解的范围就可以得到函数的近似解，二分法的实施满足零点存在性定理，在区间内一定存在零点，甚至有可能得到函数的精确零点。4、若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25， 则可以是A. B. C. D. 答案 A解析 的零点为x=,的零点为x=1

7、, 的零点为x=0, 的零点为x=.现在我们来估算的零点，因为g(0)= -1,g()=1,所以g(x)的零点x(0, ),又函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25，只有的零点适合，故选A。5、某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y=3 000+20x-0.1x2(0<x<240,xN)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是( )(A)100台 (B)120台 (C)150台 (D)180台【解析】选C.要使生产者不亏本，则有3 000+20x-0.1x225x,解上式得：x-200或x150,又0<x&l

8、t;240,xN，x的最小值为150.6、(2011·北京模拟)如图所示，一质点P(x,y)在xOy平面上沿曲线运动，速度大小不变，其在x轴上的投影点Q(x,0)的运动速度V=V(t)的图象大致为( )【解析】选B.由图可知，当质点P(x,y)在两个封闭曲线上运动时，投影点Q(x,0)的速度先由正到0、到负数，再到0，到正，故A错误；质点P(x,y)在终点的速度是由大到小接近0，故D错误；质点P(x,y)在开始时沿直线运动，故投影点Q(x,0)的速度为常数，因此C是错误的，故选B.7、(2011·济南模拟)汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽

9、车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是( )【解析】选A.从汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，可比较图象中所反映的速度，速度是由慢到快，再到匀速，最后到减速，所以A选项正确.8、某商店已按每件80元的成本购进某商品1 000件,根据市场预测,销售价为每件100元时可全部售完,定价每提高1元时销售量就减少5件,若要获得最大利润,销售价应定为每件( )(A)100元 (B)110元 (C)150元 (D)190元【解题提示】关键将利润表示为提高售价x元的函数.【解析】选D.设售价提高x元,则依题意y=(1 000-5x)×(20+x)=-5x2+900x+20 0

10、00=-5(x-90)2+60 500.故当x=90时,ymax=60 500,此时售价为每件190元.9、(2011·淄博模拟)某文具店出售羽毛球拍和羽毛球，球拍每副定价20元，羽毛球每个定价5元，该店制定了两种优惠方法：买一副球拍赠送一个羽毛球；按总价的92%付款.现某人计划购买4副球拍和30个羽毛球，两种方法中，更省钱的一种是( )(A)不能确定 (B)同样省钱(C)省钱 (D)省钱【解析】选D.方法用款为4×20+26×5=80+130=210(元)方法用款为(4×20+30×5)×92%=211.6(元)210211.6，故

11、方法省钱.10、在一次数学试验中，采集到如下一组数据：则x,y的函数关系与下列哪类函数最接近？(其中a，b为待定系数)( )(A)y=a+bx (B)y=a+bx(C)y=ax2+b (D)y=a+【解题提示】先观察两组数据的关系，然后代入选项后验证即可.【解析】选B.由表格数据逐个验证，知模拟函数为y=a+bx.11、方程lgx+x=3的解所在区间为（ C ）A(0，1) B.(1，2) C(2，3) D(3，+)解析：在同一平面直角坐标系中，画出函数y=lgx与y=-x+3的图象(如图)。它们的交点横坐标，显然在区间(1，3)内，由此可排除A，D至于选B还是选C，由于画图精确性的限制，单凭

12、直观就比较困难了。实际上这是要比较与2的大小。当x=2时，lgx=lg2，3-x=1。由于lg21，因此2，从而判定(2，3)，故本题应选C。12、国家规定个人稿费纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4 000元的按全部稿酬的11%纳税.已知某人出版一本书，共纳税420元，这个人应得稿费(扣税前)为( )(A)2 800元 (B)3 000元(C)3 800元 (D)3 818元【解题提示】由题意写出分段函数的解析式，然后由函数值求自变量的值.解答:选C.设扣税前应得稿费为x元，则应纳税额y为分段函数，由题意，得如果稿费为4

13、 000元应纳税为448元，现知某人共纳税420元，所以稿费应在8004 000元之间，(x-800)×14%=420,x=3 800.二、填空题1、一种产品的成本原为a元，在今后的m年内，计划使成本平均每年比上一年降低p%，成本y是经过年数x(0<xm)的函数，其关系式y=f(x)可写成_.【解析】依题意有y=a(1-p%)x(0<xm).答案：y=a(1-p%)x(0<xm)2、某出租车公司规定乘车收费标准如下：3公里以内为起步价8元(即行程不超过3公里，一律收费8元)；若超过3公里，除起步价外，超过的部分再按1.5元/公里计价；若司机再与某乘客约定按四舍五入以

14、元计费不找零钱已知该乘客下车时乘车里程数为7.4公里，则该乘客应付的车费为_.【解析】依题意得，实际乘车车费为：8+1.5×(7.4-3)=14.6，应付车费15元.答案：15元3、(2011·焦作模拟)计算机的价格大约每3年下降,那么今年花8 100元买的一台计算机，9年后的价格大约是_元.【解析】设计算机价格平均每年下降p%,由题意可得=(1-p%)3,p%=1-，9年后的价格y=8 1001+-19=8 100×()3=300(元).答案:3004、如图所示，向高为H的水瓶A，B，C，D同时以等速注水，注满为止：(1)若水深h与注水时间t的函数图象是下图中的

15、a，则水瓶的形状是_;(2)若水量v与水深h的函数图象是下图中的b，则水瓶的形状是_;(3)若水深h与注水时间t的函数图象是下图中的c，则水瓶的形状是_;(4)若注水时间t与水深h的函数图象是下图中的d，则水瓶的形状是_.【解析】(1)该题图中的a说明了注入水的高度是匀速上升的，只有C中的容器能做到，所以应填C；(2)该题图中的b说明了水量v随着水深h的增长越来越快，在已知的四个容器中，只有A中的容器能做到，所以应填A；(3)该题图中的c说明水深h与注水时间之间的对应关系，且反映出来的是升高的速度是由快到慢再到快，在已知的四个容器中，只有D中的容器能做到，所以应填D；(4)该题图中的d说明水深

16、h与注水时间t之间的对应关系，且反映出来的是水深升高的速度是先慢后快，在已知的四个容器中，只有B中的容器能做到，所以应填B答案:(1)C (2)A (3)D (4)B三、解答题1、(2011·潍坊模拟)某企业拟在2011年度进行一系列促销活动，已知其产品年销量x万件与年促销费用t万元之间满足3-x与t+1成反比例，当年促销费用t=0万元时，年销量是1万件已知2011年产品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件产品需再投入32万元的生产费用，若将每件产品售价定为：其生产成本的150%与“平均每件促销费的一半”之和，则当年生产的商品正好能销完(1)将2011年的利润y(万元)表

17、示为促销费t(万元)的函数；(2)该企业2011年的促销费投入多少万元时，企业年利润最大？(注：利润=销售收入-生产成本-促销费，生产成本=固定费用+生产费用)【解析】(1)由题意：3-x=，将t=0,x=1代入得k=2,x=3-,当年生产x(万件)时，年生产成本=32x+3=32(3-)+3,当销售x(万件)时，年销售收入=150%32(3-)+3+t,由题意，生产x万件产品正好销完年利润=年销售收入-年生产成本-促销费即y=(t0).(2)y=50-()50-2=42(万件)当且仅当即t=7时，ymax=42,当促销费定在7万元时，利润最大.2、设函数，其中常数为整数。（1）当为何值时，；（2）定理：若函数在上连续，且与异号，则至少存在一点，使得试用上述定理证明：当整数时，方程在内有两个实根。解析：（1）函数f(x)=xln(x+m),x(m,+)连续，且当x(m,1m)时,f （x）<0,f(x)为减函数,f(x)>f(1m)当x(1m, +)时,