浅谈概率统计模型在投资学中的应用

1、目录摘要：1关键词：1引言31马柯维茨的均值方差模型41. 1模型假设41.2模型建立与分析41.2. 1证券组合的回报率4(1) 单一证券的收益率4(2) 证券组合的收益率41.2.2证券组合的风险度量5(1) 单一证券的风险度量5(2) 组合证券的风险度量51.2.3投资组合风险的分散61. 2. 4投资收益的概率分布61.3模型的应用71.4模型的局限82单一指数模型92. 1模型建立与分析92. 1. 1证券的风险结构9(1) 市场模型9(2) 证券的风险组成102. 1.2计算与风险分散10(1) 计算量的减少10(2) 系统风险与个别风险的分散113概率统计模型在投资学中的应用12

2、结束语12参考文献12致谢13浅谈概率统计模型在投资学中的应用黎静数学与信息学院数学与应用数学专业2007级指导老师：张莉摘要：在投资学中，投资决策分析通常是根据以往的资料和数据对目前投资项目 的可行性进行判断和分析，从而确定投资的最佳组合，实现收益风险的平衡本 文主要通过马柯维茨的均值方差模型中用期望反映资产各种可能收益率的平均 值，方差衡量资产的各种可能收益率相对期望收益率分散化程度，也就是风险的 大小来说明概率统计模型在投资学中的应用.首先，用概率评估不确定因素给投 资项目带来的风险，对于不确定性的投资决策分析，给予投资者准确的定量分析. 其次在马柯维茨均值方差模型假定投资者事先知道投资

3、收益的概率分布的基础 上，假设投资收益近似地服从正态分布，根据标准正态分布的特点，对风险进行 大致判断.最后针对马柯维茨的均值方差模型在实际应用中计算量大及不能分析 资产的风险结构的缺点，本文用威廉夏普提出的单一指数模型来解决.在这里用 市场模型（单一指数模型的特例）来说明计算量的减少和投资风险的分散化.在 投资者只关注“期望收益率”和“方差”的假设条件下，马柯维茨的均值方差模 型完全而精确，目前主要被用于不同类型证券之间的投资分配，例如债券、股票 等.关键词：均值方差模型；正态分布；单一指数模型；投资决策；概率统计模型is shallow to talk all rate statistic

4、s model at investment learn amedium applicationli jingmathematics and information science mathematics and applied mathematics grade2007 instructor:zhang liabstract： in investment, investment decision analysis refers to judge and analyze the feasibility of the investment project at hand based on the

5、previous materials and data so as to ensure the best combination of investment and to reach the balance of risks to achieve gains. this article illustrates the application of probability statistical model in the study of investment mainly through the mean variance model of markowitz, by using expect

6、ation to reflect the average of the possible yields assets, variance of all possible measure of assets relative expected yields decentralization levels return, i.e. the size of risk. first of all, with the probabilistic assessment of uncertainty to investment risks and investment decisions for the a

7、nalysis of uncertainty, investors are given accurate quantitative analysis. secondly, mean variance model of markowitz assumes that investors know in advance that the probability distribution of investment income on the basis of assumed investment returns approximately normal distribution, then, acc

8、ording to the standard normal distribution characteristics, the investors can make a rough judgment about risks. finally, because the markowitz mean variance model has large amount of calculation and can not analyze the risk structure of assets in real life, i will adopt single index model put forwa

9、rd by william sharpe to solve it in this thesis. market model is used here (a special case of a single index model) to illustrate the calculation of the amount of risk reduction and decentralization of investment. under the hypothesis condition that investors only focus on "expected returnh and

10、 nvariance, markowitz mean variance model is complete and accurate, and it is used in securities investment in distribution of different types, such as bonds, stocks, etc.key words: mean-variance model; normal distribution; single index model; investment decisions; probability statistical model引言在经济

11、活动中，特别是在投资活动中，大量的不确定现象让投资市场充满各 种各样的风险，投资者不得不对投资的风险和收益进行评估而证券投资者从事 证券投资的目的，主要在于获取适当的预期收益他们可以把资金全部投资一种 或少数儿种收益较高的证券上，以争取获得最大限度的收益这种证券的分散化 投资就导致了证券组合的产生美国经济学家马柯维茨(harry m.markowitz)是 现代投资组合理论的创始人.他于1952年3月在金融杂志上发表了一篇题为 证券组合选择的论文，并于1959年岀版了同名专著，详细论述了证券收益 和风险的主要原理和分析方法，建立了均值一方并证券组合模型的基木框架马 柯维茨的投资组合理论认为，投

12、资者是风险回避的，他们的投资愿槊是追求高的 预期收益，他们不愿承担没有相应的预期收益加以补偿的额外风险.马柯维茨的 在给定风险水平下追求高收益的资产组合，或者是在给定收益水平下追求风险最 小的资产组合的思想和方法，奠定了现代证券组合理论的基石.文章主要研究马 柯维茨的均值方差模型在投资学中应用概率和统计的知识定量的分析投资风险 大小的问题，帮助投资者止确做出决策以及针对均值方并模型计算量大的问题 分析用夏普的单一指数模型进行改进.通过这一系列问题的探讨主要为了说明概 率统计模型在经济学中的应用，体现数学学科与经济学的联系，帮助人们更好的 认识数学在经济活动中的价值尽管均值方并模型和单一指数模型

13、的建立假定了 一些与现实情况不太贴切的条件，忽略了很多实际问题，对于精确度要求较高的 投资者并不适用但是从总体上还是能对投资组合的收益和风险进行大体估计， 为投资者的决策提供了根据.1马柯维茨的均值方差模型马柯维茨在1952年发表的证券组合选择，文中提出：投资者在期初将决 定投资哪些证券？资金在这些证券上该如何分配？投资者实际需要在期初从所 有可能的证券组合屮选择一个最优的证券组合进行投资马柯维茨认为，投资者 应该实现预期收益率最大化和风险最小化之间的某种平衡，换言之，投资者要使 期望的效用最大化，而不仅仅是使期望的冋报率最大化在冋避风险的条件下， 马柯维茨建立了投资组合的分析模型均值方差模型

14、.1.1模型假设假设一 投资者以期望收益率(亦称收益率均值)來衡量未來实际收益率的 总体水平，以收益率的方差(或标准差)来衡量收益率的不确定性(风险)，投 资者在决策中只关心投资的期望收益率和方差.假设二理性的投资者将选择并持有有效投资组合，即那些在给定风险水平 下使期槊回报最大化的投资组合，或那些在给定的期槊回报率水平上使风险最小 化的投资组合.假设三投资者在考虑每一次投资选择时，事先知道投资收益的概率分布假设四计算出有效的投资组合的集合.12模型建立与分析121证券组合的回报率(1) 单一证券的收益率单一证券的收益事先不可知，投资者估计各种可能发生的结果，并根据以往 数据佔计每一种结果发生

15、的可能性，用期望表示收益率为：£ 0) = z 口 p i/ = 1(2) 证券组合的收益率将上述情况扩展至资产a、b的情形，则该资产组合p的期望收益率为j = e(wa ra +wbrb) = wa + 叫 e&)其中“a、wb分别表示投资者在a、b两种资产上的投资比重，ilwa+wb=. 也就是双证券组合期望收益率等于单个期望收益率以投资比重为权数的加权平 均值.那么对于n种资产的投资组合p的期槊收益率的度量公式为:(l1)n 工叱£（/；） /=!n其中叱表示投资者在第i种资产上的投资比重且£叱.=1./=!1.2.2证券组合的风险度量（1）单一证券

16、的风险度量我们用期望收益率的方差"2来衡量证券的各种可能收益率相对于期望收益 率分散化程度，也就是风险的大小.2 = e 厂匕 - e（r ）2/=1其中卩代表收益率匚发生的概率，/；表示证券在第i种状态下的收益率，n表示证券可能产生的n种不同收益率,e&）表示证券的期槊收益.（2）组合证券的风险度量对于n种资产组合的风险仍然用方井來度量，在投资学中，投资组合的风 险不仅依赖于毎种证券对投资组合总体风险的贡献，而且还与各种证券之间的相 互联系有关在这里我们用协方差來勺表示一种证券i对另一种证券j的相互关系.j 二-e)s -e(训p产亠（1-2）其屮表示资产i与资产j的相关系

17、数,6表示第i种资产的标准差.说明一 下：相关系数必的范围是sjg, plj=-表示两种证券收益结果的变化方 向完全不相同，称为完全负相关；表示两种证券收益结果的变化方向完全 相同，称为完全正相关；為=0表示两种证券收益结果的变动之间不存在任何关 系；若為vo,说明两种资产的回报率持续异向变化，两种资产的回报负相关， 这两种资产具有人幅度降低投资组合风险的能力，它们是低风险资产，投资者就 倾向于这种投资组合.若p,>0,则可能会加大组合后的投资风险，投资者应尽量 避免这样的投资组合值得注意的是外=0,只表明证券i和证券j不存在线性相 关关系，但并不排除证券，和证券丿有其它形式(非线性的)

18、相依关系.因此由两种证券组成的投资组合p的风险度量公式为：a2(rp) = wa2 (r,)+w22<t2 (r2) + 2wlw2crl 2那么n种证券组成的投资组合p的风险度量公式为：nn n/")=£叱。26)+££叱巧勺(1.3)/=1z=1 j=l公式(1.3)体现了投资组合的方差不是其成分资产方差的简单加权平均，还 要考虑任意两种资产z间的相互关系由式(1.2)可知，我们在假设每种资产的 标准差不变的情况下，两种资产的相关系数越大，协方差越大，投资组合的风险 就越大，从而进一步的说明了投资组合的风险依赖于各证券之间的相互关系. 123投

19、资组合风险的分散投资者在回避风险的情况下，当然希望在给定的期望回报率水平上，风险最 小化.那在投资组合中怎样做到风险尽可能的小，由(1.3)式分析可知，投资者 在进行投资组合时，增加具有较低相关性的资产，能使资产组合的风险降低.也 就是说，投资者在决策时，如果各项资产的收益不相关，就可以通过资产多样化 使投资组合收益的方差降低，如果各项资产正相关，则降低组合方差变得困难. 但是分散化降低了期望收益率，理性投资者不会为了风险的很小卜降而牺牲较大 的期望收益率，投资者会在均值和方差z间进行权衡，利用均值方差模型分析做 出最优的投资决策.1.2.4投资收益的概率分布马柯维茨在用均值方差分析投资组合时

20、，假定了投资者事先知道投资收益这 一随机变量的概率分布，但没有明确给出各种不同资产服从的概率分布，并且这 些概率分布是投资者根据以往资料和经验得來的.由于投资收益的概率分布可能服从正态分布、指数分布、对数分布、泊松分布.本文在假定投资收益近似地服从止态分布的基础上来说明概率统计模型在投 资学中的应用.设随机变量x的分布函数为：上式作变量变量替换后，得到标准正态分布为:令z = j，根据正态分布表可直接查出兀兀。的概率，由于 a/心vxo u(xo _ u、z<=01c丿lb丿因此可用此公式求出期望收益率大于或等于某个确定值的概率，其具体计算 公式为：(1.4)p(r x 几)=1 - p

21、(r < ro)= 1 -(/)对于期望收益率服从正态分布的投资项口，只要计算出期望收益率的期望和 标准差，即是求岀(1.4)屮、b的值，就可以根据正态分布的特点，对其风险 进行大致的判断.为投资者的投资决策提供更多可靠依据.13模型的应用马柯维茨的均值方差模型主要应用于资金在各种资产上的合理分配，因此此 模型应用的核心问题转化为确定各种资产在投资组合屮的比重，假设资产组合的 期望收益率一定，耍使风险最小，即是nn nminer；冷2)+uxwsz=1z=1 ；=1n_< sm(g) =工叱/()»f=ln工1/=1成立解决此问题实际是解决两个线性等式约束条件下的二次函数

22、求最小极 值问题.它可以用拉格郎ft乘数法来解决，这里就不再推导其过程.均值方差模型在投资者只关注期望收益率和方差大小的情况下，模型完全而 精确，但在应用时存在计算量太大的问题结合式（1.1）、式（1.3）投资者在分 析数据，计算佔计投资组合的期望收益率e（/）和期望收益率的方差b,的大小 时，需要计算n种证券的期望收益率，n个标准差，以及“（n-1）个协方差.我2们假设n = 1000,则投资分析人员需要计算收集的数据达到501500个.这样的数 据个数难免让投资决策者感到头痛.因此在实际运用中均值方差模型并不应用于 一般的资产的分配问题，而是应用于不同资产类型的分配问题，例如债券、股票 等

23、.14模型的局限尽管马柯维茨的均值一方差模型简单易懂，理论成熟，可是由于在建立该模 型时所依赖的一些假设条件以及模型本身的特点使得该模型在应用过程屮存在 一些问题.第一、马柯维茨的均值方差模型用标准差风险度量方法度量资产本身在某一 时期收益变动的程度，即证券实际收益与期望收益的偏离程度，其比较的基准是 证券本身的不同时期数学期望的均值，能够很好地刻i田i证券的风险收益特征，但 是不能对证券的风险结构进行分析.第二、该模型认为预期收益和风险的估计是对一组证券实际收益和风险的正 确度量相关系数也是对未来关系的正确反映，这是有悖于实际情况的.因为丿力史 的数字资料并不能准确反映未来的收益和风险的状况

24、，一种证券的各种变量也会 随时间的推移不停地变化，这些因素都可能从不同的方面造成理论假定与现实的 脱节.第三、模型求解困难，主要是因为马柯维茨的投资组合模型还假设所有投资 者有一个共同的单一投资期，所有的证券组合有一个特有的持有期，而这在现实 条件下是不易达到的，这就使得不同期间的资产的收益和风险的比较缺乏一个共 同的衡量尺度，从而造成投资组合求解困难.第四、马柯维茨的均值方差模型系统阐述了如何通过有效的分散化来选择最 优化的投资组合，但偏重规范性分析，也就是投资者该如何行动，但缺乏实证性 分析，也就是投资组合的风险收益如何度量，投资者无法确定最高收益和所能承 担的最大风险，投资者也无从知道证

25、券该分散到何种程度才能达到高收益，低风险的最佳组合.2单一指数模型指数模型是建立在证券关联性的基础上，描述证券收益率的生成过程的一种 模型.指数模型认为证券间的关联性是由系统风险造成的，不同的证券对这些系 统风险有不同的敏感度，敏感程度用贝塔值来衡量指数模型抓住系统风险对证 券收益的影响，用一种线性关系表达了系统风险与资产收益率之间的关系由于 这些系统风险以指数形式出现，因此系统风险与资产收益率之间的线性关系称为 指数模型.2.1模型建立与分析为了解决上述问题，马柯维茨的学生威廉夏普利用单一指数模型，即0系 数分析法來衡量资产的风险特性.首先说明一下，资产的风险根据来源的性质可 以分为两类：一

26、类是与整个市场相关联的风险，称为系统风险或市场风险，主要 包括经济周期波动风险、市场风险、利率风险、通货膨胀风险以及政策风险；另 一类是只与个别资产有关，由公司特质引起的风险，主要包括公司的经营状况或 财务状况带来的风险对投资者而言，系统风险是无法避免的，不管投资者怎样 分散他们的投资组合，市场总体风险都是无法消除的.2.1.1证券的风险结构首先我们用单一指数模型的特例市场模型來说明证券的风险结构，解决 均值方差模型中存在的问题.（1）市场模型假设一种普通证券在某一给定时期内的收益率与同一时期市场指数（市场指 数是现实市场的市场证券组合）的回报率相联系，即是如果市场行情上升则可能 该资产的价格

27、上升，市场行情下降，该资产可能下跌抓住这样的关系，利用数 理统计中的冋归分析，建立市场模型：匚=an +0/ +匂.其中耳表示某一给定时期证券i的冋报率，厂/表示相同时期市场指数i的冋 报率，a为截距项，0为斜率项，匂为随机误差项，它与市场指数无关，服从 均值为0,标准差为（7刃的概率分布.这里重点说明，0是决定资产必要风险报酬的唯一因素，也就是证券对市场 指数的敏感程度，且企，式中巧表示证券的收益与市场指数回报率的协方差，7,表示市场指数冋报率的方差若炕=1，说明证券的冋报率与市场指数 的回报率的相等，若0=(),则说明证券与市场组合相互独立，若00,则该证 券将得到风险溢价(承担风险的回报

28、).(2)证券的风险组成根据市场模型，我们得到任何证券的风险度量2:(2.1)其中0/2为证券的市场风险，丁,为证券的个别风险，由随机误差匂的 方并來测度.那么对于一个投资组合p来说，组合的回报率为:nrp 二工 wj (如 +0f=ln+匂)=工“41=1组合回报率的方羞测度的总风险为:/=!、2(n2q&pn1=1(2.2)(2.3)(2.4)由公式(2.1)、(2.3)可知个别证券的风险和证券组合的总风险都是由系统 风险和个别风险组成，因此我们就说市场模型弥补了马柯维茨的均值方差模型无 法刻画证券的风险结构的问题.2.1.2计算与风险分散其次，我们再利用市场模型來说明一下怎样让期

29、望收益率和期望收益率的方 差计算量减少的问题，以及在系统风险和个别风险的而提卜投资组合风险的分散 问题(1)计算量的减少对于均值方差模型，在第一章中，我们就已经分析了投资者在选择恰当的投 资组合时，需要计算估计的数值和收集的数据数量很大的问题.而现在在市场模 型假定公罚z间的特质因素是相互独立的并市场风险与个别风险无关的情况 下，也就是假定covrt, ) = 0, covr,匂)=0的情况下，我们得到任何两种证券的协方差为：(2.5)6j = cs，厂丿=covau + 0 r, + 匂,ajt + 0 严 + £ ) =co 躯 g 0) = a/ 0 62从公式(2.5)我们知

30、道投资者在做决策吋只需计算n个0，n个0和勿2的值, 共(2n+1)个协方差的值，比起均值方差模型小需要计算也7 个协方差的2值，显然是减小了很多.结合式(2.2)、式(2.3)、式(2.4)耍度量投资组合的期 槊收益率和风险投资者只需要计算(3n+2)个数值.同样假设n =1000,投资分析 人员只需要计算3002个数据，就可以对收益和风险做出估计，与第一章提到的 需要计算501500个数据相比，计算量大大的减少了.(2)系统风险与个别风险的分散第一章我们说马柯维茨的均值方差模型通过增加低协方差的证券来降低风 险，但是冇可能降低期望收益.夏普的单一指数模型从风险的结构说明了通过增、2加证券数不会引起系统风险的显著减小或增大，这是因为一个组合的贝塔值是其证券的贝塔值的加权平均，因此从这个式子可以得出市场风险 不会随着证券种类的增多而变小，而是会随着证券种类的增多趋于平均化.那对 于个别风险，我们现在考虑如果投资于每种证券相等的资金数量，即是让 比二丄，则个别风险 n(2 2、(2.6)+£2 +.+ "训-n从公式(2.6)我们会发现这个组合的个别风险只有各个证券的个别风险的平 均值的丄