因式分解的常用方法

1、因式分解的常用方法第一部分：方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍一、提公因式法. ： ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例

2、如：(1) 1) (a+b)(a -b) = a 2-b2 a2-b2=(a+b)(a -b) ；(2) (a ± b) 2 = a 2± 2ab+b2 a 2± 2ab+b2=(a ± b) 2；(3) (a+b)(a2-ab+b2) =a 3+b3a3+b3=(a+b)(a 2-ab+b2)；(4) (a -b)(a 2+ab+b2) = a 3-b3 a3-b3=(a-b)(a 2+ab+b2) 下面再补充两个常用的公式：(5)a 2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c) 2；(6)a 3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a 2

3、+b2+c2-ab-bc-ca) ；三、分组分解法.(一)分组后能直接提公因式练习：分解因式1、 a2 ab ac bc 2、 xy x y 1(二)分组后能直接运用公式例3、分解因式：x 2 y2 ax ay分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。解：原式=(x2 y2 ) (ax ay)=(x y)(x y) a(x y)=(x y)(x y a)例4、分解因式：a2 2ab b2 c2解：原式=(a22ab b2)c222=(ab) c=(ab c)(a bc)综合练习：1. a 2 6ab 12b 9b2 4a 2.3

4、.4a2x 4a2y b2x b2y4.5. a2 2a b2 2b 2ab 16.四、十字相乘法.432a2aa92x2xy xz yzy(y 2) (m 1)(m 1)(一)二次项系数为1 的二次三项式直接利用公式x2 ( p q)x pq (xp)(x q)进行分解。特点： ( 1)二次项系数是1；( 2)常数项是两个数的乘积；( 3)一次项系数是常数项的两因数的和。思考：十字相乘有什么基本规律？例.已知0Va&5,且a为整数，若2x2 3x a能用十字相乘法分解因式，求符合条件的a.解析：凡是能十字相乘的二次三项式ax1 2+bx+c,都要求方数。于是 9 8a为完全平方数，a

5、 1b2 4ac >0而且是一个完全平(二)二次项系数不为 条件：(1) a a1a2(2) c c1c21的二次三项式ax2bx cac1aca2c2(3) ba1c2 a2cla1c2 a2cl分解结果：ax2 bx c = (a1x c1)(a2x c2)例7、分解因式：3x2 11x 10分析： 13-5 (-6) + (-5 ) = -11解：3x2 12x 11xy 15y2(4) (a b) 4a 4b 3(6) m2 4mn 4n2 3m 6n 2(8) 5(a b)2 23(a2 b2) 10(a b)2(10) 12(x y)2 11(x2 y2) 2(x y)2 1

6、1x 10=(x 2)(3x 5)练习7、分解因式：(1) 5x2 7x 6(3) 10x2 17x 3(三)二次项系数为1的齐次多项式例8、分解因式：a2 8ab 128b2分析：将b看成常数，把原多项式看成关于 解。(2) 3x2 7x 2(4) 6y2 11y 10a的二次三项式，利用十字相乘法进行分例 9、2x2 7xy 6y2(-3y)+(-4y尸-7y解：原式=(x 2y)(2x 3y)练习9、分解因式：(1) 15x2 7xy 综合练习 10、(1) 8x6 7x3 1(3) (x y)2 3(x y) 10(5) x2y2 5x2y 6x2(7) x2 4xy 4y2 2x 4

7、y 3(9) 4x2 4xy 6x 3y y2 10 (11.) abcx2 (a2b2 c2)x abc五、换元法。例13、分解因式(1 ) 2005x2 (20052 1)x 2005( 2) (x 1)(x 2)(x 3)(x 6) x2解：(1)设 2005= a,则原式=ax2 (a2 1)x a=(ax 1)(x a)(2005x 1)(x 2005)（ 2）型如abcd原式 =（x设 x2 5x，原式二（A= （A练习13、分解因式（的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。2 7x 6)(x26 A,贝U x2222x)A x2=A222 x)2=(x21）（ 2）（ 3

8、）(x (x (a6x2xy 3x 1)25x 6) x27x 6 A 2x2Ax x 26)2y2)2 4xy(x22)(4x2 8x 3)222(a2 5)2 4(a2y2)903)2六、添项、拆项、配方法添项、拆项、配方法例 15 、分解因式（1 ） x, 试根法，短除法。3x2 4短除法。解法1拆项。原式=x3一拆项。1 3x2 (x 1)(x2= (x =(x =(x2)x9解：原式1)(x2 1)(x2 1)(x x6x4x2)x练习（ 1）（ 3）（ 5）七、待定系数法或双十字相乘法。3x 1)1 3x4)=(x931)解法原式=x32添项。3x2添项4x04x3(x 1)(x3

9、)1)= x(x1)(x4)4(x(x1)(x2)242x(x 3x 4) (4x1) = (x 1)(x24x4)4)=(x3 1)(x6=(x3 1)(x6=(x 1)(x215、分解因式3 x4 x4 x9x 87x2 1 y4 (x y)41)1)11)(x6(x3(x3x3 12x31)1)(x1)3)1) (x31)例16、分解因式x 2 xy 6分析：原式的前3 项 x 2（x 3y m）（x 2y n）解：设 x2二 （X 3yxy对比左右两边相同项的系数可得2）4）6）(x4 x1)x2a2b213y 622(x 1)2ax 1(x2 a1)42a22c222b cb4xy

10、6y2可以分为xy 6y 2 x 13y 2 m)(x 2y n) =x26y2 x 13y 6=x26=(x 3y m)(x(x2y3y)(x2y） ，则原多项式必定可分为n)xy 6y2 (m n)x (3n 2m)y mn 2xy 6y (m n)x (3n 2m) y mnmn13n 2m 13，解得mn 6m2n3.原式=(x 3y 2)(x 2y 3)练习 17、(1)分解因式 x2 3xy 10y2 x 9y 2(2)分解因式 x2 3xy 2y2 5x 7y 61 在 ABC 中，三边 a,b,c 满足 a2 16b2 c2 6ab I0bc 0求证：a c 2b2 已知：x 1 2,则x3 4 xx33 .已知：x y 6, xy 1,求：x3 y3 的值。4 .求证：n3 5n是6的倍数。(其中n为整数)5 .已知：a、b、C为三角形的三边，比较a2 b2 c2和4a2b2的大小6 若 ab=2,a c=1,求(b c) 2+3(b c) + 9 的值。247 已知 1 x x2x2004 x2005 0,则 x2006 .8、计算(1工）的值是（ 102A、1 c 1 c 11,C.1 , D.2010201 8b1-16b '8b+(-16b)= -8b解：a2 8ab 128b2 = a2 8b (