复变函数与积分变换：7-3卷积与相关函数

1、 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换学习要点学习要点第七章第七章 傅立叶变换傅立叶变换7.3 卷积与相关函数卷积与相关函数掌握卷积的相关概念掌握卷积的相关概念 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换( ) ()( )( )( )( ),( )( )( ) ()f s g ts dstf tg tf tg tf tg tf s g ts ds 若若对对都都收收敛敛，则则称称之之为为与与的的卷卷积积，记记为为即即 fggffghfgfhfghfgh交交换换律律：加加法法分分配配律律：结结合合律律：一、一、 卷积卷积2. 卷积的简单性质：卷

2、积的简单性质：1. 卷积的定义：卷积的定义： 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换120000( ),( );0e0,0,.ttttf tf tett 解：由卷积的定义有解：由卷积的定义有 012120()00( )( )( )()d0ed0eed11eeeetttttttttf tf tff te 例例1 求下列函数的卷积求下列函数的卷积 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 ( )( )fgfgFGFFF 1( )( )FGfg 或或： 化化简简卷卷积积运运算算F3. 卷积定理卷积定理 ( )( )( ) ()i tdtf tg

3、tfg td e F( ) ()i tdfg tedt ( )( )ifeGd ( ) ( )FG 证明证明 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换1212( )( )( ),1,( )( )( )kkkkkftftFknfffFFF 若若满满足足傅傅立立叶叶变变换换存存在在定定理理，且且则则FF推论推论 2.h tf tg th tfg td 例例设设，的的傅傅立立叶叶变变换换都都存存在在，求求解解积积分分方方程程 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 ,g tGh tH 设设FF F GHFG 1HGF 解解由卷积定义知，由卷积定义

4、知，积分方程两端取傅立叶变换，由卷积定理可得积分方程两端取傅立叶变换，由卷积定理可得所以所以 g th tfg tdh tf tg t 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 12i tg tGed 121i tHedF 由傅立叶逆变换，可求得积分方程的解由傅立叶逆变换，可求得积分方程的解 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换121212121212( )( )( )()( )( )( ),( )( )()f tf tf t f tdtf tf tRRf t f tdt 对对于于两两个个不不同同的的函函数数和和，称称积积分分为为和和的的互互相相关关函函数数，记记为为即即二、二、 相关函数相关函数*相关函数的概念相关函数的概念2112( )()( )Rf tf t dt 同同理理 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换12( )( )( )( ) ()( )( ).f tf tf tf t f tdtf tR 当当