斜抛运动的最佳抛射角

1、斜抛运动的最佳抛射角 甘志国(该文已发农数学通报，2011(12)： 35-36)文献1介绍f球星徳拉普(Rory John Debp)：斯托克城属于英超中的支中下游足球队，但是该队参加的每场比赛，往往都能成为人们关注 的焦点，因为它拥有位擅长掷远距离界外球、最远距离为48.17米的世界记录创造者，他就是 后卫德拉歆图1).阿森纳主帅温格曾在场比赛前说徳拉普的手臂人可怕了，上天保佑这场比赛中他没有掷界外球的机会界外球怎样才能掷得更远呢？图2?v?90?)0(?掷出的球在不计空气阻力时的运动、通常会认为，以初速度抛射角o是斜抛运动(图2),其运动轨迹的参数方程为?tvcosx?o? 12?t?v

2、singty?_ o2?tgyx,为重力加速度（其中)飞行的水平距离和竖直高度，由此可得球的分别农示球在时刻射程为2vo?2?sins_ g?vvs淀时，当且仅当公式说明，球的射程与初速度均有关，当及抛射角oo?s?45?最人.时射程但文献1还说，英国物理学家尼克林斯纳尔却给出了否定的答案：球员把求掷得最45?25?30?. 远时，出手时的初速度与水平方向的夹角并不是，而是至?vs?45为为定值时，时最大;而当产生这结果的原因是:对于公式，当o?vvs?45?时均有关定值时，及抛射角越人.就越人可见球的飞行距离与初速度而在oo?vvs?30?25?取到最 人值也是可所以可达到最大值，时，不能达

3、到最大值，所以在oo能的.45?.2中闸述了这样的观点：掷球的最佳抛射角应小于早在2003年，笔者就在文献 文献1的出现，使笔者重新研究“斜抛运动的最佳抛射角”，并得到了漂亮的结论： ?vs)90?(0最、抛射角，以初速度使物体作斜抛运动，当射程定理如图3oOOA?sA,在 图3(b),为在图3(a)中(c)即起点落到点中的距离最人(I大I时人(也222?h,?OAh?sO竖)，此时的抛射 角叫做最怪抛射角，此时的抛射方向是起点为定值OBOA?BOAOAOCA)与抛物线形成的角图3OCAx,y,t,g的意义也同中诸字母(证明易知图3中抛物线其中的参数方程为的意义)?tvcosx?o? 12?t

4、?vsingty?- o2?tgy,x为重力加速度)(其中分别农示球在时刻化为普通方程，飞行的水平距离和竖直高度，得g2?tanxx?y? 22?cosv2o22?2sin2cosvv?ooF5?的结论立知其焦点为3.由文献?2g2g?BOA?2?vOA,F?OA.即证 o?45?OA?v?BOA?90?以1(a)(1)图的得可由-情形式所，又，0.OAOABOA?2?v,F?.ot)0(h?h用掷球时出手高而落点低)图1(b)的情形(因为掷球时有个 出手高度0衣示球运行到落点时的飞行时间，得?tv?cos?s?o?l 2?gt?t?h?vsin?_ ooo2?所以22222?0?gs2tan

5、v?2vstai±?gs?oo?tair,的-元二次方程有实数解，所以因为这个关于“24222O?4s(V?ghs)?2gV00Os?,所以又V2oghv2s?og 1 gh2?s?cot 1 ?arc?tan取最大值，即时，进而可得，当且仅当2Vgh2o?hvovgh22oghv?2?arccot 1，它显然小所以在图3中，最佳抛射角应为且最大值是o:gvo?45. 于?vvstan222oo?gh2?tan2v?v?2ghtan?» 又可得，所以oo2?ghghhtanl?0A?v?BOA?2)?2?90(2,180?tan?tan2,?.,即 oOA 的方程为可得宜线

6、 vh2oxghvy?2?x? - oghsgh2?cot 1 arc?OA?F.再由可验证 2vov2ogh?2v?s 角得可同形的图 1(c)情理算最射抛佳射大程最，oggh2?arccot 1.2vovvs22oo?gh2v?cot?22v?ghtan 以又一所可得一 ooghghh?OA?v?BOA?2)(?90?tan2?cot?>2?2?90?,.,即 oOA 的方程为可得直线 ghhxy?x?_ S2W?2ghoogh2?arccotl?F?OA.再由可验证zvoOOA开始让物体作斜抛在想地面 运上从点动，由的理该定是有用设0BOA?2?vOAvOA的距离最人的初速度(即使起点到落点可 迅速确定最住抛射方向ooA是射击目标，为增加隐蔽性，应使射中的坐标原点是人炮口，落点)： 设想图1(c)的方向S越远越好，所以上